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2026年广东省珠海市凤凰中学教育集团初中学业水平综合模拟监测 数学
1．四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市汽油价格一月底是7.66元/升，三月底汽油价格调整为8.58元/升．假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移个单位，再向上平移个单位
B．先向右平移个单位，再向下平移个单位
C．先向左平移个单位，再向上平移个单位
D．先向左平移个单位，再向下平移个单位
8．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图1放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点．点A，B的度数是，，这样小明就能得到的度数．请你帮忙算算的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图， ABCD的顶点A在反比例函数图象上，边CD落在x轴上，点B在y轴上，AD交y轴于点E，OE：EB＝1：2，四边形BCDE的面积为6，则这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
11．分解因式：a3－a=　 　
12．若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
13．如图所示的衣架可近似看成一个等腰三角形．若，，则衣架宽约为　 　cm．（参考数据：，，）
14．如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为　 　．
15．如图，四边形是边长为4的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为　 　．
16．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
17．如图，是的直径，点C在上，且，．
（1）尺规作图：过点O作的垂线，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求的值．
18．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（，均为自然数）”的问题．
指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
奇数 4的倍数
表示结果 … …
一般结论 _______
按上表规律，完成下列问题：
（1）（ⅰ）（________）（________）；
（ⅱ）________；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程：
假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，…… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，…… 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②，情形③的证明．
19．在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示．
组别 A B C D E
x
将所收集的样本数据进行如图分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
（1）任务1：图①中a的值为________．
（2）任务2：计算乙园样本数据的加权平均数．（统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数）
（3）任务3：下列结论正确的是________（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差一定相等；
④两园柑橘直径的方差可能甲园较大．
20．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点为原点，以所在直线为轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）受天气影响，水位上升米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
21．启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习．
【模型准备】
启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为．
【收集数据】
小组成员分工进行数据收集并整理如下：
时间 8时 11时 14时 17时 20时
自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8
自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23
【建立模型】
成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式．
【模型应用】
兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向．
【问题求解】
（1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围）
（2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵．
（3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案．
22．如图1，在中，，．点是边上任意一点（不与，重合），连接，过点作于点，连接，点为中点，连接，．
（1）当时，判断四边形的形状，并证明．
（2）点在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由．
（3）将图1中的绕点旋转到如图2所示位置，得到，使得点，点，点在同一直线上，点为的中点，与交于点，其他条件不变．求的度数．
23．如图，直线与轴，轴分别交于点、，以为边向右作矩形，，
（1）如图1，当时，直接写出点的坐标；
（2）如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，若点在轴上，
①延长交轴于点，求证：四边形为平行四边形；
②求直线的解析式；
（3）连接，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法.
2．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：因为一共三种结果，转盘停止后指向偶数的情况一种，所以P（指向偶数）=
故答案为：D.
【分析】 本题考查概率公式， 根据转盘中的数据可知，偶数为2，然后即可得到指针指向的数字为偶数的概率．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项原计算不正确，不符合题意；
B、，故该选项原计算不正确，不符合题意；
C、，故该选项原计算正确，符合题意；
D、，故该选项原计算不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断B选项；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：C.
【分析】由 可知 ，再估计 的范围即可.
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，
根据题意得，．
故答案为：A.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与关于原点成位似关系，
∴相似比，
∵点F是点C的对应点，点C的坐标为，
∴点F的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】根据位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比可求出△ABC与△DEF的位似比，然后根据在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线可化为
∴其顶点坐标为(2， 1)，
-2-2=-4，4-（-1）=5，
∴若使其平移后的顶点为( 2，4)，则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
故答案为：C.
【分析】本题先将抛物线化为顶点式，从而确定顶点坐标为(2， 1)，然后根据函数图象平移的法则，并计算出2到-2需要向左平移4个单位、-1到4需要向上平移5个单位，从而得出答案。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
由题意知，，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
根据题意作图后，由已知条件可以计算得出圆心角，结合圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此可以得到，通过计算即可得到最终结果.
9．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
如图，连接，，则，
，在上，
设，
过作于，连接，
∴四边形为矩形，
∴，，，
而，
∴，
解得：（舍去），，
∴大的半圆的弧长为，
小圆的周长为，故A不符合题意；
如图，
由正方形与圆的性质可得：，
∴大的半圆的弧长为，
小圆的周长为，故B符合题意；
如图，连接，，则，
设，
同理可得：，，，
∴，
解得：，
∴∴大的扇形的弧长为，
小圆的周长为，故C不符合题意；
如图，连接，，
设，
当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长，
∴，
∴，
而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先利用弧长公式及圆的周长公式分别求出每个选项中扇形的弧长和圆的周长，再比较大小并判断即可.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OE：EB＝1：2，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥BC，AB∥CD，
∴△EOD∽△BOC，
∴＝，
∴＝，
解得：S△EOD＝，
∵AB∥DO，
∴△ABE∽△DOE，
∴
∴S△ABE＝4×＝3，
∴四边形ABCD的面积为6+3＝9，
如图，过A作AF⊥x轴于F，则S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD＝9，
即|k|＝9，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k＝﹣9，
即函数解析式为：y＝﹣.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，AB∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△ODE∽△OCB，由相似三角形面积的比等于相似比的平方建立方程求出S△EOD＝；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△DOE，由相似三角形面积的比等于相似比的平方建立方程求出S△ABE＝3，然后可求出平行四边形ABCD的面积为9；过A作AF⊥x轴于F，由等底等高平行四边形面积相等得出S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD＝9，进而结合反比例函数k的几何意义及图象过第四象限可得k的值.
11．【答案】-
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】a3－a=a(a2-1)=
【分析】先用提取公因式法将a提出，再逆用平方差公式对括号里的a2-1进行因式分解。
12．【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
13．【答案】32.04
【知识点】已知余弦值求边长；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图，过点A作，垂足为D，
因为，
所以BC=2BD，
又因为，
所以（cm），
∴BC=2BD=32.04.
故答案为：32.04．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的三线合一得出BC=2BD，在Rt△ABD中，由∠A的余弦函数可算出BD，从而即可得出BC的长.
14．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
则，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴阴影部分面积
．
故答案为：.
【分析】过点E作GE⊥AB，交AC于点G，由正方形性质得DE=FE，∠DEF=∠EDG=∠EFB=90°，由角的构成及同角的余角相等推出∠DEG=∠FEB，从而用“ASA”证△DEG≌△FEB，由全等三角形的对应边相等得出GE=BE，由全等三角形的面积相等及图形可得S阴影=S△AGE，然后根据直角三角形面积计算公式列式计算即可.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接CF并延长交AD的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵线段AE绕点E顺时针旋转至EF，
∴，，
∴，
又∵
∴∠BAE=∠FEG
在与中
是等腰直角三角形
点F在过点C且与BC成45°角的直线上运动。
是等腰直角三角形
点P为线段AD上一点，
当时，
有最小值，在中，。
.
故答案为：.
【分析】过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，由正方形性质得AB=BC=CD=DA=4，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，由旋转的性质得AE=EF，∠AEF=90°，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得出∠BAE=∠FEG，从而由“AAS”判断出△ABE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得出EG=AB=4，FG=BE，优先度那和差证出CG=FG，故△FCG是等腰直角三角形，且∠FCG=45°，从而得出点F在过点C且与BC成45°角的直线上运动；延长AD交直线CF于点Q，进而证出△CQD是等腰直角三角形，得出DQ=CD=4，由线段和差得出PQ=5，当PF⊥CQ时，PF最小，在Rt△PFQ中，由∠PQF的正弦函数可求出PF的长.
16．【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解．
17．【答案】（1）解：如图即为所求；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，记与的交点为E，
∵，
∴点E是中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；求正切值；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论：垂直平分弦的直线一定经过圆心，故作AC的垂直平分线，该线一定经过圆心，该线与圆的交点即为D，连接CD即可；
（2）由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB=10，记OD与AC的交点为E，则OE是△ABC的中位线，由三角形的中位线等于第三边的一半得到，进而利用线段和差求出DE，最后利用正切的定义求解即可．
（1）解：如图即为所求；
；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，记与的交点为E，
∵，
∴点E是中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）（ⅰ）7，5
（ⅱ）
（2）解：②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数．
所以
．
∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾，
∴x，y不可能均为奇数；
③若x，y一个是奇数一个是偶数，
则和均为奇数．
所以为奇数，
而是偶数，矛盾，
故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：（i）观察给出的式子总结规律可得，；
（ii）按照总结出的规律可得，．
故答案为：（i）7，5；（ii）(n+1)2-(n-1)2；
【分析】（1）（i）根据已知式子总结出的规律即可计算得到结果；（ii）根据规律即可推导出对应的代数式；
（2）②计算验证时，先通过完全平方公式将两个平方项展开，再合并同类项化简，最后提取公因式就能得到对应结果；
③证明结论时，先对等式右边利用平方差公式因式分解，再结合奇偶数的性质即可证明结论.
（1）解：（ⅰ）由规律可得，；
（ⅱ）由规律可得，．
（2）解：②若x，y均为奇数，
设，，其中k，m均为自然数．
所以
．
∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾，
∴x，y不可能均为奇数；
③若x，y一个是奇数一个是偶数，
则和均为奇数．
所以为奇数，
而是偶数，矛盾，
故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
19．【答案】（1）40
（2）解：乙园的加权平均数为
；
（3）①④
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：40；
（3）解：①甲园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
乙园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
故①正确；
②由频数直方图可得，甲园样本数据的众数在组，乙园样本数据的众数在组，
故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
④甲园的加权平均数为
；
；
；
∵，
∴甲园的方差大，
故④正确；
综上，正确的选项有①④．
故答案为：①④.
【分析】（1）根据直方图提供的信息，由各组频数之和等于200即可求出直径6.5≤x＜7.5这组的频数a得值；
（2）用各组直径的组中值与各组频数乘积的和再除以各组频数得和列式计算即可；
（3）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可判断①；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数据此可判断②；由于样本数据没有明确告知量果园柑橘直径的最大与最小值，故无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，据此可判断③；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断④.
（1）解：；
（2）解：乙园的加权平均数为
；
（3）解：①甲园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
乙园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
故①正确；
②由频数直方图可得，甲园样本数据的众数在组，乙园样本数据的众数在组，
故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
④甲园的加权平均数为
；
；
；
∵，
∴甲园的方差大，
故④正确；
综上，正确的选项有①④．
20．【答案】（1）解：由题可知，，，抛物线的顶点为点，
可设抛物线的解析式为将，代入得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此时该货船能安全过桥；理由如下：
由题意得：水位上升0.5米，
相当于将抛物线向下平移0.5个单位长度，
平移后抛物线的解析式为，
把代入，
．
，
此时该货船能安全过桥．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
（1）因为抛物线经过原点，因此可设抛物线的解析式为，再将点和代入所设解析式，计算求出系数即可得到答案
（2）根据题意得到平移后的抛物线解析式为，将代入这个解析式计算得到对应y值，再和比较，由即可得出结论.
（1）解：由题可知，，，抛物线的顶点为点，
可设抛物线的解析式为将，代入得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此时该货船能安全过桥；理由如下：
由题意得：水位上升0.5米，
相当于将抛物线向下平移0.5个单位长度，
平移后抛物线的解析式为，
把代入，
．
，
此时该货船能安全过桥．
21．【答案】（1）
（2）解：由（1）得，，，
当时，，，
可变车道为自东向西方向，
自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，
，，
，
自西向东方向更拥堵．
（3），在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设为常数，且．将和代入，
得，
解得，
∴．
设为常数，且．
将和代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：，．
（3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，，当时，，
，解得，
经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向．
【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法进行求解即可；
（2）由（1）得出的函数关系式为： 和。当 时，计算得，。由于可变车道为自东向西方向，因此自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2。由此可求出，，进而作出判断。
（3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，。当 时，有，即，解得。分两种情况讨论：当 时，有；当 时，有。根据这两种情况分别求解即可。
（1）解：设为常数，且．
将和代入，
得，
解得，
∴．
设为常数，且．
将和代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：，．
（2）由（1）得，，，
当时，，，
可变车道为自东向西方向，
自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，
，，
，
自西向东方向更拥堵．
（3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，，
当时，，
，解得，
经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向．
22．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴且平分，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：当时，的面积最大，理由如下：
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
当时，最大，此时，
∴当时，的面积最大；
（3）解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，则，
∴，
由题意得：，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴．
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形的综合；四边形的综合
【解析】【分析】（1）四边形CDEF是菱形，理由如下：利用特殊锐角三角函数值求得，由直角三角形两锐角互余得，根据含30°角直角三角形的性质得出得出BD=2DE，则结合已知可推出CD=DE；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CF=EF=AD，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上推出AD是CE的垂直平分线，进而由线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得出AE=AC，由等腰三角形的三线合一得出AD平分∠BAC，再利用含30°角直角三角形性质可推出DE=CD=AD，从而由四边相等的四边形是菱形即可证明结论；
（2）当BD=2CD时，△DEF面积最大，理由如下：设AC=a，CD=x，由含30°角直角三角形性质表示出AB、BC、DE、BE，由线段和差表示出AE，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形结合三角形面积公式表示S△DEF，利用二次函数的性质即可求解；
（3）作点A关于BC的对称点A'，点D'关于BE'的对称点H，连接A'B，BH，A'D'，证明△ABA'与△BHD'是等边三角形，进而再利用“SAS”推出△ABH≌△A'BD'，由全等三角形的对应角相等及邻补角得出∠AHB=∠A'D'B=120°，再根据等边三角形性质及角的构成推出∠A'D'A=60°，由三角形的中位线平行于第三边得出CF'∥A'D，从而根据二直线平行，同位角相等得出∠AF'C=∠A'D'A的度数.
（1）答：四边形是菱形，理由如下：
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴且平分，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）答：当时，的面积最大，理由如下：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
当时，最大，此时，
∴当时，的面积最大；
（3）解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，
则，
∴，
由题意得：，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：点C的坐标为；
（2）解：①令交于点，如下图所示：
在矩形中，
∵翻折的性质，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴Rt△AHD≌Rt△EHB，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
②∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，或，
∴点坐标为或点坐标为，
令直线函数表达式为，
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
∴直线函数表达式为或．
（3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小，
∴即，
当时，，
∴点坐标为，
由勾股定理得，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
化简得，
∵，
∴，
假设的值为，
即，
即，
该关于的方程有解，
即，
得，
解出，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示：
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为．
【分析】（1）过点作轴，交轴于点，令直线y=-bx+b中的y=0，算出x=3，可得OB=3，然后根据正切函数定义结合∠BAO的正切值求出OA=6，然后根据勾股定理算出AB的长，结合矩形面积公式算出BC的长；由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠CBE=∠BAO，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△AOB∽△BEC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CE、BE，由此可得点C的坐标；
（2）①令AB交DE于点H，由矩形性质得DC∥AB，由二直线平行，内错角相等及翻折可得出∠BDC=∠BDE=∠DBA，由等角对等边得出DH=BH，由矩形对边相等，四个内角都是直角及翻折可推出AD=BC=BE，∠DAB=∠C=∠DEB=90°，用“HL”证Rt△AHD≌Rt△EHB，由全等三角形的对应边相等得AH=EH，由等边对等角、对顶角相等及三角形内角和定理推出∠HAE=∠ABD，由内错角相等两直线平行得出AF∥BD，结合AD∥BC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证出四边形AFBD为平行四边形；
②由等底等高三角形面积相等及翻折性质可推出S△ABF=S△BDE=S△BDC=15，从而根据三角形面积公式建立方程求出AF的长度，由同角的余角相等推出∠OFB=∠ABO，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△AOB∽△BOF，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AO及OF的长，可得点A的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（3）同（1）中的过程，用表示出点的坐标，可得，根据方程根的判别式，可得出的取值范围，最终得出的取值范围．
（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示：
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为．
（2）解：①令交于点，如下图所示：
在矩形中，
∵翻折的性质，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
②∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，或，
∴点坐标为或点坐标为，
令直线函数表达式为，
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
∴直线函数表达式为或．
（3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小，
∴即，
当时，，
∴点坐标为，
由勾股定理得，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
化简得，
∵，
∴，
假设的值为，
即，
即，
该关于的方程有解，
即，
得，
解出，
∴，
∴，
∴．
1 / 12026年广东省珠海市凤凰中学教育集团初中学业水平综合模拟监测 数学
1．四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法.
2．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：因为一共三种结果，转盘停止后指向偶数的情况一种，所以P（指向偶数）=
故答案为：D.
【分析】 本题考查概率公式， 根据转盘中的数据可知，偶数为2，然后即可得到指针指向的数字为偶数的概率．
3．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项原计算不正确，不符合题意；
B、，故该选项原计算不正确，不符合题意；
C、，故该选项原计算正确，符合题意；
D、，故该选项原计算不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断B选项；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
4．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：C.
【分析】由 可知 ，再估计 的范围即可.
5．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市汽油价格一月底是7.66元/升，三月底汽油价格调整为8.58元/升．假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，
根据题意得，．
故答案为：A.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
6．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与关于原点成位似关系，
∴相似比，
∵点F是点C的对应点，点C的坐标为，
∴点F的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】根据位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比可求出△ABC与△DEF的位似比，然后根据在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
7．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移个单位，再向上平移个单位
B．先向右平移个单位，再向下平移个单位
C．先向左平移个单位，再向上平移个单位
D．先向左平移个单位，再向下平移个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线可化为
∴其顶点坐标为(2， 1)，
-2-2=-4，4-（-1）=5，
∴若使其平移后的顶点为( 2，4)，则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
故答案为：C.
【分析】本题先将抛物线化为顶点式，从而确定顶点坐标为(2， 1)，然后根据函数图象平移的法则，并计算出2到-2需要向左平移4个单位、-1到4需要向上平移5个单位，从而得出答案。
8．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图1放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点．点A，B的度数是，，这样小明就能得到的度数．请你帮忙算算的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
由题意知，，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
根据题意作图后，由已知条件可以计算得出圆心角，结合圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此可以得到，通过计算即可得到最终结果.
9．数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
如图，连接，，则，
，在上，
设，
过作于，连接，
∴四边形为矩形，
∴，，，
而，
∴，
解得：（舍去），，
∴大的半圆的弧长为，
小圆的周长为，故A不符合题意；
如图，
由正方形与圆的性质可得：，
∴大的半圆的弧长为，
小圆的周长为，故B符合题意；
如图，连接，，则，
设，
同理可得：，，，
∴，
解得：，
∴∴大的扇形的弧长为，
小圆的周长为，故C不符合题意；
如图，连接，，
设，
当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长，
∴，
∴，
而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先利用弧长公式及圆的周长公式分别求出每个选项中扇形的弧长和圆的周长，再比较大小并判断即可.
10．如图， ABCD的顶点A在反比例函数图象上，边CD落在x轴上，点B在y轴上，AD交y轴于点E，OE：EB＝1：2，四边形BCDE的面积为6，则这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OE：EB＝1：2，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥BC，AB∥CD，
∴△EOD∽△BOC，
∴＝，
∴＝，
解得：S△EOD＝，
∵AB∥DO，
∴△ABE∽△DOE，
∴
∴S△ABE＝4×＝3，
∴四边形ABCD的面积为6+3＝9，
如图，过A作AF⊥x轴于F，则S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD＝9，
即|k|＝9，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k＝﹣9，
即函数解析式为：y＝﹣.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，AB∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△ODE∽△OCB，由相似三角形面积的比等于相似比的平方建立方程求出S△EOD＝；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△DOE，由相似三角形面积的比等于相似比的平方建立方程求出S△ABE＝3，然后可求出平行四边形ABCD的面积为9；过A作AF⊥x轴于F，由等底等高平行四边形面积相等得出S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD＝9，进而结合反比例函数k的几何意义及图象过第四象限可得k的值.
11．分解因式：a3－a=　 　
【答案】-
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】a3－a=a(a2-1)=
【分析】先用提取公因式法将a提出，再逆用平方差公式对括号里的a2-1进行因式分解。
12．若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
13．如图所示的衣架可近似看成一个等腰三角形．若，，则衣架宽约为　 　cm．（参考数据：，，）
【答案】32.04
【知识点】已知余弦值求边长；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图，过点A作，垂足为D，
因为，
所以BC=2BD，
又因为，
所以（cm），
∴BC=2BD=32.04.
故答案为：32.04．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的三线合一得出BC=2BD，在Rt△ABD中，由∠A的余弦函数可算出BD，从而即可得出BC的长.
14．如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
则，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴阴影部分面积
．
故答案为：.
【分析】过点E作GE⊥AB，交AC于点G，由正方形性质得DE=FE，∠DEF=∠EDG=∠EFB=90°，由角的构成及同角的余角相等推出∠DEG=∠FEB，从而用“ASA”证△DEG≌△FEB，由全等三角形的对应边相等得出GE=BE，由全等三角形的面积相等及图形可得S阴影=S△AGE，然后根据直角三角形面积计算公式列式计算即可.
15．如图，四边形是边长为4的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接CF并延长交AD的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵线段AE绕点E顺时针旋转至EF，
∴，，
∴，
又∵
∴∠BAE=∠FEG
在与中
是等腰直角三角形
点F在过点C且与BC成45°角的直线上运动。
是等腰直角三角形
点P为线段AD上一点，
当时，
有最小值，在中，。
.
故答案为：.
【分析】过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，由正方形性质得AB=BC=CD=DA=4，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，由旋转的性质得AE=EF，∠AEF=90°，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得出∠BAE=∠FEG，从而由“AAS”判断出△ABE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得出EG=AB=4，FG=BE，优先度那和差证出CG=FG，故△FCG是等腰直角三角形，且∠FCG=45°，从而得出点F在过点C且与BC成45°角的直线上运动；延长AD交直线CF于点Q，进而证出△CQD是等腰直角三角形，得出DQ=CD=4，由线段和差得出PQ=5，当PF⊥CQ时，PF最小，在Rt△PFQ中，由∠PQF的正弦函数可求出PF的长.
16．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解．
17．如图，是的直径，点C在上，且，．
（1）尺规作图：过点O作的垂线，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求的值．
【答案】（1）解：如图即为所求；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，记与的交点为E，
∵，
∴点E是中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；求正切值；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论：垂直平分弦的直线一定经过圆心，故作AC的垂直平分线，该线一定经过圆心，该线与圆的交点即为D，连接CD即可；
（2）由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB=10，记OD与AC的交点为E，则OE是△ABC的中位线，由三角形的中位线等于第三边的一半得到，进而利用线段和差求出DE，最后利用正切的定义求解即可．
（1）解：如图即为所求；
；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，记与的交点为E，
∵，
∴点E是中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
18．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（，均为自然数）”的问题．
指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
奇数 4的倍数
表示结果 … …
一般结论 _______
按上表规律，完成下列问题：
（1）（ⅰ）（________）（________）；
（ⅱ）________；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程：
假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，…… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，…… 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②，情形③的证明．
【答案】（1）（ⅰ）7，5
（ⅱ）
（2）解：②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数．
所以
．
∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾，
∴x，y不可能均为奇数；
③若x，y一个是奇数一个是偶数，
则和均为奇数．
所以为奇数，
而是偶数，矛盾，
故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：（i）观察给出的式子总结规律可得，；
（ii）按照总结出的规律可得，．
故答案为：（i）7，5；（ii）(n+1)2-(n-1)2；
【分析】（1）（i）根据已知式子总结出的规律即可计算得到结果；（ii）根据规律即可推导出对应的代数式；
（2）②计算验证时，先通过完全平方公式将两个平方项展开，再合并同类项化简，最后提取公因式就能得到对应结果；
③证明结论时，先对等式右边利用平方差公式因式分解，再结合奇偶数的性质即可证明结论.
（1）解：（ⅰ）由规律可得，；
（ⅱ）由规律可得，．
（2）解：②若x，y均为奇数，
设，，其中k，m均为自然数．
所以
．
∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾，
∴x，y不可能均为奇数；
③若x，y一个是奇数一个是偶数，
则和均为奇数．
所以为奇数，
而是偶数，矛盾，
故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
19．在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示．
组别 A B C D E
x
将所收集的样本数据进行如图分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
（1）任务1：图①中a的值为________．
（2）任务2：计算乙园样本数据的加权平均数．（统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数）
（3）任务3：下列结论正确的是________（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差一定相等；
④两园柑橘直径的方差可能甲园较大．
【答案】（1）40
（2）解：乙园的加权平均数为
；
（3）①④
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：40；
（3）解：①甲园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
乙园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
故①正确；
②由频数直方图可得，甲园样本数据的众数在组，乙园样本数据的众数在组，
故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
④甲园的加权平均数为
；
；
；
∵，
∴甲园的方差大，
故④正确；
综上，正确的选项有①④．
故答案为：①④.
【分析】（1）根据直方图提供的信息，由各组频数之和等于200即可求出直径6.5≤x＜7.5这组的频数a得值；
（2）用各组直径的组中值与各组频数乘积的和再除以各组频数得和列式计算即可；
（3）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可判断①；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数据此可判断②；由于样本数据没有明确告知量果园柑橘直径的最大与最小值，故无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，据此可判断③；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断④.
（1）解：；
（2）解：乙园的加权平均数为
；
（3）解：①甲园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
乙园的中位数为第100位和第101位数的平均数，第100位和第101位数位于组，
∴中位数在C组；
故①正确；
②由频数直方图可得，甲园样本数据的众数在组，乙园样本数据的众数在组，
故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
④甲园的加权平均数为
；
；
；
∵，
∴甲园的方差大，
故④正确；
综上，正确的选项有①④．
20．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点为原点，以所在直线为轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）受天气影响，水位上升米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
【答案】（1）解：由题可知，，，抛物线的顶点为点，
可设抛物线的解析式为将，代入得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此时该货船能安全过桥；理由如下：
由题意得：水位上升0.5米，
相当于将抛物线向下平移0.5个单位长度，
平移后抛物线的解析式为，
把代入，
．
，
此时该货船能安全过桥．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
（1）因为抛物线经过原点，因此可设抛物线的解析式为，再将点和代入所设解析式，计算求出系数即可得到答案
（2）根据题意得到平移后的抛物线解析式为，将代入这个解析式计算得到对应y值，再和比较，由即可得出结论.
（1）解：由题可知，，，抛物线的顶点为点，
可设抛物线的解析式为将，代入得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此时该货船能安全过桥；理由如下：
由题意得：水位上升0.5米，
相当于将抛物线向下平移0.5个单位长度，
平移后抛物线的解析式为，
把代入，
．
，
此时该货船能安全过桥．
21．启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习．
【模型准备】
启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为．
【收集数据】
小组成员分工进行数据收集并整理如下：
时间 8时 11时 14时 17时 20时
自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8
自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23
【建立模型】
成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式．
【模型应用】
兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向．
【问题求解】
（1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围）
（2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵．
（3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案．
【答案】（1）
（2）解：由（1）得，，，
当时，，，
可变车道为自东向西方向，
自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，
，，
，
自西向东方向更拥堵．
（3），在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设为常数，且．将和代入，
得，
解得，
∴．
设为常数，且．
将和代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：，．
（3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，，当时，，
，解得，
经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向．
【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法进行求解即可；
（2）由（1）得出的函数关系式为： 和。当 时，计算得，。由于可变车道为自东向西方向，因此自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2。由此可求出，，进而作出判断。
（3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，。当 时，有，即，解得。分两种情况讨论：当 时，有；当 时，有。根据这两种情况分别求解即可。
（1）解：设为常数，且．
将和代入，
得，
解得，
∴．
设为常数，且．
将和代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：，．
（2）由（1）得，，，
当时，，，
可变车道为自东向西方向，
自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，
，，
，
自西向东方向更拥堵．
（3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，，
当时，，
，解得，
经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向．
22．如图1，在中，，．点是边上任意一点（不与，重合），连接，过点作于点，连接，点为中点，连接，．
（1）当时，判断四边形的形状，并证明．
（2）点在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由．
（3）将图1中的绕点旋转到如图2所示位置，得到，使得点，点，点在同一直线上，点为的中点，与交于点，其他条件不变．求的度数．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴且平分，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：当时，的面积最大，理由如下：
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
当时，最大，此时，
∴当时，的面积最大；
（3）解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，则，
∴，
由题意得：，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴．
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形的综合；四边形的综合
【解析】【分析】（1）四边形CDEF是菱形，理由如下：利用特殊锐角三角函数值求得，由直角三角形两锐角互余得，根据含30°角直角三角形的性质得出得出BD=2DE，则结合已知可推出CD=DE；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CF=EF=AD，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上推出AD是CE的垂直平分线，进而由线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得出AE=AC，由等腰三角形的三线合一得出AD平分∠BAC，再利用含30°角直角三角形性质可推出DE=CD=AD，从而由四边相等的四边形是菱形即可证明结论；
（2）当BD=2CD时，△DEF面积最大，理由如下：设AC=a，CD=x，由含30°角直角三角形性质表示出AB、BC、DE、BE，由线段和差表示出AE，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形结合三角形面积公式表示S△DEF，利用二次函数的性质即可求解；
（3）作点A关于BC的对称点A'，点D'关于BE'的对称点H，连接A'B，BH，A'D'，证明△ABA'与△BHD'是等边三角形，进而再利用“SAS”推出△ABH≌△A'BD'，由全等三角形的对应角相等及邻补角得出∠AHB=∠A'D'B=120°，再根据等边三角形性质及角的构成推出∠A'D'A=60°，由三角形的中位线平行于第三边得出CF'∥A'D，从而根据二直线平行，同位角相等得出∠AF'C=∠A'D'A的度数.
（1）答：四边形是菱形，理由如下：
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴且平分，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）答：当时，的面积最大，理由如下：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
当时，最大，此时，
∴当时，的面积最大；
（3）解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，
则，
∴，
由题意得：，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴．
23．如图，直线与轴，轴分别交于点、，以为边向右作矩形，，
（1）如图1，当时，直接写出点的坐标；
（2）如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，若点在轴上，
①延长交轴于点，求证：四边形为平行四边形；
②求直线的解析式；
（3）连接，求的取值范围．
【答案】（1）解：点C的坐标为；
（2）解：①令交于点，如下图所示：
在矩形中，
∵翻折的性质，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴Rt△AHD≌Rt△EHB，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
②∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，或，
∴点坐标为或点坐标为，
令直线函数表达式为，
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
∴直线函数表达式为或．
（3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小，
∴即，
当时，，
∴点坐标为，
由勾股定理得，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
化简得，
∵，
∴，
假设的值为，
即，
即，
该关于的方程有解，
即，
得，
解出，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示：
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为．
【分析】（1）过点作轴，交轴于点，令直线y=-bx+b中的y=0，算出x=3，可得OB=3，然后根据正切函数定义结合∠BAO的正切值求出OA=6，然后根据勾股定理算出AB的长，结合矩形面积公式算出BC的长；由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠CBE=∠BAO，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△AOB∽△BEC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CE、BE，由此可得点C的坐标；
（2）①令AB交DE于点H，由矩形性质得DC∥AB，由二直线平行，内错角相等及翻折可得出∠BDC=∠BDE=∠DBA，由等角对等边得出DH=BH，由矩形对边相等，四个内角都是直角及翻折可推出AD=BC=BE，∠DAB=∠C=∠DEB=90°，用“HL”证Rt△AHD≌Rt△EHB，由全等三角形的对应边相等得AH=EH，由等边对等角、对顶角相等及三角形内角和定理推出∠HAE=∠ABD，由内错角相等两直线平行得出AF∥BD，结合AD∥BC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证出四边形AFBD为平行四边形；
②由等底等高三角形面积相等及翻折性质可推出S△ABF=S△BDE=S△BDC=15，从而根据三角形面积公式建立方程求出AF的长度，由同角的余角相等推出∠OFB=∠ABO，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△AOB∽△BOF，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AO及OF的长，可得点A的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（3）同（1）中的过程，用表示出点的坐标，可得，根据方程根的判别式，可得出的取值范围，最终得出的取值范围．
（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示：
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为．
（2）解：①令交于点，如下图所示：
在矩形中，
∵翻折的性质，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
②∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，或，
∴点坐标为或点坐标为，
令直线函数表达式为，
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
将点、代入，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
∴直线函数表达式为或．
（3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小，
∴即，
当时，，
∴点坐标为，
由勾股定理得，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
化简得，
∵，
∴，
假设的值为，
即，
即，
该关于的方程有解，
即，
得，
解出，
∴，
∴，
∴．
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