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四川省巴中市2026年中考数学真题
1．下列实数中最大的是 (　　)
A．π B． C．-1 D．0
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．3a+2b=5ab C．(a-b)2=a2-b2 D．a(a-b)=a2-ab
4．一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为 (　　)
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于x轴对称的点P'的坐标为 (　　)
A．(-2，-3) B．(2，-3) C．(3，-2) D．(-3，2)
6．要使六边形木架(用6根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数y= kx-k与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)
A． B．
C． D．
8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同.设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 xmg，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
9．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=13， BC=5，以点B为圆心任意长为半径画弧分别交BC、BA于M、N两点，分别以点M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点p，连接BP并延长交AC于点F ，则△ABF的面积为(　　)
A． B． C． D．
10．关于二次函数 下列说法正确的个数是(　　)
①它的图象经过第一、二、三象限；
②当x>3时，y随x的增大而增大；
③它的图象可由 向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到；
④直线y=kx+1(k为常数)与它的图象一定有两个交点.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．计算：　 　．
12．代数式 有意义时，x的取值范围是　 　.
13．如图， BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点， OA⊥BC， ∠OAB=60°， 则∠ABC的度数为　 　.
14．已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是　 　.
15．如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点(不与端点重合)，过点D作DG⊥AB于点G.下列说法正确的有　 　.(填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分)
①0③设AG=x，则△ADG的面积S是关于x的二次函数；
④仅存在一点D，使得
16．计算：
（1）
（2）求不等式组 的解集；
（3）先化简然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值.
17．如图，在 ABCD中， O为AC中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若EF⊥AC， BC=AC， ∠B=70°.求∠BAF的度数.
18．学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度(喜欢程度分为四类：A.非常喜欢，B.喜欢，C.一般，D.不喜欢)，对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数；
（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.
19．“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行.一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°(点M、C、B、A在一条直线上).已知河堤斜坡NC的长为12m，坡比为1： (计算结果保留整数).(参考数据：sin42.3°≈0.67， cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91 ， sin52.4°≈0.79， cos52.4°≈0.61， tan52.4°≈1.30)
（1）求无人机距河面的高度PM；
（2）求两艘皮划艇之间的距离AB.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+8与双曲线 交于A(1，a)、B两点，与x轴交于点D.
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出不等式 的解集；
（3）若点P为x轴上的动点，当 为直角三角形时，求点P的坐标.
21．如图， AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，AC、DB 交于点G，H在AB延长线上且
（1）求证： CH为⊙O的切线；
（2） 求证：AF=DF；
（3） 若DG=2，GB=3，求AD的长.
22．四边形ABCD是矩形，点E在BC边上， ∠AEF =90°.
（1）【教材重现·提出问题】如图1，AB=BC，G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F. 求证： △AGE≌△ECF；
（2）【模型建构·应用意识】如图2，AB=BC=4，EF 交矩形外角的平分线于点F，延长CF交AD的延长线于点H，求 BE+HF的值；
（3）【拓展推广·实践能力】如图3，AB=mBC3AE=mEF (m为常数) ，求 的值(用含m的代数式表示).
23．如图，抛物线 与x轴交于A(-2，0)、B(1，0)两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值；
（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得 若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵所有负数都小于，所有正数都大于，又，是负数，不是正数，是正数，
∴，
因此最大的实数是．
故答案为：A.
【分析】利用“正数大于0，0大于负数， 两个负数比较时绝对值大的反而小 ”比较大小即可．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意．
故答案为：D.
【分析】 轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形 ，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误．
B、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴，B错误．
C、∵根据完全平方公式，，∴，C错误．
D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式、单项式乘多项式法则逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵布袋中有8个红球和16个黑球，
∴球的总个数为，
∴取出红球的概率为．
故答案为：B.
【分析】根据概率公式计算即可.
5．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数，
已知点，
∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即．
故答案为：A.
【分析】利用关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需把它分成三角形．
∵过边形的一个顶点作对角线，有条对角线，
∴对于六边形，至少要再钉上根木条．
故答案为：C.
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当时，则，
反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
观察选项A、B，图象均不符合；
②当时，则，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；
观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；
观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．
故答案为：D.
【分析】分为或两种情况，得到一次函数和反比例函数图象所在象限逐项判断即可．
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 xmg，可列方程：．
故答案为：B.
【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 xmg，根据“ 一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同 ”列方程解答即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点，
，即，
，
，
，
即，
，
，解得，
，
．
故答案为：D.
【分析】过点作于点，先根据勾股定理求出的长，再根据作图可知是的角平分线，利用角平分线的性质得到FD=FC，根据面积法求出的长，最后求出的面积即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，
∵，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和，
∵抛物线开口向上，
∴当时，恒成立，不存在且的点，
∴图象不经过第三象限，故①错误；
②∵ 开口向上，对称轴为，
∴时，随的增大而增大，又，
∴时随的增大而增大，故②正确；
③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确；
④联立，整理得，
∵恒成立，
∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确；
综上所述，正确的说法共3个．
故答案为：C.
【分析】把二次函数配方为顶点式，然后根据二次函数的图象和性质判断①和②；利用平移规律判断③、交点与判别式的关系联立两解析式，根据根的判别式的值得到交点个数判断④解答即可．
11．【答案】4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：4．
【分析】
结合平方差公式简化运算，按照平方差公式展开后，结合二次根式的乘法法则计算即可得到结果.
12．【答案】x>3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得 ，
解不等式得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可．
13．【答案】30°
【知识点】垂径定理；尺规作图-等腰（等边）三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，则，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：30°.
【分析】先得到为等边三角形，即可得到∠AOB=60°，进而可得，然后根据垂径定理和角的和差解答即可．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
解得，
由根与系数的关系得：，，
，
，
随的增大而减小，
当取最大值时，取得最小值，
代入得，最小值为．
故答案为：.
【分析】先根据方程根的情况得到，求出t的取值范围；再利用根与系数的关系得到，，将根据完全平方公式变形，整体代入得到关于t的一次函数，根据增减性求出最小值即可．
15．【答案】①②③④
【知识点】列二次函数关系式；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，且边长为1，
∴，
∵，
∴，，
∵D为边上的动点（不与端点重合），
∴，
∴，，故①说法正确；
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②说法正确；
设，则有，
∴，
∴，
∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确；
过点作，如图所示：
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：（负根舍去），
∴仅存在一点D，使得，故④说法正确；
综上所述：正确的有①②③④．
【分析】根据等边三角形的性质可得，然后根据解直角三角形得到，，求出DG的取值范围判断①；格努AG＞BG得到面积的大小关系判断②；设，表示△ADG的面积判断③；根据列方程求出x的值判断④解答即可 ．
16．【答案】（1）解：
=2
（2）解：
解不等式①得：x<2，
解不等式②得x≥-5，
∴不等式组的解集为-5≤x<2.
（3）解：
=x-2
根据分式有意义的条件，可得x-2≠0， x-1≠0，即x≠2且x≠1.
∴从1， 2， 3中只能选取x=3代入，得原式=3-2=1.
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算零次二次根式的化简、绝对值和代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
（3）先运算括号内分式的减法，然后把除法化为乘法，再分解因式约分化简，然后根据分式有意义的条件得到x的值，代入计算即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）解： ∵四边形AFCE为平行四边形， EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵BC=AC， ∠B=70°，
∴∠FAC=40°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=30°.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用AAS得到，根据对应边相等得到，再根据一组对边平行且相等证明结论即可；
（2）先得到四边形为菱形，则有，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠FAC的度数，然后根据角的和差解答即可．
18．【答案】（1）解：25×44%=11 (名) ， 即B类男生人数为11-6=5 (名) ，
A类女生人数为25-3-11-4-3=4 (名) ，
补全条形统计图如下：
（2）由(1) 可得： (人)
（3）解：由题意可设C类学生中男生为A1，A2，女生为 ，D类学生中男生为 女生为 则可列表如下：
　
一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为(2+1)÷12%=25(名) ，
故答案为：25；
【分析】（1）根据D类人数除以占比求出被抽查的总人数，然后根据总人数乘以B类占比得到B类人数，求出B类男生人数，然后求出A类女生人数，补全条形统计图即可；
（2）根据A类人数占比乘以年级人数计算即可；
（3）由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，然后根据列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．【答案】（1）解：由题意得：
∴∠MCN=30°，
∵NC=12m，
∴PM=PN+MN=21m；
答：无人机距河面的高度PM的长为21m
（2）解：由题意得： ∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°，
由(1)可知： PM=21m，
在Rt△PMB中，
在Rt△PMA中，
∴AB=AM-BM=6.9≈7m；
答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值得到∠MCN=30°，然后根据正弦的定义求出MN的长，利用线段的和差解答即可；
（2）根据正切的定义求出BM和AM长，然后根据线段的和差解答即可.
20．【答案】（1）解：由题意可把点A(1，a)代入直线y=x+8得： a=1+8=9，∴A(1，9)，
∴k=1×9=9，
∴反比例函数解析式为
联立 解得： 或
∴点B的坐标为(-9，-1)；
（2）解：由图象及(1)可知：不等式 的解集为-91；
（3）解：由题意可设P(t，0)，
把y=0代入直线y=x+8得： 0=x+8，解得： x=-8，
∴D(-8，0)，
∵A(1，9)，
∴根据两点间距离公式可得：
当△ADP 为直角三角形时，则可分：
当∠APD=90°时，由勾股定理可得：
解得： (不符合题意，舍去)，
∴P(1，0)；
当∠DAP=90°时，由勾股定理可得：
解得： t=10，
∴P(10，0)；
综上所述：当△ADP 为直角三角形时，点P的坐标为(1，0)或(10，0).
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）先代入函数y=x+8求出，再代入反比例函数解析式求出k的值，进而联立函数解析式求出点B的坐标即可；
（2）借助函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
（3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式表示AD2，DP2，AP2，然后分为或两种情况，根据勾股定理列方程求出t的值即可．
21．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BCH =∠CAB，
∴∠BCH+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCH+∠OCB=90°， 即∠OCH=90°，
∴OC⊥CH ，
∵OC是⊙O的半径，
∴CH 为⊙O的切线.
（2）证明：∵D是 的中点，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DAC=∠DBC=∠ABD，
∵DE⊥AB， AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAC，
∴AF=DF.
（3）解： ∵DG=2， GB=3，
∴DB=DG+BG=5，
∵∠ABD=∠GAD， ∠ADB=∠GDA，
∴△ABD∽△GAD，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，根据等量代换和等边对等角得到，进而证明结论；
（2）根据等弧所对的圆周角相等得到，即可得到，进而可得，根据等角对等边得到结论即可；
（3）根据两角相等得到，根据对应边成比例解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=90°=∠DCM，
∵AB=BC，G、E分别是AB、BC的中点，
∴AG=BG=BE=EC，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=180°-∠BGE=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠EAG=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAG=∠FEC，
∵CF平分∠DCM，
∴∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠AGE，
（2）解：在AB上截取一点P，使得BP=BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=∠ADC=90°=∠DCN=∠CDH ， AB=CD=4，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠EAP=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAP=∠FEC，
∵AB=BC， BP=BE，
∴AP=EC，
∴∠B=90°，BP=BE.
∴∠APE=180°-∠BPE=135°，
∵CF平分∠DCN，
∴∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠APE，
∴△APE≌△ECF(ASA)，
..∠CDH =90°，∠DCH=45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
（3）解：连接AC，AF ，如图所示：
∵AB=mBC， AE=mEF，
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴△ABC∽△AEF，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∵AB=mBC， ∠B=90°，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AG=BG=BE=EC，根据三角形的外角和为角的和差得到∠EAG=∠FEC，∠ECF=∠AGE，然后根据ASA得到两三角形全等即可；
（2）在AB上截取一点P，使得BP=BE，同（1）得到△APE≌△ECF，即可得到再根据勾股定理求出CH长，根据线段的和差解答即可；
（3）连接AC，AF ，根据两边成比例得到△ABC∽△AEF，△ABE∽△ACF，根据对应边成比例得到根据勾股定理求出AC长，然后代入求出比值即可.
23．【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A(-2，0)、B(1，0)两点，
解得：
∴抛物线的表达式为
（2）解：由(1)可知：抛物线的表达式为
∴令x=0时，则有y=2，即C(0，2)，
连接OD，设
∵A(-2，0)， C(0，2)，
∴OA=OC=2，
∴当t=-1时， △ACD的面积最大，最大值为1；
（3）解：存在点Q，使得 理由如下：
∵A(-2，0)， C(0，2)， B(1，0)，
∴OA=OC=2，OB=1，
过点O作 ，交AC于点E，过点E作 取OA的中点F ，连接CF，过点F 作过点O作 如图所示：
设OE的解析式为y=kx，则有
∴OE的解析式为
∵OE∥CQ，
∴设直线CQ的解析式为 把点C(0，2)代入得： m=2，
∴直线CQ的解析式为
联立解得： 或 (不符合题意，舍去)，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）求出抛物线与y轴的交点C的坐标，连接，设，然后根据计算，得到△ACD面积关于t的二次函数，根据二次函数的性质得到最大值解答即可；
（3）先根据勾股定理求出BC长，根据等边对等角和三角形的内角和定理得到∠ACO=45°，过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，即可得到，根据△BCF的面积求出FH的长，再根据解直角三角形求出PE和OG长，即可得到点E的坐标，即可求出直线OE长，跟根据平移求出CQ的解析式，联立直线CQ和抛物线的解析式求出交点Q的坐标即可．
1 / 1四川省巴中市2026年中考数学真题
1．下列实数中最大的是 (　　)
A．π B． C．-1 D．0
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵所有负数都小于，所有正数都大于，又，是负数，不是正数，是正数，
∴，
因此最大的实数是．
故答案为：A.
【分析】利用“正数大于0，0大于负数， 两个负数比较时绝对值大的反而小 ”比较大小即可．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意．
故答案为：D.
【分析】 轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形 ，据此解答即可.
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．3a+2b=5ab C．(a-b)2=a2-b2 D．a(a-b)=a2-ab
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误．
B、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴，B错误．
C、∵根据完全平方公式，，∴，C错误．
D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式、单项式乘多项式法则逐项判断即可．
4．一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵布袋中有8个红球和16个黑球，
∴球的总个数为，
∴取出红球的概率为．
故答案为：B.
【分析】根据概率公式计算即可.
5．在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于x轴对称的点P'的坐标为 (　　)
A．(-2，-3) B．(2，-3) C．(3，-2) D．(-3，2)
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数，
已知点，
∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即．
故答案为：A.
【分析】利用关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
6．要使六边形木架(用6根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需把它分成三角形．
∵过边形的一个顶点作对角线，有条对角线，
∴对于六边形，至少要再钉上根木条．
故答案为：C.
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
7．函数y= kx-k与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当时，则，
反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
观察选项A、B，图象均不符合；
②当时，则，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；
观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；
观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．
故答案为：D.
【分析】分为或两种情况，得到一次函数和反比例函数图象所在象限逐项判断即可．
8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同.设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 xmg，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 xmg，可列方程：．
故答案为：B.
【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 xmg，根据“ 一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同 ”列方程解答即可．
9．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=13， BC=5，以点B为圆心任意长为半径画弧分别交BC、BA于M、N两点，分别以点M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点p，连接BP并延长交AC于点F ，则△ABF的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点，
，即，
，
，
，
即，
，
，解得，
，
．
故答案为：D.
【分析】过点作于点，先根据勾股定理求出的长，再根据作图可知是的角平分线，利用角平分线的性质得到FD=FC，根据面积法求出的长，最后求出的面积即可．
10．关于二次函数 下列说法正确的个数是(　　)
①它的图象经过第一、二、三象限；
②当x>3时，y随x的增大而增大；
③它的图象可由 向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到；
④直线y=kx+1(k为常数)与它的图象一定有两个交点.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，
∵，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和，
∵抛物线开口向上，
∴当时，恒成立，不存在且的点，
∴图象不经过第三象限，故①错误；
②∵ 开口向上，对称轴为，
∴时，随的增大而增大，又，
∴时随的增大而增大，故②正确；
③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确；
④联立，整理得，
∵恒成立，
∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确；
综上所述，正确的说法共3个．
故答案为：C.
【分析】把二次函数配方为顶点式，然后根据二次函数的图象和性质判断①和②；利用平移规律判断③、交点与判别式的关系联立两解析式，根据根的判别式的值得到交点个数判断④解答即可．
11．计算：　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：4．
【分析】
结合平方差公式简化运算，按照平方差公式展开后，结合二次根式的乘法法则计算即可得到结果.
12．代数式 有意义时，x的取值范围是　 　.
【答案】x>3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得 ，
解不等式得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可．
13．如图， BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点， OA⊥BC， ∠OAB=60°， 则∠ABC的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】垂径定理；尺规作图-等腰（等边）三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，则，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：30°.
【分析】先得到为等边三角形，即可得到∠AOB=60°，进而可得，然后根据垂径定理和角的和差解答即可．
14．已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
解得，
由根与系数的关系得：，，
，
，
随的增大而减小，
当取最大值时，取得最小值，
代入得，最小值为．
故答案为：.
【分析】先根据方程根的情况得到，求出t的取值范围；再利用根与系数的关系得到，，将根据完全平方公式变形，整体代入得到关于t的一次函数，根据增减性求出最小值即可．
15．如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点(不与端点重合)，过点D作DG⊥AB于点G.下列说法正确的有　 　.(填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分)
①0③设AG=x，则△ADG的面积S是关于x的二次函数；
④仅存在一点D，使得
【答案】①②③④
【知识点】列二次函数关系式；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，且边长为1，
∴，
∵，
∴，，
∵D为边上的动点（不与端点重合），
∴，
∴，，故①说法正确；
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②说法正确；
设，则有，
∴，
∴，
∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确；
过点作，如图所示：
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：（负根舍去），
∴仅存在一点D，使得，故④说法正确；
综上所述：正确的有①②③④．
【分析】根据等边三角形的性质可得，然后根据解直角三角形得到，，求出DG的取值范围判断①；格努AG＞BG得到面积的大小关系判断②；设，表示△ADG的面积判断③；根据列方程求出x的值判断④解答即可 ．
16．计算：
（1）
（2）求不等式组 的解集；
（3）先化简然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值.
【答案】（1）解：
=2
（2）解：
解不等式①得：x<2，
解不等式②得x≥-5，
∴不等式组的解集为-5≤x<2.
（3）解：
=x-2
根据分式有意义的条件，可得x-2≠0， x-1≠0，即x≠2且x≠1.
∴从1， 2， 3中只能选取x=3代入，得原式=3-2=1.
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算零次二次根式的化简、绝对值和代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
（3）先运算括号内分式的减法，然后把除法化为乘法，再分解因式约分化简，然后根据分式有意义的条件得到x的值，代入计算即可.
17．如图，在 ABCD中， O为AC中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若EF⊥AC， BC=AC， ∠B=70°.求∠BAF的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）解： ∵四边形AFCE为平行四边形， EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵BC=AC， ∠B=70°，
∴∠FAC=40°，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=30°.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用AAS得到，根据对应边相等得到，再根据一组对边平行且相等证明结论即可；
（2）先得到四边形为菱形，则有，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠FAC的度数，然后根据角的和差解答即可．
18．学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度(喜欢程度分为四类：A.非常喜欢，B.喜欢，C.一般，D.不喜欢)，对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数；
（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）解：25×44%=11 (名) ， 即B类男生人数为11-6=5 (名) ，
A类女生人数为25-3-11-4-3=4 (名) ，
补全条形统计图如下：
（2）由(1) 可得： (人)
（3）解：由题意可设C类学生中男生为A1，A2，女生为 ，D类学生中男生为 女生为 则可列表如下：
　
一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为(2+1)÷12%=25(名) ，
故答案为：25；
【分析】（1）根据D类人数除以占比求出被抽查的总人数，然后根据总人数乘以B类占比得到B类人数，求出B类男生人数，然后求出A类女生人数，补全条形统计图即可；
（2）根据A类人数占比乘以年级人数计算即可；
（3）由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，然后根据列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行.一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4°(点M、C、B、A在一条直线上).已知河堤斜坡NC的长为12m，坡比为1： (计算结果保留整数).(参考数据：sin42.3°≈0.67， cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91 ， sin52.4°≈0.79， cos52.4°≈0.61， tan52.4°≈1.30)
（1）求无人机距河面的高度PM；
（2）求两艘皮划艇之间的距离AB.
【答案】（1）解：由题意得：
∴∠MCN=30°，
∵NC=12m，
∴PM=PN+MN=21m；
答：无人机距河面的高度PM的长为21m
（2）解：由题意得： ∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°，
由(1)可知： PM=21m，
在Rt△PMB中，
在Rt△PMA中，
∴AB=AM-BM=6.9≈7m；
答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值得到∠MCN=30°，然后根据正弦的定义求出MN的长，利用线段的和差解答即可；
（2）根据正切的定义求出BM和AM长，然后根据线段的和差解答即可.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+8与双曲线 交于A(1，a)、B两点，与x轴交于点D.
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）直接写出不等式 的解集；
（3）若点P为x轴上的动点，当 为直角三角形时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：由题意可把点A(1，a)代入直线y=x+8得： a=1+8=9，∴A(1，9)，
∴k=1×9=9，
∴反比例函数解析式为
联立 解得： 或
∴点B的坐标为(-9，-1)；
（2）解：由图象及(1)可知：不等式 的解集为-91；
（3）解：由题意可设P(t，0)，
把y=0代入直线y=x+8得： 0=x+8，解得： x=-8，
∴D(-8，0)，
∵A(1，9)，
∴根据两点间距离公式可得：
当△ADP 为直角三角形时，则可分：
当∠APD=90°时，由勾股定理可得：
解得： (不符合题意，舍去)，
∴P(1，0)；
当∠DAP=90°时，由勾股定理可得：
解得： t=10，
∴P(10，0)；
综上所述：当△ADP 为直角三角形时，点P的坐标为(1，0)或(10，0).
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）先代入函数y=x+8求出，再代入反比例函数解析式求出k的值，进而联立函数解析式求出点B的坐标即可；
（2）借助函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
（3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式表示AD2，DP2，AP2，然后分为或两种情况，根据勾股定理列方程求出t的值即可．
21．如图， AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，AC、DB 交于点G，H在AB延长线上且
（1）求证： CH为⊙O的切线；
（2） 求证：AF=DF；
（3） 若DG=2，GB=3，求AD的长.
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BCH =∠CAB，
∴∠BCH+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCH+∠OCB=90°， 即∠OCH=90°，
∴OC⊥CH ，
∵OC是⊙O的半径，
∴CH 为⊙O的切线.
（2）证明：∵D是 的中点，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DAC=∠DBC=∠ABD，
∵DE⊥AB， AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAC，
∴AF=DF.
（3）解： ∵DG=2， GB=3，
∴DB=DG+BG=5，
∵∠ABD=∠GAD， ∠ADB=∠GDA，
∴△ABD∽△GAD，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，根据等量代换和等边对等角得到，进而证明结论；
（2）根据等弧所对的圆周角相等得到，即可得到，进而可得，根据等角对等边得到结论即可；
（3）根据两角相等得到，根据对应边成比例解答即可．
22．四边形ABCD是矩形，点E在BC边上， ∠AEF =90°.
（1）【教材重现·提出问题】如图1，AB=BC，G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F. 求证： △AGE≌△ECF；
（2）【模型建构·应用意识】如图2，AB=BC=4，EF 交矩形外角的平分线于点F，延长CF交AD的延长线于点H，求 BE+HF的值；
（3）【拓展推广·实践能力】如图3，AB=mBC3AE=mEF (m为常数) ，求 的值(用含m的代数式表示).
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=90°=∠DCM，
∵AB=BC，G、E分别是AB、BC的中点，
∴AG=BG=BE=EC，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=180°-∠BGE=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠EAG=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAG=∠FEC，
∵CF平分∠DCM，
∴∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠AGE，
（2）解：在AB上截取一点P，使得BP=BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=∠ADC=90°=∠DCN=∠CDH ， AB=CD=4，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠EAP=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAP=∠FEC，
∵AB=BC， BP=BE，
∴AP=EC，
∴∠B=90°，BP=BE.
∴∠APE=180°-∠BPE=135°，
∵CF平分∠DCN，
∴∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠APE，
∴△APE≌△ECF(ASA)，
..∠CDH =90°，∠DCH=45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
（3）解：连接AC，AF ，如图所示：
∵AB=mBC， AE=mEF，
∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴△ABC∽△AEF，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∵AB=mBC， ∠B=90°，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AG=BG=BE=EC，根据三角形的外角和为角的和差得到∠EAG=∠FEC，∠ECF=∠AGE，然后根据ASA得到两三角形全等即可；
（2）在AB上截取一点P，使得BP=BE，同（1）得到△APE≌△ECF，即可得到再根据勾股定理求出CH长，根据线段的和差解答即可；
（3）连接AC，AF ，根据两边成比例得到△ABC∽△AEF，△ABE∽△ACF，根据对应边成比例得到根据勾股定理求出AC长，然后代入求出比值即可.
23．如图，抛物线 与x轴交于A(-2，0)、B(1，0)两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值；
（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得 若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A(-2，0)、B(1，0)两点，
解得：
∴抛物线的表达式为
（2）解：由(1)可知：抛物线的表达式为
∴令x=0时，则有y=2，即C(0，2)，
连接OD，设
∵A(-2，0)， C(0，2)，
∴OA=OC=2，
∴当t=-1时， △ACD的面积最大，最大值为1；
（3）解：存在点Q，使得 理由如下：
∵A(-2，0)， C(0，2)， B(1，0)，
∴OA=OC=2，OB=1，
过点O作 ，交AC于点E，过点E作 取OA的中点F ，连接CF，过点F 作过点O作 如图所示：
设OE的解析式为y=kx，则有
∴OE的解析式为
∵OE∥CQ，
∴设直线CQ的解析式为 把点C(0，2)代入得： m=2，
∴直线CQ的解析式为
联立解得： 或 (不符合题意，舍去)，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）求出抛物线与y轴的交点C的坐标，连接，设，然后根据计算，得到△ACD面积关于t的二次函数，根据二次函数的性质得到最大值解答即可；
（3）先根据勾股定理求出BC长，根据等边对等角和三角形的内角和定理得到∠ACO=45°，过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，即可得到，根据△BCF的面积求出FH的长，再根据解直角三角形求出PE和OG长，即可得到点E的坐标，即可求出直线OE长，跟根据平移求出CQ的解析式，联立直线CQ和抛物线的解析式求出交点Q的坐标即可．
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