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甘肃省天水市秦州区2026年中考数学模拟试卷
1． -2026的绝对值是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
即-2026的绝对值是2006.
故答案为：C。
【分析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中-2006是负数，因此绝对值就是它的相反数，从而得出答案。
2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【分析】
依据定义对选项逐一判断：若一个图形沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，该图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可解答.
3．若分式的值为0，则实数的值为（　　）
A．2 B．0 C． D．-3
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：且，
解得：；
故选A．
【分析】
依据“分式的值为0时，分式的分子等于0，同时分母不能为0”这一条件，计算求解就可以得到答案.
4．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：作，
∵，
∴，
，
，
∴．
故选：A．
【分析】
过点作，结合已知条件可推出。根据平行线的性质可得，以及，据此即可求出所求角的度数.
5．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由相等关系“ 5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两 ”列方程组得
故正确答案为：D
【分析】弄清题意，再设未知数并根据等量关系列方程组即可.
6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：首先通过三视图可以判断出该几何体是圆锥，
从三视图标注的数据可得，圆锥底面圆的半径为，
代入圆的周长公式计算，可得底面圆的周长为
故答案为：A．
【分析】先通过三视图识别几何体的形状，再结合三视图给出的数据，利用圆的周长公式计算得到结果.
7．某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示：
尺码/
销售量/双
这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据表格可知，尺码的销售量最多（10双），因此众数为.
总数据个数为20（偶数），需取第10和第11个数据的平均值。将所有尺码按从小到大排列：
第10和第11个数据均为，故中位数为.
综上，众数和中位数均为25，对应选项B.
故答案为：B．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
8．如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（　　）
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴，，
∴，
∴，，
同理，
∴，
∴矩形的面积是．
故答案为：B．
【分析】由矩形与正六边形性质可得∠BCD=120°，∠A=90°，BC=CD=2，由邻补角求出∠ACB=60°，在Rt△ABC中，由∠ACB的正弦函数可求出AB，由∠ACB的余弦函数可求出AC，同理求出BF、DE，由线段和差算出AE及AF，最后根据矩形面积公式列式计算即可.
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与位似，相似比为，
∴，
∵，位似中心为原点，
∴，
故选：B．
【分析】
根据题目已知相似比为，点，直接借助给出的相似比求出对应点的坐标.
10．如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
【分析】
先根据等边三角形的性质得到相等的边与角，通过证明三角形全等得到对应边相等，由此可判定为等边三角形；之后作垂线，结合三角形面积公式分别求出和的面积，整理后即可得到y关于x的函数关系式，最后结合二次函数的性质就能判断函数图象的形状.
11．因式分解　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式3，于是先提公因式3，再利用平方差公式分解即可求解．
12．对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则　 　．
【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据新定义运算法则先计算括号内的部分，将计算的结果与括号外的部分一起再一次利用新定义运算法则计算可得答案.
13．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是　 　寸．
【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
在中，根据勾股定理可得：
解得：，
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【分析】
结合题意可知，，根据垂径定理，可以得到尺寸。设圆形木材的半径为，那么圆心到弦AB的距离。在中，根据勾股定理可以列出方程：，解这个方程就能得到圆形木材的半径，进一步即可求出圆形木材的直径.
14．若关于的一元二次方程有一个根为，则　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得
，
，
，
解得或．
因为方程是一元二次方程，
所以二次项系数，即．
故答案为：．
【分析】将x=0代入方程即可求出答案.
15．如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是　 　（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
【答案】①
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①．
【分析】
先求出二次函数的顶点坐标为，再计算出当时对应的值，就可以完成判断.
16．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，
由旋转可知：，，，
∴∠ABF+∠ABC=180°，
∴点F、B、C三点共线，
∵，AF=AE，
∴ H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，
∵，，
∴正方形的边长为3，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】连接EG，由正方形性质得∠D=∠ABC=90°，根据旋转知DE=BF，AE=AF，∠D=∠ABF=90°，从而可得F、B、C三点共线，由等腰三角形的三线合一得出AG垂直平分EF，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得EG=FG，设CE=x，则DE=3-x，FG=5-x，在Rt△CEG中，利用勾股定理建立方程求解即可得出CE的长.
17． 计算：
【答案】解：原式=-12+5+2
=-5
【知识点】负整数指数幂；积的乘方运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再计算乘法，最后再进行加减运算即可.
18．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式.
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的整式1看成，利用同分母分式减法法则计算括号内分式减法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而将各个分子、分母能分解因式的分别分解因式，计算分式乘法约分化简，最后根据sin30°=得到x的值，再将x的值代入化简结果计算即可.
20．如图所示，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）解：如图所示，线段为所求；
（2）证明：∵点是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线，垂足为点O，连接BO，延长BO至点D，使OD=BO，连接AD、CD，则线段BO即为所求；
（2）首先，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，再结合已知∠ABC=90°，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明.
（1）解：如图所示，线段为所求；
（2）证明：∵点是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
21．历史文化名城徐州有着丰富的旅游资源．小明计划五一假期来徐州游玩，他打算从3个人文景点（A.龟山汉墓；B.徐州博物馆；C.徐州户部山古民居）中随机选取一个，再从2个自然景点（D.徐州吕梁风景区；E.云龙湖风景区）中随机选取一个．
（1）小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是____________；
（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，
∴小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率的计算公式计算，即得答案；
（2）根据题意画出树状图，列举出所有等可能的情况数，由图可知一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，从而利用概率的计算公式计算即得答案．
（1）解：由题意可得，小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是，
故答案为：；
（2）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，
∴小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率为．
22．云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下：
课题 测量“云冈大佛”的高度
测量 目的 运用三角函数知识解决实际问题
测量 工具 测角仪、皮尺等
测量 示意 图 说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上
测量 步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为
请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛 ”的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，）
【答案】解：连接并延长交于点，
由题意得：，米，米，
设米，
米，
在中，，
∴∠FMD=45°=∠MDF，
∴MF=FD=x米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
（米），
“云冈大佛”的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接BD并延长交MN于点F，易得四边形ABDC、四边形ABFN、四边形CDFN都是矩形，由矩形对边相等得AB=CD=FN=1.6米，BD=AC=6.5米，设DF=x米，则BF=(6.5+x)米，在Rt△MDF中，由等角对等边得出FD=MF=x米，在Rt△BFM中，由∠MBF的正切函数建立方程求解得出x的值，从而即可得出MF的长，最后根据MN=MF+FN列式计算即可.
23．2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2 15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________；
（2）本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档；
（3）若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数．
【答案】（1）40，12
（2）C
（3）解：（人），
答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：抽取的学生数为，
∴，
∴；
“B档”成绩的人数为：；
故答案为：40，12；
（2）解：∵抽取60名学生，
∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数，
由条形统计图第30，31名男生成绩均在档，
∴中位数落在档，
故答案为：C；
【分析】
（1）首先根据公式：总抽取人数 = C档人数÷C档人数占比，计算出本次抽取的学生总人数；再根据公式：D档人数占比 = D档人数÷抽取总人数，计算出D档人数占总人数的百分比；最后用抽取总人数减去A档、C档、D档、E档的人数，即可得到成绩为“B档”的人数；
（2）结合中位数的定义，即可确定本次调查成绩的中位数所在档次；
（3）根据样本估计总体的统计思想，用全校总人数乘以样本中D档人数的占比，即可估算出全校成绩为D档的学生人数.
（1）解：抽取的学生数为，
∴，
∴；
“B档”成绩的人数为：；
故答案为：40，12；
（2）解：∵抽取60名学生，
∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数，
由条形统计图第30，31名男生成绩均在档，
∴中位数落在档，
故答案为：C；
（3）解：（人），
答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）延长 交x轴于点F，求的面积．
【答案】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵A(40)，B(4，2)，
∴点E的横坐标为4，
∵反比例函数的图象交AB于点E，
∴，
∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由于四边形OABC是矩形，且OA、OC分别与x轴、y轴重合，从而根据点的坐标与图形性质结合点A、C的坐标可得点B(4，2)，然后根据中点坐标公式可得点D(2，2)，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式得出k的值；
（2）根据点的坐标与图形性质易得点E的横坐标为4，将x=4代入（1）所求的反比例函数解析式算出对应的函数值，可得点E的坐标，然后利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点F的坐标，进而求出AF、AE的长，利用三角形面积公式列式计算可得△AEF的面积.
（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵反比例函数的图象交于点E，
∴设，
∴，∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
25．【背景】嘉嘉所在学校的数学兴趣小组正在进行一次户外测量实践活动．他们来到了一片空地，发现了一个特殊的三角形区域，这个区域形状恰好是一个直角三角形．为了进一步研究这块区域，嘉嘉和兴趣小组的同学进行了一系列标注、测量．
【发现】在中，，平分交于点，交于点，嘉嘉突发奇想，以为直径作了一个，如图所示．
【问题】嘉嘉和兴趣小组的同学遇到了几个问题，需要你的帮助：
（1）猜想：直线与以为直径的相切，请证明这个猜想；
（2）若．求的长度；
（3）在（2）的条件下，计算图中阴影部分的面积是多少？
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为的直径，
∴点在上，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，由直径所对的圆周角为直角判断出点D在上，由等边对等角得OAD=∠ODA，由角平分线的定义得∠CAD=∠OAD，则∠CAD=∠ODA，由内错角相等两直线平行得出OD∥AC，由二直线平行，同位角相等得出∠ODB=∠C=90°，从而根据垂直半径的外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）根据Rt△ABC中，求出由勾股定理算出AB，由正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出∠CAB=60°，由角平分线的定义得，在Rt△ACD中，由∠CAD的余弦函数求出AD，在Rt△ADE中，由∠OAD的余弦函数求出AE，最后根据BE=AB-AE算出答案；
（3）由二直线平行，同位角相等求出，由含30°角直角三角形的性质求出，由线段和差算出，然后根据扇形面积计算公式，由列式计算即可.
（1）证明：如图，连接，
∵，为的直径，
∴点在上，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
26．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．
（1）求证：；
（2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值．
【答案】（1）证明：在正方形中，，，
∴，
又∵
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：的大小是定值，定值为，理由如下：
由的周长为4，可得，
由正方形的边长为2可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，，
∴
又∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小是定值，定值为；
（3）解：连接，如下图，
在正方形中，，，
由（2）可得，
又∵，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
由三角形三边关系可得，，当三点共线时，等号成立，
∴，
解得，
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）通过SAS得到，得到，从而得到，即可证明；
（2）根据的周长为4，和正方形的边长为2得到，得到，进而得到，再通过SSS证明得到，即可求解；
（3）连接，根据全等三角形对应边上的高相等可得，根据勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值．
（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为4，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴的大小是定值，定值为；
（3）解：连接，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴是的高，
∵，
∴是的高，
由（2）得，，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为．
27．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点．
（1）当时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式；
（3）要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当为何值时，的长度等于1？
【答案】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于，
∴设二次函数的交点式为，
，，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：对于二次函数，令，可得，则点的坐标为，
∵B(3，0)
∴，
∵，
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（3）解：；
（4）解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；已知正切值求边长；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立，的取值范围为；
【分析】（1）易得抛物线与x轴两交点坐标，故利用待定系数法求抛物线的解析式时，可设二次函数的交点式为，展开后与给定抛物线比较得到，求解得到a的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）根据解析式抛物线与y轴交点坐标特点求得点，进而根据两点间距离公式求出OC的长，由等角对等边得CD=CE，作的角平分线交轴于点，由等腰三角形的三线合一得，由“8”字形图可得，设G到BC的距离为d，则d=OG，根据等高三角形的面积之比等于对应底之比得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式即可求出直线AF的解析式；
（3）先找到临界值，当时，，此时得出F、B重合，根据题意可得F是第四象限的点，则当时，即可求解；
（4）根据题意得出△OAD是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，由线段和差求出OB的长，从而得出m的值.
（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于，
∴设二次函数的交点式为，
，，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：对于二次函数，
令，可得，则点的坐标为，则
∵，
∴，
∵
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（3）解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立，的取值范围为；
（4）解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
1 / 1甘肃省天水市秦州区2026年中考数学模拟试卷
1． -2026的绝对值是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．若分式的值为0，则实数的值为（　　）
A．2 B．0 C． D．-3
4．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示：
尺码/
销售量/双
这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
8．如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（　　）
A．12 B． C．16 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
11．因式分解　 　．
12．对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则　 　．
13．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是　 　寸．
14．若关于的一元二次方程有一个根为，则　 　．
15．如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是　 　（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
16．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为　 　．
17． 计算：
18．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图所示，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形．
21．历史文化名城徐州有着丰富的旅游资源．小明计划五一假期来徐州游玩，他打算从3个人文景点（A.龟山汉墓；B.徐州博物馆；C.徐州户部山古民居）中随机选取一个，再从2个自然景点（D.徐州吕梁风景区；E.云龙湖风景区）中随机选取一个．
（1）小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是____________；
（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率．
22．云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下：
课题 测量“云冈大佛”的高度
测量 目的 运用三角函数知识解决实际问题
测量 工具 测角仪、皮尺等
测量 示意 图 说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上
测量 步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为
请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛 ”的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，）
23．2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2 15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________；
（2）本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档；
（3）若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）延长 交x轴于点F，求的面积．
25．【背景】嘉嘉所在学校的数学兴趣小组正在进行一次户外测量实践活动．他们来到了一片空地，发现了一个特殊的三角形区域，这个区域形状恰好是一个直角三角形．为了进一步研究这块区域，嘉嘉和兴趣小组的同学进行了一系列标注、测量．
【发现】在中，，平分交于点，交于点，嘉嘉突发奇想，以为直径作了一个，如图所示．
【问题】嘉嘉和兴趣小组的同学遇到了几个问题，需要你的帮助：
（1）猜想：直线与以为直径的相切，请证明这个猜想；
（2）若．求的长度；
（3）在（2）的条件下，计算图中阴影部分的面积是多少？
26．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．
（1）求证：；
（2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值．
27．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点．
（1）当时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式；
（3）要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当为何值时，的长度等于1？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
即-2026的绝对值是2006.
故答案为：C。
【分析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中-2006是负数，因此绝对值就是它的相反数，从而得出答案。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【分析】
依据定义对选项逐一判断：若一个图形沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，该图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可解答.
3．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：且，
解得：；
故选A．
【分析】
依据“分式的值为0时，分式的分子等于0，同时分母不能为0”这一条件，计算求解就可以得到答案.
4．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：作，
∵，
∴，
，
，
∴．
故选：A．
【分析】
过点作，结合已知条件可推出。根据平行线的性质可得，以及，据此即可求出所求角的度数.
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由相等关系“ 5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两 ”列方程组得
故正确答案为：D
【分析】弄清题意，再设未知数并根据等量关系列方程组即可.
6．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：首先通过三视图可以判断出该几何体是圆锥，
从三视图标注的数据可得，圆锥底面圆的半径为，
代入圆的周长公式计算，可得底面圆的周长为
故答案为：A．
【分析】先通过三视图识别几何体的形状，再结合三视图给出的数据，利用圆的周长公式计算得到结果.
7．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据表格可知，尺码的销售量最多（10双），因此众数为.
总数据个数为20（偶数），需取第10和第11个数据的平均值。将所有尺码按从小到大排列：
第10和第11个数据均为，故中位数为.
综上，众数和中位数均为25，对应选项B.
故答案为：B．
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴，，
∴，
∴，，
同理，
∴，
∴矩形的面积是．
故答案为：B．
【分析】由矩形与正六边形性质可得∠BCD=120°，∠A=90°，BC=CD=2，由邻补角求出∠ACB=60°，在Rt△ABC中，由∠ACB的正弦函数可求出AB，由∠ACB的余弦函数可求出AC，同理求出BF、DE，由线段和差算出AE及AF，最后根据矩形面积公式列式计算即可.
9．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与位似，相似比为，
∴，
∵，位似中心为原点，
∴，
故选：B．
【分析】
根据题目已知相似比为，点，直接借助给出的相似比求出对应点的坐标.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
【分析】
先根据等边三角形的性质得到相等的边与角，通过证明三角形全等得到对应边相等，由此可判定为等边三角形；之后作垂线，结合三角形面积公式分别求出和的面积，整理后即可得到y关于x的函数关系式，最后结合二次函数的性质就能判断函数图象的形状.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式3，于是先提公因式3，再利用平方差公式分解即可求解．
12．【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据新定义运算法则先计算括号内的部分，将计算的结果与括号外的部分一起再一次利用新定义运算法则计算可得答案.
13．【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
在中，根据勾股定理可得：
解得：，
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【分析】
结合题意可知，，根据垂径定理，可以得到尺寸。设圆形木材的半径为，那么圆心到弦AB的距离。在中，根据勾股定理可以列出方程：，解这个方程就能得到圆形木材的半径，进一步即可求出圆形木材的直径.
14．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得
，
，
，
解得或．
因为方程是一元二次方程，
所以二次项系数，即．
故答案为：．
【分析】将x=0代入方程即可求出答案.
15．【答案】①
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①．
【分析】
先求出二次函数的顶点坐标为，再计算出当时对应的值，就可以完成判断.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，
由旋转可知：，，，
∴∠ABF+∠ABC=180°，
∴点F、B、C三点共线，
∵，AF=AE，
∴ H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，
∵，，
∴正方形的边长为3，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】连接EG，由正方形性质得∠D=∠ABC=90°，根据旋转知DE=BF，AE=AF，∠D=∠ABF=90°，从而可得F、B、C三点共线，由等腰三角形的三线合一得出AG垂直平分EF，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得EG=FG，设CE=x，则DE=3-x，FG=5-x，在Rt△CEG中，利用勾股定理建立方程求解即可得出CE的长.
17．【答案】解：原式=-12+5+2
=-5
【知识点】负整数指数幂；积的乘方运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再计算乘法，最后再进行加减运算即可.
18．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
19．【答案】解：
，
当时，
原式.
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的整式1看成，利用同分母分式减法法则计算括号内分式减法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而将各个分子、分母能分解因式的分别分解因式，计算分式乘法约分化简，最后根据sin30°=得到x的值，再将x的值代入化简结果计算即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，线段为所求；
（2）证明：∵点是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线，垂足为点O，连接BO，延长BO至点D，使OD=BO，连接AD、CD，则线段BO即为所求；
（2）首先，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，再结合已知∠ABC=90°，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明.
（1）解：如图所示，线段为所求；
（2）证明：∵点是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
21．【答案】（1）
（2）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，
∴小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率的计算公式计算，即得答案；
（2）根据题意画出树状图，列举出所有等可能的情况数，由图可知一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，从而利用概率的计算公式计算即得答案．
（1）解：由题意可得，小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是，
故答案为：；
（2）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，
∴小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率为．
22．【答案】解：连接并延长交于点，
由题意得：，米，米，
设米，
米，
在中，，
∴∠FMD=45°=∠MDF，
∴MF=FD=x米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
（米），
“云冈大佛”的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接BD并延长交MN于点F，易得四边形ABDC、四边形ABFN、四边形CDFN都是矩形，由矩形对边相等得AB=CD=FN=1.6米，BD=AC=6.5米，设DF=x米，则BF=(6.5+x)米，在Rt△MDF中，由等角对等边得出FD=MF=x米，在Rt△BFM中，由∠MBF的正切函数建立方程求解得出x的值，从而即可得出MF的长，最后根据MN=MF+FN列式计算即可.
23．【答案】（1）40，12
（2）C
（3）解：（人），
答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：抽取的学生数为，
∴，
∴；
“B档”成绩的人数为：；
故答案为：40，12；
（2）解：∵抽取60名学生，
∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数，
由条形统计图第30，31名男生成绩均在档，
∴中位数落在档，
故答案为：C；
【分析】
（1）首先根据公式：总抽取人数 = C档人数÷C档人数占比，计算出本次抽取的学生总人数；再根据公式：D档人数占比 = D档人数÷抽取总人数，计算出D档人数占总人数的百分比；最后用抽取总人数减去A档、C档、D档、E档的人数，即可得到成绩为“B档”的人数；
（2）结合中位数的定义，即可确定本次调查成绩的中位数所在档次；
（3）根据样本估计总体的统计思想，用全校总人数乘以样本中D档人数的占比，即可估算出全校成绩为D档的学生人数.
（1）解：抽取的学生数为，
∴，
∴；
“B档”成绩的人数为：；
故答案为：40，12；
（2）解：∵抽取60名学生，
∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数，
由条形统计图第30，31名男生成绩均在档，
∴中位数落在档，
故答案为：C；
（3）解：（人），
答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人．
24．【答案】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵A(40)，B(4，2)，
∴点E的横坐标为4，
∵反比例函数的图象交AB于点E，
∴，
∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由于四边形OABC是矩形，且OA、OC分别与x轴、y轴重合，从而根据点的坐标与图形性质结合点A、C的坐标可得点B(4，2)，然后根据中点坐标公式可得点D(2，2)，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式得出k的值；
（2）根据点的坐标与图形性质易得点E的横坐标为4，将x=4代入（1）所求的反比例函数解析式算出对应的函数值，可得点E的坐标，然后利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点F的坐标，进而求出AF、AE的长，利用三角形面积公式列式计算可得△AEF的面积.
（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵反比例函数的图象交于点E，
∴设，
∴，∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
25．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为的直径，
∴点在上，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，由直径所对的圆周角为直角判断出点D在上，由等边对等角得OAD=∠ODA，由角平分线的定义得∠CAD=∠OAD，则∠CAD=∠ODA，由内错角相等两直线平行得出OD∥AC，由二直线平行，同位角相等得出∠ODB=∠C=90°，从而根据垂直半径的外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）根据Rt△ABC中，求出由勾股定理算出AB，由正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出∠CAB=60°，由角平分线的定义得，在Rt△ACD中，由∠CAD的余弦函数求出AD，在Rt△ADE中，由∠OAD的余弦函数求出AE，最后根据BE=AB-AE算出答案；
（3）由二直线平行，同位角相等求出，由含30°角直角三角形的性质求出，由线段和差算出，然后根据扇形面积计算公式，由列式计算即可.
（1）证明：如图，连接，
∵，为的直径，
∴点在上，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
26．【答案】（1）证明：在正方形中，，，
∴，
又∵
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：的大小是定值，定值为，理由如下：
由的周长为4，可得，
由正方形的边长为2可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，，
∴
又∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小是定值，定值为；
（3）解：连接，如下图，
在正方形中，，，
由（2）可得，
又∵，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
由三角形三边关系可得，，当三点共线时，等号成立，
∴，
解得，
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）通过SAS得到，得到，从而得到，即可证明；
（2）根据的周长为4，和正方形的边长为2得到，得到，进而得到，再通过SSS证明得到，即可求解；
（3）连接，根据全等三角形对应边上的高相等可得，根据勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值．
（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为4，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴的大小是定值，定值为；
（3）解：连接，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴是的高，
∵，
∴是的高，
由（2）得，，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为．
27．【答案】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于，
∴设二次函数的交点式为，
，，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：对于二次函数，令，可得，则点的坐标为，
∵B(3，0)
∴，
∵，
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（3）解：；
（4）解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；已知正切值求边长；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立，的取值范围为；
【分析】（1）易得抛物线与x轴两交点坐标，故利用待定系数法求抛物线的解析式时，可设二次函数的交点式为，展开后与给定抛物线比较得到，求解得到a的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）根据解析式抛物线与y轴交点坐标特点求得点，进而根据两点间距离公式求出OC的长，由等角对等边得CD=CE，作的角平分线交轴于点，由等腰三角形的三线合一得，由“8”字形图可得，设G到BC的距离为d，则d=OG，根据等高三角形的面积之比等于对应底之比得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式即可求出直线AF的解析式；
（3）先找到临界值，当时，，此时得出F、B重合，根据题意可得F是第四象限的点，则当时，即可求解；
（4）根据题意得出△OAD是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，由线段和差求出OB的长，从而得出m的值.
（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于，
∴设二次函数的交点式为，
，，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：对于二次函数，
令，可得，则点的坐标为，则
∵，
∴，
∵
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（3）解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立，的取值范围为；
（4）解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
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