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江苏省南京市2026年中考数学真题（回忆版）
1．-2的相反数(　　)
A．2 B．- 2 C． D．
2．以下计算结果中，最大的是（　　）
A．（-3）×1 B．|| C． D．3-1
3．下面四个点离y轴最近的是（　　）
A．（2，3） B．（-3，2） C．（，） D．（，）
4．一个几何体的三视图如下，则这个几何体是(　　)
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
5．跳绳成绩，甲组平均96个，乙组平均100个，丙组平均104个，最后全部平均成绩102个，问哪组人数最多(　　)
A．甲组人数最多 B．乙组人数最多
C．丙组人数最多 D．三组人数一样多
6． 如图， 在菱形ABCD中， ∠B=54°， 现将菱形ABCD绕点B逆时针旋转16°得菱形A'BC'D'， 连接DD'，则∠D'DC= (　　)
A．108° B．109° C．110° D．111°
7．在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是　 　．
8．比较大小： 　 　
9．计算： 　 　．
10．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为4时，压强为1.5；当4换成3，1.5对的位置换成　 　．
11．计算：（a3）2÷a2=　 　．
12．正九边形，任意顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n边形，求n可以是　 　（任写一个符合的）.
13．正方形 ABCD中，点O为对称中心， EF过点O且点E在AD上，点F在BC上， BF=3， CF=1，则EF=　 　.
14．已知二次函数 过点(-1，m)， (1，m+2)，则m的取值范围为　 　.
15．如图，在△ABC中， ∠A=50°， ∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得 上的所有点都落在△ABC的边界及内部，则所对的圆心角∠AOB的取值范围是　 　.
16．化简：
17．求证：当n为整数时， 能被2整除.
18．已知两直线 与 交于(1， 2)，
（1）计算k与b的值；
（2）若 求x的取值范围.
19．一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P1，若一个袋子中装有红球10个，白球20个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P2.
（1）求P1的值；
（2）比较P1与P2的大小.
20．一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离.
21． 如图， 四边形ABCD和EFCG均为矩形，.AD=9m，AB=6m，BG=DF=xm，休闲区的储水量为
（1）种菜区的面积为　 　休闲区能接的雨水量为　 　L.(用含有x的代数式表示)
（2）若种菜区每平方米需要6L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值.
22． 已知 按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明
（1） 在 AC、BC 上各确定一点 E、F ， 使 EF∥AB ， 且
（2） 在AC、BC上各确定一点G、P， 使GP∥AB， 且GP=a.
23． 已知： Rt△ABC中， ∠C=90°， F、G为AC、BC边上的点， 且
求证：
（1）求证： △ADF∽△GEB；
（2） ∠B=30°，AB=6，DE=2， △ADF∽△GCF， 求AD的长.
24．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是AB 的中点且AC=CB=10m，CD=10m.拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点 F，山高为331m，已知山顶 F到点A 的水平距离为364m.
（1）请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式.
（2）若一人站在拱桥上的点P处，且点P到点A 的水平距离为2m，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且PQ=1.6m，请判断人眼在点 Q处能否直接看到山顶F，并说明理由.
（3）下列结论中，正确的是　 　
①在拱桥的AD段有一个与 P不重合的M点与人在P 点处看山顶F的仰角相等；
②在拱桥的BD段有一点M与人在 P 点处看山顶F的仰角相等；
③人从点 D走到点B 的过程中，当人位于点 D 时，眼睛Q 点到山顶F的距离最近；
④人从点D走到点B 的过程中，当人位于点B 时，眼睛Q 点到山顶F的距离最近.
25．背景材料：模拟“月食”变化
已知圆O的圆心为O(0，0)，半径为3，另有一圆M，半径为2.当t=0时， 圆M的圆心为(-4， 3)， 圆M 以每分钟1个单位长度的速度沿着x轴正方向运动.在运动过程中，将圆M中未被圆O覆盖的部分称为“亮面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆M停止运动.
示意图如下图所示：
（1）判断下面命题是否正确，并说明理由.
①亮面始终为轴对称图形；
②当t=8时，亮面再次为完整的圆；
③在整个运动过程中，亮面的面积始终不小于圆M面积的
（2）画出亮面面积S 关于运动时间t的大致图像，并简述理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2的相反数是：-(-2)=2，
故选：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】根据负整数指数幂，绝对值的定义，有理数的乘法运算，再根据有理数的大小比较进行解答即可.
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值；点的坐标
【解析】【解答】解：由题知，
因为(2，3)离y轴的距离为2，点((-3，2)离y轴的距离为3，点 离y轴的距离为 点 离y轴的距离为 且
所以离y轴最近的是点
故选： C.
【分析】根据题意，分别求出选项中各点离y轴的距离，据此进行比较即可.
4．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱。
故选：B.
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状。
5．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设甲组x人，乙组y人，丙组z人，根据题意得：
∴丙组人数最多.
故选： C.
【分析】根据加权平均数解答即可.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD、BD'， DD'，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
54°，
∵菱形ABCD绕点B逆时针旋转 得菱形A'BC'D'，
故选： B.
【分析】连接BD、BD'，DD'，如图，先根据菱形的性质得到 则 再根据旋转的性质得到 接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 然后计算 即可.
7．【答案】5
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：
．
所以在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为5．
故答案为：5．
【分析】
要求出数轴上表示-2的点和表示3的点之间的距离，可以利用正负数的运算规则，用3减去-2进行计算，即可得到最终结果.
8．【答案】<
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为： .
【分析】根据科学记数法写出原数，然后比较大小即可.
9．【答案】1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：1.
【分析】利用乘法分配律进行计算，然后化简合并即可.
10．【答案】2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
将 ， 代入得 ，解得 ，
函数解析式为 ，
当 时， ，
故当 4 换成 3，1.5 对的位置换成 2.
故答案为：2.
【分析】先根据已知条件求出 与 的函数解析式，再结合反比例函数性质解题即可.
11．【答案】a4
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：a4.
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可.
12．【答案】3或9
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正九边形，
∴ 外接圆对应的圆心角为： ，
∵ 顺次连接正九边形的若干顶点得到的正 边形，顶点必然也落在这个外接圆上，
∴ 它的相邻顶点对应的圆心角为 ，该角度必须是 的正整数倍，
即存在正整数 满足： ，整理可得 ，
9 的正整数因数中，满足多边形边数 的取值只有 3 和 9，
故答案为：3 或 9.【分析】求出正九边形的外接圆圆心，表示出相邻顶点对应的圆心角度数即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
过点O作BC的垂线，垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
则
在 中，
∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心，
故答案为：
【分析】过点O作BC的垂线，垂足为M，根据正方形的性质得到BM和CM的长，即可求出MF的值，然后根据勾股定理求出OF长解答即可.
14．【答案】m<-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意， 二次函数 ( )过点 ， ，
且 ，
.
.
.
故答案为： .
【分析】依据题意，由二次函数 ( )过点 ， ，则 且 ，从而 ，进而计算可以得解。
15．【答案】0°<∠AOB≤100°
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知OA =OB，
则圆心O点在AB的垂直平分线上；然后，
当 会与AC线段有2个交点，当 会与BC线段有2个交点，
∴要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，
当∠OAC≥90°时， ∠OAB≥∠OAC-∠BAC=90°-50°=40°，
∴∠AOB≤180°-∠OAB-∠OBA=100°.
综上， 0°<∠AOB≤100°；
故答案为： 0°<∠AOB≤100°.
【分析】依题意画出图形，要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，找出临界值求解即可.
16．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.
17．【答案】证明：
，
因为 为整数，
所以 、 是相邻两个连续整数，
所以两数一共是一奇一偶，
所以 是偶数，
所以 能被 2 整除。
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】先把原式展开、合并同类项，化简得到 ；对化简后的式子因式分解，得到 ；因为 是整数， 和 是连续整数，必有一个是偶数，所以这个乘积能被 2 整除，即可得证。
18．【答案】（1）由题知，因为两直线 与 交于(1， 2)，所以k+1=2，-2+b=2，
解得k=1，b=4；

（2）解：由(1)知，
两直线的函数解析式为 与 因为
所以x+1>-2x+4，
解得x>1，
所以x的取值范围是x>1.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)将点(1，2)分别代入两个函数解析式进行计算即可；
(2)根据题意得出关于x的不等式，据此进行求解即可.
19．【答案】（1）解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色不同得结果数为2，
所以
（2）根据题意得 而
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先画树状图展示所有4种等可能的结果，再找出两次摸出的球的颜色不同得结果数，然后根据概率公式得到
(2)利用概率公式计算出 从而可比较 与 的大小.
20．【答案】解：如图，过B作过D作. 过D作. P于H交AE于M，过E作 于G，交AE于N，
则四边形MHGN是矩形，
A
设BD=BC=x尺，在 中， (尺) ，
在 中， (尺)，
在 中， (尺) ，
在 中， (尺)，
答：竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺.

【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】如图，过B作过D作 过D作 于H交AE于M，过E作. 于G，交AE于N，得到四边形MHGN是矩形，根据矩形的性质得到 I 设BD=BC=x尺，解直角三角形即可得到结论.
21．【答案】（1）；
（2）解：由题知，
，
解得 或 。
因为 ，
所以 。
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由题知，
因为 ，
所以种菜区的面积为： ，
则休闲区的面积可表示为： 。
因为休闲区的储水量为 ，
所以休闲区能接的雨水量为 。
故答案为： ；
【分析】(1)根据题意，用含 的代数式分别表示出种菜区的面积及休闲区能接的雨水量即可；
(2)根据题意，得出关于 的方程，据此进行求解即可。
22．【答案】（1）解：如图所示即为所求
（2）解：如图，线段GP即为所求.

【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作线段AC和BC 的垂直平分线交AC，BC于点E和F，连接EF即为所作；
（2）在AB上截取BD=a，然后过点D作∠ADG=∠B交AC于点G，再作∠PGD=∠B交BC于点P，则GP即为所作.
23．【答案】（1）证明： ∵DF⊥AB， EG⊥AB，
∴∠ADF=∠B
EG=90°，
∵C=90°，
∴∠A+∠B=∠BGE+∠B=90°，
∴∠A =∠BGE，
∴△ADF∽△GEB；
（2）解： 过F作FH⊥GE于H，设AD=x，
∵AB=6， DE=2，
∴BE=4-x，
∴四边形DEHF是矩形，

【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由垂直的定义得到∠ADF=∠BEG=90°， 由余角的性质推出∠A=∠BGE，即可证明结论；
(2)过F作FH⊥GE于H， 设AD =x， 由tanA= 得到 由tan∠B= 得到 判定四边形DEHF是矩形，得到 FH=DE=2， 求出 由相似三角形的性质推出∠CGF =∠A =60°， 求出∠FGH =60°， 由 得到4(1-x)=2， 求出 即可得到AD的长.
24．【答案】（1）解：以点C为原点，以AB所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则： A(-10，0)， B(10，0)， D(0，10)，
因为抛物线顶点为D(0，10)，
设抛物线为：
把A(-10，0)代入：
所以抛物线形拱桥的函数表达式为： 10(-10≤x≤10)；

（2）解：由(1)可知点A坐标为(-10，0)，
且点P到点A的水平距离为2m，因为P在桥上且在A的右侧，
所以P的横坐标是： 将x =x=-8代入抛物线
得： 所以P(-8，3.6)，
眼睛Q在P正上方1.6m，
所以Q(-8，5.2)，
点A(-10，0)，山顶到点A的水平距离为364m(在右侧)，
所以
由于山高331m，
所以F(354，331)，
根据Q(-8，5.2)，F(354，331)，
可求得直线QF方程为：y=0.9x+12.4，
设视线高度为
桥面高度为
所以
令 配方可得：
所以
所以视线QF在拱桥范围内的每一个点上，都比拱桥高出至少0.375m，
即视线完全在拱桥上方，没有任何遮挡.所以，人眼在点Q处能直接看到山顶F；
（3）①
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反证法；二次函数的实际应用-拱桥问题；解直角三角形—边角关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：(3)①设拱桥AD段上任意一点M的横坐标为x(-10≤x≤0)，
由抛物线
人站在M点，眼睛在正上方1.6m处，所以眼睛坐标为
从点Q'看山顶F(354，331)，
所以仰角α的正切为：tanα=
由于点P(-8，3.6)， 眼睛Q(-8，5.2)，
从Q看山顶F，其仰角为β，
所以
令tanα=tanβ，解方程：
化简得： (x+1)(x+8)=0，
解得： x = -1， 或x = -8， 当x = -8正好是点P的横坐标，
x=-1在AD段内 (因为-10≤-1≤0)， 且与P不重合，
所以确实存在这样一个M点 (横坐标为-1)；
②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等这个结论是错误的，
根据结论①的推导，我们解出的两个使仰角相等的点，
横坐标分别为：x=-8和x=-1这两个点都在AD段 (即 的左侧)，
而BD段对应的是(0≤x≤10，
在BD段内，没有任何一个x能满足上述方程，所以，拱桥的BD段上不存在这样的点；
③用反例说明：
当人位于点D时，x=0， 眼睛坐标为(0，11.6).到F(354，331)的距离平方为：
此时眼睛坐标为 即(5，9.1)，
到F的距离平方为：
比较
=(354-349)(354+349)+(319.4-321.9)
(319.4+321.9)
=5×703+(-2.5)×641.3
=3515-1603.25=1911.75>0，
也就是说，在x=5处时，眼睛到山顶的距离比在点D处更近，
既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立；
④同样用反例说明：当人位于点B时，x=10，眼睛坐标为(10，1.6)，
到F的距离平方为：
仍然拿x=5时的距离来比较：此时眼睛坐标为(5，9.1)，
到F的距离平方为：
所以
=(344-349)(344+349)+(329.4-321.9)(329.4+321.9)
=(-5)×693+7.5×651.3
=-3465+4884.75
=1419.75>0，
也就是说，在x=5处时，眼睛到山顶的距离比在点B处更近，
既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立；
故答案为：①.
【分析】(1)建系求函数：以拱底中点C为原点，AB为x轴，CD为y轴，设顶点式 代入A(-10，0)得解析式.
(2)判断视线遮挡：求出Q和F坐标，写出视线直线方程，与抛物线作差，证明差值恒正，即视线在桥面上方.
(3)判断仰角相等点，设AD段动点M(x)，写出仰角正切表达式，令其等于P点处仰角正切0.9，解方程得x=-1或-8，从而判断①对②错.判断距离最近点，分别别计算点D、B到F的距离的平方，比较x=5时，对应的点到F的距离平方即可判断③④错误.
25．【答案】（1）解：圆M的运动轨迹如图，
则
①两圆相交，相交部分或非相交部分均为轴对称图形，
则亮面始终为轴对称图形，且过O、M的直线为对称轴；
故①正确，符合题意；
②当t=8时，圆M运动到圆. 的位置，此时与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆；故②正确，符合题意；
③由圆M的运动轨迹可知，当圆M运动到圆. 时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小，如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y轴于点G， 连接OE，
则OM垂直平分EF，
当M(-4，3)时，圆M与圆O相切，
∴此时(OM=5，
∴圆M的半径为2，
设MG=x，则OG=3-x，
在 中，
解得 即
且
则
∴亮面的圆心角则小于
此时亮面的面积小于圆M面积的
故③错误，不符合题意；
（2）解：画出亮面面积S 关于运动时间t的大致图像，并简述理由.
大致图像如图：
作图理由：
I： 起始时t=0， 面积为4π；
II：当t=4时，重叠面积最大，
∴此时“亮面”最小
由 (1)③的证明可知，此时且
且由(1)③分析的示意图可知：
又∵
Ⅲ：当t=8时，恢复圆M为整圆，再次“亮面”最大=4π.
另外，此题画图时还需注意起点、最小值点、终点处的曲线变化需要平滑过渡，并且该图像关于直线x=4左右对称.
【知识点】勾股定理；切线的性质；动点问题的函数图象
【解析】【分析】(1)①根据圆的对称性即可得解；
②当t=8时，圆M与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆；
③由圆M的运动轨迹可知，当圆M运动圆. 时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小，如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y轴于点G，连接OE，双勾股求出MG，可得 与 的大小关系，即可得解；
(2)根据对称性找到最高点和最低点，找出对称轴，即可画出大致图象.
1 / 1江苏省南京市2026年中考数学真题（回忆版）
1．-2的相反数(　　)
A．2 B．- 2 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2的相反数是：-(-2)=2，
故选：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．以下计算结果中，最大的是（　　）
A．（-3）×1 B．|| C． D．3-1
【答案】D
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】根据负整数指数幂，绝对值的定义，有理数的乘法运算，再根据有理数的大小比较进行解答即可.
3．下面四个点离y轴最近的是（　　）
A．（2，3） B．（-3，2） C．（，） D．（，）
【答案】C
【知识点】无理数的估值；点的坐标
【解析】【解答】解：由题知，
因为(2，3)离y轴的距离为2，点((-3，2)离y轴的距离为3，点 离y轴的距离为 点 离y轴的距离为 且
所以离y轴最近的是点
故选： C.
【分析】根据题意，分别求出选项中各点离y轴的距离，据此进行比较即可.
4．一个几何体的三视图如下，则这个几何体是(　　)
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱。
故选：B.
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状。
5．跳绳成绩，甲组平均96个，乙组平均100个，丙组平均104个，最后全部平均成绩102个，问哪组人数最多(　　)
A．甲组人数最多 B．乙组人数最多
C．丙组人数最多 D．三组人数一样多
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设甲组x人，乙组y人，丙组z人，根据题意得：
∴丙组人数最多.
故选： C.
【分析】根据加权平均数解答即可.
6． 如图， 在菱形ABCD中， ∠B=54°， 现将菱形ABCD绕点B逆时针旋转16°得菱形A'BC'D'， 连接DD'，则∠D'DC= (　　)
A．108° B．109° C．110° D．111°
【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD、BD'， DD'，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
54°，
∵菱形ABCD绕点B逆时针旋转 得菱形A'BC'D'，
故选： B.
【分析】连接BD、BD'，DD'，如图，先根据菱形的性质得到 则 再根据旋转的性质得到 接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 然后计算 即可.
7．在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是　 　．
【答案】5
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：
．
所以在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为5．
故答案为：5．
【分析】
要求出数轴上表示-2的点和表示3的点之间的距离，可以利用正负数的运算规则，用3减去-2进行计算，即可得到最终结果.
8．比较大小： 　 　
【答案】<
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为： .
【分析】根据科学记数法写出原数，然后比较大小即可.
9．计算： 　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：1.
【分析】利用乘法分配律进行计算，然后化简合并即可.
10．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为4时，压强为1.5；当4换成3，1.5对的位置换成　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
将 ， 代入得 ，解得 ，
函数解析式为 ，
当 时， ，
故当 4 换成 3，1.5 对的位置换成 2.
故答案为：2.
【分析】先根据已知条件求出 与 的函数解析式，再结合反比例函数性质解题即可.
11．计算：（a3）2÷a2=　 　．
【答案】a4
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：a4.
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可.
12．正九边形，任意顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n边形，求n可以是　 　（任写一个符合的）.
【答案】3或9
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正九边形，
∴ 外接圆对应的圆心角为： ，
∵ 顺次连接正九边形的若干顶点得到的正 边形，顶点必然也落在这个外接圆上，
∴ 它的相邻顶点对应的圆心角为 ，该角度必须是 的正整数倍，
即存在正整数 满足： ，整理可得 ，
9 的正整数因数中，满足多边形边数 的取值只有 3 和 9，
故答案为：3 或 9.【分析】求出正九边形的外接圆圆心，表示出相邻顶点对应的圆心角度数即可.
13．正方形 ABCD中，点O为对称中心， EF过点O且点E在AD上，点F在BC上， BF=3， CF=1，则EF=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
过点O作BC的垂线，垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
则
在 中，
∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心，
故答案为：
【分析】过点O作BC的垂线，垂足为M，根据正方形的性质得到BM和CM的长，即可求出MF的值，然后根据勾股定理求出OF长解答即可.
14．已知二次函数 过点(-1，m)， (1，m+2)，则m的取值范围为　 　.
【答案】m<-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意， 二次函数 ( )过点 ， ，
且 ，
.
.
.
故答案为： .
【分析】依据题意，由二次函数 ( )过点 ， ，则 且 ，从而 ，进而计算可以得解。
15．如图，在△ABC中， ∠A=50°， ∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得 上的所有点都落在△ABC的边界及内部，则所对的圆心角∠AOB的取值范围是　 　.
【答案】0°<∠AOB≤100°
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知OA =OB，
则圆心O点在AB的垂直平分线上；然后，
当 会与AC线段有2个交点，当 会与BC线段有2个交点，
∴要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，
当∠OAC≥90°时， ∠OAB≥∠OAC-∠BAC=90°-50°=40°，
∴∠AOB≤180°-∠OAB-∠OBA=100°.
综上， 0°<∠AOB≤100°；
故答案为： 0°<∠AOB≤100°.
【分析】依题意画出图形，要使得 上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°，找出临界值求解即可.
16．化简：
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.
17．求证：当n为整数时， 能被2整除.
【答案】证明：
，
因为 为整数，
所以 、 是相邻两个连续整数，
所以两数一共是一奇一偶，
所以 是偶数，
所以 能被 2 整除。
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】先把原式展开、合并同类项，化简得到 ；对化简后的式子因式分解，得到 ；因为 是整数， 和 是连续整数，必有一个是偶数，所以这个乘积能被 2 整除，即可得证。
18．已知两直线 与 交于(1， 2)，
（1）计算k与b的值；
（2）若 求x的取值范围.
【答案】（1）由题知，因为两直线 与 交于(1， 2)，所以k+1=2，-2+b=2，
解得k=1，b=4；

（2）解：由(1)知，
两直线的函数解析式为 与 因为
所以x+1>-2x+4，
解得x>1，
所以x的取值范围是x>1.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)将点(1，2)分别代入两个函数解析式进行计算即可；
(2)根据题意得出关于x的不等式，据此进行求解即可.
19．一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P1，若一个袋子中装有红球10个，白球20个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P2.
（1）求P1的值；
（2）比较P1与P2的大小.
【答案】（1）解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色不同得结果数为2，
所以
（2）根据题意得 而
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先画树状图展示所有4种等可能的结果，再找出两次摸出的球的颜色不同得结果数，然后根据概率公式得到
(2)利用概率公式计算出 从而可比较 与 的大小.
20．一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离.
【答案】解：如图，过B作过D作. 过D作. P于H交AE于M，过E作 于G，交AE于N，
则四边形MHGN是矩形，
A
设BD=BC=x尺，在 中， (尺) ，
在 中， (尺)，
在 中， (尺) ，
在 中， (尺)，
答：竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺.

【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】如图，过B作过D作 过D作 于H交AE于M，过E作. 于G，交AE于N，得到四边形MHGN是矩形，根据矩形的性质得到 I 设BD=BC=x尺，解直角三角形即可得到结论.
21． 如图， 四边形ABCD和EFCG均为矩形，.AD=9m，AB=6m，BG=DF=xm，休闲区的储水量为
（1）种菜区的面积为　 　休闲区能接的雨水量为　 　L.(用含有x的代数式表示)
（2）若种菜区每平方米需要6L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值.
【答案】（1）；
（2）解：由题知，
，
解得 或 。
因为 ，
所以 。
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由题知，
因为 ，
所以种菜区的面积为： ，
则休闲区的面积可表示为： 。
因为休闲区的储水量为 ，
所以休闲区能接的雨水量为 。
故答案为： ；
【分析】(1)根据题意，用含 的代数式分别表示出种菜区的面积及休闲区能接的雨水量即可；
(2)根据题意，得出关于 的方程，据此进行求解即可。
22． 已知 按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明
（1） 在 AC、BC 上各确定一点 E、F ， 使 EF∥AB ， 且
（2） 在AC、BC上各确定一点G、P， 使GP∥AB， 且GP=a.
【答案】（1）解：如图所示即为所求
（2）解：如图，线段GP即为所求.

【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）作线段AC和BC 的垂直平分线交AC，BC于点E和F，连接EF即为所作；
（2）在AB上截取BD=a，然后过点D作∠ADG=∠B交AC于点G，再作∠PGD=∠B交BC于点P，则GP即为所作.
23． 已知： Rt△ABC中， ∠C=90°， F、G为AC、BC边上的点， 且
求证：
（1）求证： △ADF∽△GEB；
（2） ∠B=30°，AB=6，DE=2， △ADF∽△GCF， 求AD的长.
【答案】（1）证明： ∵DF⊥AB， EG⊥AB，
∴∠ADF=∠B
EG=90°，
∵C=90°，
∴∠A+∠B=∠BGE+∠B=90°，
∴∠A =∠BGE，
∴△ADF∽△GEB；
（2）解： 过F作FH⊥GE于H，设AD=x，
∵AB=6， DE=2，
∴BE=4-x，
∴四边形DEHF是矩形，

【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由垂直的定义得到∠ADF=∠BEG=90°， 由余角的性质推出∠A=∠BGE，即可证明结论；
(2)过F作FH⊥GE于H， 设AD =x， 由tanA= 得到 由tan∠B= 得到 判定四边形DEHF是矩形，得到 FH=DE=2， 求出 由相似三角形的性质推出∠CGF =∠A =60°， 求出∠FGH =60°， 由 得到4(1-x)=2， 求出 即可得到AD的长.
24．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是AB 的中点且AC=CB=10m，CD=10m.拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点 F，山高为331m，已知山顶 F到点A 的水平距离为364m.
（1）请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式.
（2）若一人站在拱桥上的点P处，且点P到点A 的水平距离为2m，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且PQ=1.6m，请判断人眼在点 Q处能否直接看到山顶F，并说明理由.
（3）下列结论中，正确的是　 　
①在拱桥的AD段有一个与 P不重合的M点与人在P 点处看山顶F的仰角相等；
②在拱桥的BD段有一点M与人在 P 点处看山顶F的仰角相等；
③人从点 D走到点B 的过程中，当人位于点 D 时，眼睛Q 点到山顶F的距离最近；
④人从点D走到点B 的过程中，当人位于点B 时，眼睛Q 点到山顶F的距离最近.
【答案】（1）解：以点C为原点，以AB所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则： A(-10，0)， B(10，0)， D(0，10)，
因为抛物线顶点为D(0，10)，
设抛物线为：
把A(-10，0)代入：
所以抛物线形拱桥的函数表达式为： 10(-10≤x≤10)；

（2）解：由(1)可知点A坐标为(-10，0)，
且点P到点A的水平距离为2m，因为P在桥上且在A的右侧，
所以P的横坐标是： 将x =x=-8代入抛物线
得： 所以P(-8，3.6)，
眼睛Q在P正上方1.6m，
所以Q(-8，5.2)，
点A(-10，0)，山顶到点A的水平距离为364m(在右侧)，
所以
由于山高331m，
所以F(354，331)，
根据Q(-8，5.2)，F(354，331)，
可求得直线QF方程为：y=0.9x+12.4，
设视线高度为
桥面高度为
所以
令 配方可得：
所以
所以视线QF在拱桥范围内的每一个点上，都比拱桥高出至少0.375m，
即视线完全在拱桥上方，没有任何遮挡.所以，人眼在点Q处能直接看到山顶F；
（3）①
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反证法；二次函数的实际应用-拱桥问题；解直角三角形—边角关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：(3)①设拱桥AD段上任意一点M的横坐标为x(-10≤x≤0)，
由抛物线
人站在M点，眼睛在正上方1.6m处，所以眼睛坐标为
从点Q'看山顶F(354，331)，
所以仰角α的正切为：tanα=
由于点P(-8，3.6)， 眼睛Q(-8，5.2)，
从Q看山顶F，其仰角为β，
所以
令tanα=tanβ，解方程：
化简得： (x+1)(x+8)=0，
解得： x = -1， 或x = -8， 当x = -8正好是点P的横坐标，
x=-1在AD段内 (因为-10≤-1≤0)， 且与P不重合，
所以确实存在这样一个M点 (横坐标为-1)；
②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等这个结论是错误的，
根据结论①的推导，我们解出的两个使仰角相等的点，
横坐标分别为：x=-8和x=-1这两个点都在AD段 (即 的左侧)，
而BD段对应的是(0≤x≤10，
在BD段内，没有任何一个x能满足上述方程，所以，拱桥的BD段上不存在这样的点；
③用反例说明：
当人位于点D时，x=0， 眼睛坐标为(0，11.6).到F(354，331)的距离平方为：
此时眼睛坐标为 即(5，9.1)，
到F的距离平方为：
比较
=(354-349)(354+349)+(319.4-321.9)
(319.4+321.9)
=5×703+(-2.5)×641.3
=3515-1603.25=1911.75>0，
也就是说，在x=5处时，眼睛到山顶的距离比在点D处更近，
既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立；
④同样用反例说明：当人位于点B时，x=10，眼睛坐标为(10，1.6)，
到F的距离平方为：
仍然拿x=5时的距离来比较：此时眼睛坐标为(5，9.1)，
到F的距离平方为：
所以
=(344-349)(344+349)+(329.4-321.9)(329.4+321.9)
=(-5)×693+7.5×651.3
=-3465+4884.75
=1419.75>0，
也就是说，在x=5处时，眼睛到山顶的距离比在点B处更近，
既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立；
故答案为：①.
【分析】(1)建系求函数：以拱底中点C为原点，AB为x轴，CD为y轴，设顶点式 代入A(-10，0)得解析式.
(2)判断视线遮挡：求出Q和F坐标，写出视线直线方程，与抛物线作差，证明差值恒正，即视线在桥面上方.
(3)判断仰角相等点，设AD段动点M(x)，写出仰角正切表达式，令其等于P点处仰角正切0.9，解方程得x=-1或-8，从而判断①对②错.判断距离最近点，分别别计算点D、B到F的距离的平方，比较x=5时，对应的点到F的距离平方即可判断③④错误.
25．背景材料：模拟“月食”变化
已知圆O的圆心为O(0，0)，半径为3，另有一圆M，半径为2.当t=0时， 圆M的圆心为(-4， 3)， 圆M 以每分钟1个单位长度的速度沿着x轴正方向运动.在运动过程中，将圆M中未被圆O覆盖的部分称为“亮面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆M停止运动.
示意图如下图所示：
（1）判断下面命题是否正确，并说明理由.
①亮面始终为轴对称图形；
②当t=8时，亮面再次为完整的圆；
③在整个运动过程中，亮面的面积始终不小于圆M面积的
（2）画出亮面面积S 关于运动时间t的大致图像，并简述理由.
【答案】（1）解：圆M的运动轨迹如图，
则
①两圆相交，相交部分或非相交部分均为轴对称图形，
则亮面始终为轴对称图形，且过O、M的直线为对称轴；
故①正确，符合题意；
②当t=8时，圆M运动到圆. 的位置，此时与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆；故②正确，符合题意；
③由圆M的运动轨迹可知，当圆M运动到圆. 时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小，如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y轴于点G， 连接OE，
则OM垂直平分EF，
当M(-4，3)时，圆M与圆O相切，
∴此时(OM=5，
∴圆M的半径为2，
设MG=x，则OG=3-x，
在 中，
解得 即
且
则
∴亮面的圆心角则小于
此时亮面的面积小于圆M面积的
故③错误，不符合题意；
（2）解：画出亮面面积S 关于运动时间t的大致图像，并简述理由.
大致图像如图：
作图理由：
I： 起始时t=0， 面积为4π；
II：当t=4时，重叠面积最大，
∴此时“亮面”最小
由 (1)③的证明可知，此时且
且由(1)③分析的示意图可知：
又∵
Ⅲ：当t=8时，恢复圆M为整圆，再次“亮面”最大=4π.
另外，此题画图时还需注意起点、最小值点、终点处的曲线变化需要平滑过渡，并且该图像关于直线x=4左右对称.
【知识点】勾股定理；切线的性质；动点问题的函数图象
【解析】【分析】(1)①根据圆的对称性即可得解；
②当t=8时，圆M与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆；
③由圆M的运动轨迹可知，当圆M运动圆. 时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小，如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y轴于点G，连接OE，双勾股求出MG，可得 与 的大小关系，即可得解；
(2)根据对称性找到最高点和最低点，找出对称轴，即可画出大致图象.
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