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河南省2026年中考数学真题
1．某地一天早晨的气温是－3℃，到中午升高了5℃，则中午的气温是（　　）
A．﹣3℃ B．﹣ 2℃ C．2℃ D．5℃
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵-3+5=2，∴中午的气温是2℃.
故答案为：C
【分析】本题考查了有理数加法.正负数表示具有相反意义的量（气温零下记为负数，升温用加法）。
2．今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”.将“共建美丽中国”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．美 B．丽 C．中 D．国
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体展开图为一四一型标准展开图，由图可知展开图中间一行四字：建、美、丽、中，同行隔一个是相对面，所以“建”字所在面相对的面上的汉字是“丽”.
故答案为：B
【分析】由正方体展开面可知判断相对面规则：同行隔一个、异行隔一列. 所以建 丽，美 中；上下单独两个字：建上方 “共”，中下方 “国”，所以上下单独面互为相对：共 国.
3．下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是（　　）
A．检查某载人飞船的零部件质量
B．检测一条河流的水质情况
C．了解某市中学生的课外阅读时间
D．调查一批玉米种子的发芽率
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、载人飞船零部件质量关乎飞行安全，每一个零件都必须逐一检查，不能遗漏，适合全面调查（普查），∴A符合题意；
B、整条河水量大，无法全部取水检测，只能抽取部分水样，适合抽样调查，∴B不符合题意；
C、某市中学生数量庞大，全部调查耗时耗力，适合抽样调查，∴C不符合题意；
D、检测种子发芽会破坏种子，不能把所有种子都做试验，适合抽样调查，∴D不符合题意.
故选：A.
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的适用场景区分.普查：范围小、不具有破坏性、要求精准、事关重大的调查；抽样调查：范围广、调查具有破坏性、工作量大的调查.逐一判断符合哪种场景即可.
4．已知x＝2是关于x的方程 的一个根，则m的值为（　　）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 x＝2 代入 ，，解得.
故答案为：D
【分析】根据方程的根的定义：把根代入方程，等式成立. 将 x＝2 代入原含 的方程，得到只含字母的一元一次方程，解这个方程即可求出.
5．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A'B'的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴，
∵ △ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴A'B'=AB=10.
故答案为：C
【分析】根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应边相等.所以A'B'=AB，利用勾股定理求出AB即可.
6．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知AB∥CD，∠1 ＝50°，∠2 ＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，∵AB//CD，∴∠4=∠1=50°，
∴∠3=∠2+∠4=30°+50°=80°.
故答案为：B.
【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”证得∠4=∠1，再由三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠3的度数.
7．下列式子中，运算结果为的是（　　）
A． B．（x+2）（2－x）
C．（x+2）（x－2） D．x（x－4）
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，∴A不符合题意；
B、 ，∴B不符合题意；
C、，∴C符合题意；
D、，∴D不符合题意.
故答案为：C
【分析】本题考查了整式的乘法公式：，，，将四个选项逐一展开化简即可得到正确答案.
8．2026年3月，我国自主研发的SYT80（T1200级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的T1200级碳纤维产品. SYT80 超高强度碳纤维拉伸强度突破8×103兆帕，普通钢材的拉伸强度约为 兆帕.数据“8×103”是“8×102”的（　　）
A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解： ∵.
故答案为：D
【分析】本题考查科学记数法的除法运算，根据同底数幂除法法则：运算即可.
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC在x轴上，对角线OB，AC交于点P，OA ＝2，OC ＝4.将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐标为（　　）
A．（－2，2） B．（－2，1） C．（0，2） D．（0，1）
【答案】A
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵OA=2，OC=4，∴B（4，2），A（0，2）
∵四边形OABC是矩形，∴点P是OB的中点，
∴P（2，1），
当矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，矩形向左平移了2个单位，
∴点A对应点的坐标为（-2，2）.
故答案为：A
【分析】先根据矩形边长求出矩形顶点B、A的初始坐标：B（4，2）、A（0，2），再根据中点公式求得点P坐标. 由向左平移，纵坐标不变，平移后P落在y轴上（横坐标为0），所以需向左平移2个单位，矩形上所有点的横坐标减2，纵坐标不变，即可得点A对应点的坐标.
10．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”.劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰.如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到 .若⊙O的半径为9 cm，∠APB ＝60°，则小红想要装饰的的长为（　　）
A．3πcm B．6πcm C．9πcm D．27πcm
【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
∵PA，PB是切线，
∴∠OAB=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠APB=120°，
∴.
故答案为：B
【分析】本题考查了切线性质与弧长公式. 由圆的切线性质：切线垂直于过切点的半径，可得∠OAB=∠OBP=90°，再由四边形内角和180°可求得∠AOB=120°，最后利用弧长计算公式求解即可.
11．请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式　 　.
【答案】γ＝2x（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵设正比例函数，
∵图象过第一、三象限，
∴随的增大而增大，
∴，
∴只要比例系数都符合，答案不唯一.
故答案为：.
【分析】根据正比例函数标准形式sh设出解析式，当时，直线经过一、三象限，y随x增大而增大；当时，直线经过二、四象限. 本题要求过一、三象限，只需取正数k即可.
12．方程的解为　 　.
【答案】x ＝1
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】方程两边同乘去分母，得到关于的一元一次方程，移项即可.
13．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点， ∠ADC ＝40°，则∠CAB的度数为　 　.
【答案】50°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠ADC=40°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-40°=50°.
故答案为：50°
【分析】根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠ACB=90°，所以∠BAC+∠B=90°，再由同弧所对的圆周角相等，可得∠B=40°，即可求得∠CAB=50°.
14．在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程.如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从 F、G、A、B 四个琴键中任选 2 个，组合有6种： (F，G)、(F，A)、(F，B)、(G，A)、(G，B)、(A，B) ，其中构成二度音程（相邻白键）的组合有3种：(F，G)、(G，A)、(A，B) ，
∴所求概率=
故答案为：
【分析】先用列举法将所有可能组合列举出来，再找出其中相邻白键组合，最后根据，即可求得构成二度音程的概率.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线.点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.若则BF的长为　 　.
【答案】或
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=CH=3，
∴，
∵ 点E为边BC上一点 ，，
∴，
如图1，当点E在H左侧时，BE=BH-EH=1，CE=CH+HE=5
图1
∴CE=CA，
∵CD是角平分线，∴CD平分AE（三线合一）
过点F作FM⊥BC于点M，∴FM 是△AEH的中位线，
∴FM=，EM=，∴BM=BE+EM=2，
∴BF=；
如图2，当点E在H右侧时，BE=BH+EH=5，CE=CH-HE=1，
图2
∵CD是角平分线，∴点F到AC、EC的距离相等，
∴，
过点F作FM⊥BC于点M，∴FM//AH，
，
，
，
.
故答案为：2
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线定理、等腰三角形三线合一等考点，因为题中没有说明B靠近哪个端点，所以需要分类讨论. 画出不同情况下的图形，再根据线段和差、勾股定理、面积比转化为边之比，求出Rt △BFM中三条边的长度，最后利用勾股定理即可求出BF的长.
16．（1）计算：
（2）解不等式组：
完成以下解答过程.
①解不等式①，得 ▲ .
②解不等式②，得 ▲ .
③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
④所以，原不等式组的解集是 ▲ .
【答案】（1）解：原式=1-+
＝1.
（2）解：①解不等式①，得x≤1.
②解不等式②，得x≥－2.
③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
④所以，原不等式组的解集是－2≤x≤1.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；求算术平方根
【解析】【解答】解：
【分析】（1）根据任意不为0的实数的0次方为1，，，逐一求出每项的值再加减运算即可；
（2）通过移项、化系数为1分别求出两个不等式的解；利用“小于向左画射线，大于向右画射线，可取等端点处实心点，不取等端点处空心点“在数轴上将不等式组的解集表示出来，不等式组的解集即为数轴上公共部分.
17．加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径.某学校科创社团组装了甲、乙两个投篮机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛.为此，该社团对两个投篮机器人分别进行了10组测试（每组测试投篮10次，以投进次数作为测试成绩），并对测试成绩整理、描述、分析如下.
测试成绩统计表
统计量 甲 乙
平均数 7.1 7.1
中位数 a 7
众数 8 b
方差
根据以上信息，回答下列问题.
（1）表中a的值为　 　，b的值为　 　， 　 　（填“＞”“＝”或“＜”）.
（2）你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛 请说明理由.
【答案】（1）7；9；＜
（2）应选甲投篮机器人.理由如下：
甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数与中位数相同，但甲的方差小于乙的方差，说明甲投篮机器人的投篮成绩波动性更小、发挥更稳定，所以应选派甲参赛.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）观察统计左侧的折线统计图实线上的数值，将甲的成绩按从小到大排列为：6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，一共10个数，中位数为第5、6个数的平均数，即为7；观察左侧的折线统计图虚线上的数值，可知9的次数出现最多，所以众数为9； 观察左侧折线统计图可知，乙的波动性更大，所以乙的方差更大，所以 < ；
故答案为：7；9；<.
【分析】（1）本题考查中位数、众数、方差的计算. 中位数：先将数据按从小到大顺序排列，数据个数 n 为奇数时，第个数就是中位数，数据个数n为偶数时，取中间个数的平均值；一组数据中出现次数最多的数即为众数，可得乙的众数；根据“数据波动越大，方差越大”可即可判断甲乙对应方差的大小关系.
（2）从平均数、中位数、方差三个角度综合分析即可.
18．近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视.小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺.这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺
【答案】解：设这本书的长度是x尺，小文的一拳长是y尺.
根据题意，得
解得
∴这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2尺.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据问题直接设元，再根据 “一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺”列出两个二元一次方程，利用代入消元或加减消元解出这个方程组即可.
19．如图，在 ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作 ∠DCM，使∠DCM＝∠BAE，且射线CM交边AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）判断线段BE与（1）中得到的线段DF 的数量关系，并给出证明.
【答案】（1）解：如图所示即为所求：
（2）解：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB＝CD，∠B＝∠D，
由（1）可知， ∠DCM＝∠BAE，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE＝DF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）本题考查作一个角等于已知角，以点 A 为圆心，适当长度画弧，交 AB、AE 于两点；
以点 C 为圆心，相同长度画弧，交 CD 于一点；量取前两处交点弧长，在 C 处弧上截取等长弧，得到交点，连接 C 作出射线 CM，交 AD 于 F，即满足∠DCM=∠BAE.
（2）根据平行四边的性质：两组对边分别相等，两组对角分别相等，可得AB=CD，∠B=∠D，再由（1）中所作相等角的关系，可证BE、DF所在三角形全等，进而证得BE与DF的数量关系.
20．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8：00从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度ν（km/h）与步行全程所用时间t（h）的函数关系如图1所示.
（1）求v关于t的函数表达式.
（2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为多少
（3）学生出发0.25 h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场.李老师、学生已走路程y（km）与学生步行时间t（h）的函数关系如图2所示.下列三个说法：
①李老师在补给点停留的时间为1h；
②李老师比学生先到达长征纪念广场；
③学生从学校到补给点所走路程为4km.
其中正确说法的序号是　 　.
【答案】（1）解：由题意知，；由图可知，t＝2时，v＝4；
∴，
（2）解：当t＝2.5时，，
∵由图1可知，当t＞0时，v随t的增大而减小，
∴若所用时间不超过2.5h，t＝2.5时v最小，
即学生步行的平均速度 v 至少为3.2km/h.
（3）②③
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）由图可知，t=0.75时李老师到达补给点，此时y=4，即离出发点学校4km，t=1.25时离开补给点，∴李老师在补给点停留的时间为1.25-0.75=0.5h.∴ 说法① 错误， ③ 正确；
t=1.75时，李老师到达纪念广场，t=2时，学生到达纪念广场，∴李老师先到达，∴② 正确.
故答案为：②③
【分析】（1）因为路程s固定，速度与时间成反比例函数，可设反比例函数，将图中给出的两组坐标代入一组求出s即可；
（2）先求出边界点t=2.5时v的值，根据反比例函数图象的性质：比例系数大于0时，每个象限内函数值随自变量增大而减小，即可求得时学生步行的平均速度.
（3）由题意，李老师晚出发，可在图2中分别判断李老师与学生的对应函数图象，再根据图中数据直接判断即可.
21．某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下.
活动 主题 地下车库入口改造
采集信息 图1是地下车库入口示意图. ①点 C，B，D 在同一水平线上，点E，A，F 在同一水平线上， ② 斜坡 AB 的长为 10 m，∠BAF ＝ 26.4°. ③车库限高 2.7 m.
设计方案 如图2，保持点A不动，将点B沿射线 BD 平移到点 B '，使∠B 'AF ＝ 18.4°.
完成任务 任务一：求BB '的长. 任务二：调整限高.经计算，点 C到斜坡AB '的距离约为3.47 m.在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为 . （结果均保留一位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：s tan 26.4°≈0.50，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）.
【答案】解：任务一：如图，过点A作于点 H.
∵CD//EF，
∴
在Rt△ABH和Rt△AB'H中，，
∴，
，
，
∴BB'=B'H-BH=13.33-9=4.33≈4.3m，
∴BB'的长约为4.3m.
任务二：3.4
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；近似计算的实际应用
【解析】【解答】解：任务二：由题可知，点C到斜坡AB '的距离约为3.47 m，为了保障行车安全，车库限高标志上的数值应小于或等于该距离，∵3.47保留一位小数，且不能超过3.47，∴车库限高标志上的数值最大可为3.4m.
故答案为：3.4m
【分析】任务一：通过作辅助线AH⊥CD构造两个直角三角形，利用平行线性质“两直线平行，内错角相等”与已知角，可得直角三角形中的一个锐角，再利用三角函数解三角形求出B'H、BH的长，最后利用线段和差即可求出BB'的长；
任务二：正确理解“限高”与“保障安全”的实际含义即可.
22．定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点 Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”.例如，抛物线上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”.
（1）点A（0，－3）和点B在抛物线上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12.求b，c的值.
（2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点 M的“黄金搭档点”.
①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标.
②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当 时，若图象 W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值.
【答案】（1）解：∵A(0，-3)，点B是点A的“黄金搭档点”且纵坐标为12，
∴B（3，12），
∵点A，B在 抛物线上，
∴，解得b=2，
∴b＝2，c=-3.
（2）解：①∵点N是点 M的“黄金搭档点”，设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为t+3.
由（1）知，抛物线的表达式为
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M，N的纵坐标相等，
∴点M，N关于抛物线对称轴对称，
∴，解得，
，
∴点M的横坐标为，点N的横坐标为.
或
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2） ① 解法二：由（1）知，抛物线的表达式为 ，
∵点M，N的纵坐标相等，
解得，，
∴点M的横坐标为，点N的横坐标为.
解法三：由（1）知，抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∵点N是点M 的“黄金搭档点”，且点M，N的纵坐标相等，
∴MN＝3，且点M，N关于抛物线的对称轴对称.
∴点M的横坐标为：
点N的横坐标为：.
②∵点N是点 M的“黄金搭档点”，点M 的横坐标为m，则点N横坐标为m+3，
∴顶点坐标为（-1，-4），
∵ ，∴，
当 时，，此时点N离对称轴更远，且顶点在M，N之间
∵图象开口向上，∴离对称轴越远函数值越大，
∴图象W上的最低点离x轴距离为4，最高点离x轴距离为5-4=1，
∴，
解得：，
∵，∴舍去；
当时，，点M，N均在对称轴右侧，
∵=0时，x=-3或1，∴点M位于x轴下方，点N位于x轴上方，
∴图象W上的最低点离x轴距离为最高点离x轴距离，
∴+=5，解得m=<-1，舍去，
综合，或
【分析】（1）根据“黄金搭档点”的定义及点B纵坐标，表示出点B坐标，将A，B坐标代入解析式中解出b，c即可；
（2） ① 本题由3种解法，根据“黄金搭档点”的定义设出点M，N坐标，由纵坐标相等，可从两点关于抛物线对称轴对称或直接代入横坐标表示出点的纵坐标两个角度考虑，分别列出等式求解即可；
② 分类讨论m在不同的范围内，图象W上的最低点与最高点离x轴距离表示，再根据距离之和为5列出关于m的方程求解即可.
23．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α.作射线DE，在射线DE上取一点H，使BH＝BE，连接CH.
（1）观察猜想
当α＝30°时，如图1，∠BEH的度数为　 　，CH的长为　 　.
（2）探究证明
当0°＜α＜120°时，（1）中的两个结论是否仍然成立 若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展延伸
当0°＜α＜120°时，若△DCH的面积为，请直接写出此时旋转角α的度数.
【答案】（1）60°；4
（2）解：两个结论仍然成立.
证明：∵四边形 ABCD是菱形，AB ＝4，∠BAD ＝120°，
∴∴BC=AB=AD=4，AD∥BC
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∵AB＝AE，∴AD＝AE，
∵旋转角为，∴∠BAE=，∠DAE=120°-，
，
∴∠BEH＝180°－∠AEB－∠AED＝=60°，
∵BE＝BH，∴∴BHE为等边三角形，∴∠HBE=60°，
∴∠HBE-∠EBC=∠ABC-∠EBC，即∠HBC=∠ABE，
∴CBHABE（SAS），
∴CH=AE=AB=4.
∴两个结论仍然成立.
（3）解：15°或105°
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，AB ＝4，∠BAD ＝120°，
∴BC=AB=AD，∠ABC=180°-∠BAD=60°，
由旋转可知AB=AE，∠BAE==30°，∠DAE=120°-∠BAE=90°
∴∠AEB=，∠AED=，
∴∠BEH=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-45°=60°，
∵BE=BH，
∴BHE为等边三角形，∴∠HBE=60°，
∴∠HBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC，即∠HBC=∠ABE，
∴CBHABE（SAS），
∴CH=AE=AB=4.
故答案为：60°；4.
（3）当时，如图，过点H作HM⊥CD交DC延长线于点M，
∴，∴HM=，
由（1）可知CBHABE，∴∠BCH=∠BAE=，CH=AE=AB=4，
∴，∴∠HCM=45°，∴∠BCH=180°-∠HCM-∠BCD=180°-45°-120°=15°，
∴=15°；
当，如图，过点H作HN⊥CD交DC延长线于点N，
∴，∴HN=，
由（2）可知CBHABE，∴∠BCH=∠BAE=，CH=AE=AB=4，
∴，∴∠HCN=45°，∴∠BCH=180°-∠BCD+∠HCN=180°-120°+45°=105°，
∴=105°.
故答案为：15°或105°.
【分析】（1）本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及旋转的性质. 先由菱形性质与旋转求出∠AEB与∠AED的度数，再利用平角180°可求得∠BEH的度数；CBH与ABE为“手拉手”模型，由两组边及其夹角对应相等，可证得CBHABE，进而可得CH=AE=AB=4；
（2）解题思路同（1），将（1）中得30°换成，但在运算过程中会相消；
（3）因为时BE在BC的下方，时BE在BC的上方，所以分两种情况讨论，分别作出两种不同位置的图形，根据面积公式求出CD边上的高，再由高与边的关系求出高所对的角度，结合（1）（2）中所求结论，进而可求出∠BCH度数，即旋转角得度数.
1 / 1河南省2026年中考数学真题
1．某地一天早晨的气温是－3℃，到中午升高了5℃，则中午的气温是（　　）
A．﹣3℃ B．﹣ 2℃ C．2℃ D．5℃
2．今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”.将“共建美丽中国”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．美 B．丽 C．中 D．国
3．下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是（　　）
A．检查某载人飞船的零部件质量
B．检测一条河流的水质情况
C．了解某市中学生的课外阅读时间
D．调查一批玉米种子的发芽率
4．已知x＝2是关于x的方程 的一个根，则m的值为（　　）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
5．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则A'B'的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知AB∥CD，∠1 ＝50°，∠2 ＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
7．下列式子中，运算结果为的是（　　）
A． B．（x+2）（2－x）
C．（x+2）（x－2） D．x（x－4）
8．2026年3月，我国自主研发的SYT80（T1200级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的T1200级碳纤维产品. SYT80 超高强度碳纤维拉伸强度突破8×103兆帕，普通钢材的拉伸强度约为 兆帕.数据“8×103”是“8×102”的（　　）
A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC在x轴上，对角线OB，AC交于点P，OA ＝2，OC ＝4.将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐标为（　　）
A．（－2，2） B．（－2，1） C．（0，2） D．（0，1）
10．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”.劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰.如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到 .若⊙O的半径为9 cm，∠APB ＝60°，则小红想要装饰的的长为（　　）
A．3πcm B．6πcm C．9πcm D．27πcm
11．请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式　 　.
12．方程的解为　 　.
13．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点， ∠ADC ＝40°，则∠CAB的度数为　 　.
14．在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程.如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为　 　.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，CD是角平分线.点E为边BC上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.若则BF的长为　 　.
16．（1）计算：
（2）解不等式组：
完成以下解答过程.
①解不等式①，得 ▲ .
②解不等式②，得 ▲ .
③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
④所以，原不等式组的解集是 ▲ .
17．加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径.某学校科创社团组装了甲、乙两个投篮机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛.为此，该社团对两个投篮机器人分别进行了10组测试（每组测试投篮10次，以投进次数作为测试成绩），并对测试成绩整理、描述、分析如下.
测试成绩统计表
统计量 甲 乙
平均数 7.1 7.1
中位数 a 7
众数 8 b
方差
根据以上信息，回答下列问题.
（1）表中a的值为　 　，b的值为　 　， 　 　（填“＞”“＝”或“＜”）.
（2）你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛 请说明理由.
18．近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视.小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺.这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺
19．如图，在 ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作 ∠DCM，使∠DCM＝∠BAE，且射线CM交边AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）判断线段BE与（1）中得到的线段DF 的数量关系，并给出证明.
20．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8：00从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度ν（km/h）与步行全程所用时间t（h）的函数关系如图1所示.
（1）求v关于t的函数表达式.
（2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为多少
（3）学生出发0.25 h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场.李老师、学生已走路程y（km）与学生步行时间t（h）的函数关系如图2所示.下列三个说法：
①李老师在补给点停留的时间为1h；
②李老师比学生先到达长征纪念广场；
③学生从学校到补给点所走路程为4km.
其中正确说法的序号是　 　.
21．某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下.
活动 主题 地下车库入口改造
采集信息 图1是地下车库入口示意图. ①点 C，B，D 在同一水平线上，点E，A，F 在同一水平线上， ② 斜坡 AB 的长为 10 m，∠BAF ＝ 26.4°. ③车库限高 2.7 m.
设计方案 如图2，保持点A不动，将点B沿射线 BD 平移到点 B '，使∠B 'AF ＝ 18.4°.
完成任务 任务一：求BB '的长. 任务二：调整限高.经计算，点 C到斜坡AB '的距离约为3.47 m.在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为 . （结果均保留一位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：s tan 26.4°≈0.50，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）.
22．定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点 Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”.例如，抛物线上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”.
（1）点A（0，－3）和点B在抛物线上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12.求b，c的值.
（2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点 M的“黄金搭档点”.
①若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标.
②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当 时，若图象 W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值.
23．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α.作射线DE，在射线DE上取一点H，使BH＝BE，连接CH.
（1）观察猜想
当α＝30°时，如图1，∠BEH的度数为　 　，CH的长为　 　.
（2）探究证明
当0°＜α＜120°时，（1）中的两个结论是否仍然成立 若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展延伸
当0°＜α＜120°时，若△DCH的面积为，请直接写出此时旋转角α的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵-3+5=2，∴中午的气温是2℃.
故答案为：C
【分析】本题考查了有理数加法.正负数表示具有相反意义的量（气温零下记为负数，升温用加法）。
2．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体展开图为一四一型标准展开图，由图可知展开图中间一行四字：建、美、丽、中，同行隔一个是相对面，所以“建”字所在面相对的面上的汉字是“丽”.
故答案为：B
【分析】由正方体展开面可知判断相对面规则：同行隔一个、异行隔一列. 所以建 丽，美 中；上下单独两个字：建上方 “共”，中下方 “国”，所以上下单独面互为相对：共 国.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、载人飞船零部件质量关乎飞行安全，每一个零件都必须逐一检查，不能遗漏，适合全面调查（普查），∴A符合题意；
B、整条河水量大，无法全部取水检测，只能抽取部分水样，适合抽样调查，∴B不符合题意；
C、某市中学生数量庞大，全部调查耗时耗力，适合抽样调查，∴C不符合题意；
D、检测种子发芽会破坏种子，不能把所有种子都做试验，适合抽样调查，∴D不符合题意.
故选：A.
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的适用场景区分.普查：范围小、不具有破坏性、要求精准、事关重大的调查；抽样调查：范围广、调查具有破坏性、工作量大的调查.逐一判断符合哪种场景即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 x＝2 代入 ，，解得.
故答案为：D
【分析】根据方程的根的定义：把根代入方程，等式成立. 将 x＝2 代入原含 的方程，得到只含字母的一元一次方程，解这个方程即可求出.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴，
∵ △ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴A'B'=AB=10.
故答案为：C
【分析】根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应边相等.所以A'B'=AB，利用勾股定理求出AB即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，∵AB//CD，∴∠4=∠1=50°，
∴∠3=∠2+∠4=30°+50°=80°.
故答案为：B.
【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”证得∠4=∠1，再由三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠3的度数.
7．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，∴A不符合题意；
B、 ，∴B不符合题意；
C、，∴C符合题意；
D、，∴D不符合题意.
故答案为：C
【分析】本题考查了整式的乘法公式：，，，将四个选项逐一展开化简即可得到正确答案.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解： ∵.
故答案为：D
【分析】本题考查科学记数法的除法运算，根据同底数幂除法法则：运算即可.
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵OA=2，OC=4，∴B（4，2），A（0，2）
∵四边形OABC是矩形，∴点P是OB的中点，
∴P（2，1），
当矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，矩形向左平移了2个单位，
∴点A对应点的坐标为（-2，2）.
故答案为：A
【分析】先根据矩形边长求出矩形顶点B、A的初始坐标：B（4，2）、A（0，2），再根据中点公式求得点P坐标. 由向左平移，纵坐标不变，平移后P落在y轴上（横坐标为0），所以需向左平移2个单位，矩形上所有点的横坐标减2，纵坐标不变，即可得点A对应点的坐标.
10．【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
∵PA，PB是切线，
∴∠OAB=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠APB=120°，
∴.
故答案为：B
【分析】本题考查了切线性质与弧长公式. 由圆的切线性质：切线垂直于过切点的半径，可得∠OAB=∠OBP=90°，再由四边形内角和180°可求得∠AOB=120°，最后利用弧长计算公式求解即可.
11．【答案】γ＝2x（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵设正比例函数，
∵图象过第一、三象限，
∴随的增大而增大，
∴，
∴只要比例系数都符合，答案不唯一.
故答案为：.
【分析】根据正比例函数标准形式sh设出解析式，当时，直线经过一、三象限，y随x增大而增大；当时，直线经过二、四象限. 本题要求过一、三象限，只需取正数k即可.
12．【答案】x ＝1
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】方程两边同乘去分母，得到关于的一元一次方程，移项即可.
13．【答案】50°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠ADC=40°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-40°=50°.
故答案为：50°
【分析】根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠ACB=90°，所以∠BAC+∠B=90°，再由同弧所对的圆周角相等，可得∠B=40°，即可求得∠CAB=50°.
14．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从 F、G、A、B 四个琴键中任选 2 个，组合有6种： (F，G)、(F，A)、(F，B)、(G，A)、(G，B)、(A，B) ，其中构成二度音程（相邻白键）的组合有3种：(F，G)、(G，A)、(A，B) ，
∴所求概率=
故答案为：
【分析】先用列举法将所有可能组合列举出来，再找出其中相邻白键组合，最后根据，即可求得构成二度音程的概率.
15．【答案】或
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=CH=3，
∴，
∵ 点E为边BC上一点 ，，
∴，
如图1，当点E在H左侧时，BE=BH-EH=1，CE=CH+HE=5
图1
∴CE=CA，
∵CD是角平分线，∴CD平分AE（三线合一）
过点F作FM⊥BC于点M，∴FM 是△AEH的中位线，
∴FM=，EM=，∴BM=BE+EM=2，
∴BF=；
如图2，当点E在H右侧时，BE=BH+EH=5，CE=CH-HE=1，
图2
∵CD是角平分线，∴点F到AC、EC的距离相等，
∴，
过点F作FM⊥BC于点M，∴FM//AH，
，
，
，
.
故答案为：2
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线定理、等腰三角形三线合一等考点，因为题中没有说明B靠近哪个端点，所以需要分类讨论. 画出不同情况下的图形，再根据线段和差、勾股定理、面积比转化为边之比，求出Rt △BFM中三条边的长度，最后利用勾股定理即可求出BF的长.
16．【答案】（1）解：原式=1-+
＝1.
（2）解：①解不等式①，得x≤1.
②解不等式②，得x≥－2.
③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
④所以，原不等式组的解集是－2≤x≤1.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；求算术平方根
【解析】【解答】解：
【分析】（1）根据任意不为0的实数的0次方为1，，，逐一求出每项的值再加减运算即可；
（2）通过移项、化系数为1分别求出两个不等式的解；利用“小于向左画射线，大于向右画射线，可取等端点处实心点，不取等端点处空心点“在数轴上将不等式组的解集表示出来，不等式组的解集即为数轴上公共部分.
17．【答案】（1）7；9；＜
（2）应选甲投篮机器人.理由如下：
甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数与中位数相同，但甲的方差小于乙的方差，说明甲投篮机器人的投篮成绩波动性更小、发挥更稳定，所以应选派甲参赛.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）观察统计左侧的折线统计图实线上的数值，将甲的成绩按从小到大排列为：6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，一共10个数，中位数为第5、6个数的平均数，即为7；观察左侧的折线统计图虚线上的数值，可知9的次数出现最多，所以众数为9； 观察左侧折线统计图可知，乙的波动性更大，所以乙的方差更大，所以 < ；
故答案为：7；9；<.
【分析】（1）本题考查中位数、众数、方差的计算. 中位数：先将数据按从小到大顺序排列，数据个数 n 为奇数时，第个数就是中位数，数据个数n为偶数时，取中间个数的平均值；一组数据中出现次数最多的数即为众数，可得乙的众数；根据“数据波动越大，方差越大”可即可判断甲乙对应方差的大小关系.
（2）从平均数、中位数、方差三个角度综合分析即可.
18．【答案】解：设这本书的长度是x尺，小文的一拳长是y尺.
根据题意，得
解得
∴这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2尺.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据问题直接设元，再根据 “一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺”列出两个二元一次方程，利用代入消元或加减消元解出这个方程组即可.
19．【答案】（1）解：如图所示即为所求：
（2）解：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB＝CD，∠B＝∠D，
由（1）可知， ∠DCM＝∠BAE，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE＝DF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）本题考查作一个角等于已知角，以点 A 为圆心，适当长度画弧，交 AB、AE 于两点；
以点 C 为圆心，相同长度画弧，交 CD 于一点；量取前两处交点弧长，在 C 处弧上截取等长弧，得到交点，连接 C 作出射线 CM，交 AD 于 F，即满足∠DCM=∠BAE.
（2）根据平行四边的性质：两组对边分别相等，两组对角分别相等，可得AB=CD，∠B=∠D，再由（1）中所作相等角的关系，可证BE、DF所在三角形全等，进而证得BE与DF的数量关系.
20．【答案】（1）解：由题意知，；由图可知，t＝2时，v＝4；
∴，
（2）解：当t＝2.5时，，
∵由图1可知，当t＞0时，v随t的增大而减小，
∴若所用时间不超过2.5h，t＝2.5时v最小，
即学生步行的平均速度 v 至少为3.2km/h.
（3）②③
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）由图可知，t=0.75时李老师到达补给点，此时y=4，即离出发点学校4km，t=1.25时离开补给点，∴李老师在补给点停留的时间为1.25-0.75=0.5h.∴ 说法① 错误， ③ 正确；
t=1.75时，李老师到达纪念广场，t=2时，学生到达纪念广场，∴李老师先到达，∴② 正确.
故答案为：②③
【分析】（1）因为路程s固定，速度与时间成反比例函数，可设反比例函数，将图中给出的两组坐标代入一组求出s即可；
（2）先求出边界点t=2.5时v的值，根据反比例函数图象的性质：比例系数大于0时，每个象限内函数值随自变量增大而减小，即可求得时学生步行的平均速度.
（3）由题意，李老师晚出发，可在图2中分别判断李老师与学生的对应函数图象，再根据图中数据直接判断即可.
21．【答案】解：任务一：如图，过点A作于点 H.
∵CD//EF，
∴
在Rt△ABH和Rt△AB'H中，，
∴，
，
，
∴BB'=B'H-BH=13.33-9=4.33≈4.3m，
∴BB'的长约为4.3m.
任务二：3.4
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；近似计算的实际应用
【解析】【解答】解：任务二：由题可知，点C到斜坡AB '的距离约为3.47 m，为了保障行车安全，车库限高标志上的数值应小于或等于该距离，∵3.47保留一位小数，且不能超过3.47，∴车库限高标志上的数值最大可为3.4m.
故答案为：3.4m
【分析】任务一：通过作辅助线AH⊥CD构造两个直角三角形，利用平行线性质“两直线平行，内错角相等”与已知角，可得直角三角形中的一个锐角，再利用三角函数解三角形求出B'H、BH的长，最后利用线段和差即可求出BB'的长；
任务二：正确理解“限高”与“保障安全”的实际含义即可.
22．【答案】（1）解：∵A(0，-3)，点B是点A的“黄金搭档点”且纵坐标为12，
∴B（3，12），
∵点A，B在 抛物线上，
∴，解得b=2，
∴b＝2，c=-3.
（2）解：①∵点N是点 M的“黄金搭档点”，设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为t+3.
由（1）知，抛物线的表达式为
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M，N的纵坐标相等，
∴点M，N关于抛物线对称轴对称，
∴，解得，
，
∴点M的横坐标为，点N的横坐标为.
或
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2） ① 解法二：由（1）知，抛物线的表达式为 ，
∵点M，N的纵坐标相等，
解得，，
∴点M的横坐标为，点N的横坐标为.
解法三：由（1）知，抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∵点N是点M 的“黄金搭档点”，且点M，N的纵坐标相等，
∴MN＝3，且点M，N关于抛物线的对称轴对称.
∴点M的横坐标为：
点N的横坐标为：.
②∵点N是点 M的“黄金搭档点”，点M 的横坐标为m，则点N横坐标为m+3，
∴顶点坐标为（-1，-4），
∵ ，∴，
当 时，，此时点N离对称轴更远，且顶点在M，N之间
∵图象开口向上，∴离对称轴越远函数值越大，
∴图象W上的最低点离x轴距离为4，最高点离x轴距离为5-4=1，
∴，
解得：，
∵，∴舍去；
当时，，点M，N均在对称轴右侧，
∵=0时，x=-3或1，∴点M位于x轴下方，点N位于x轴上方，
∴图象W上的最低点离x轴距离为最高点离x轴距离，
∴+=5，解得m=<-1，舍去，
综合，或
【分析】（1）根据“黄金搭档点”的定义及点B纵坐标，表示出点B坐标，将A，B坐标代入解析式中解出b，c即可；
（2） ① 本题由3种解法，根据“黄金搭档点”的定义设出点M，N坐标，由纵坐标相等，可从两点关于抛物线对称轴对称或直接代入横坐标表示出点的纵坐标两个角度考虑，分别列出等式求解即可；
② 分类讨论m在不同的范围内，图象W上的最低点与最高点离x轴距离表示，再根据距离之和为5列出关于m的方程求解即可.
23．【答案】（1）60°；4
（2）解：两个结论仍然成立.
证明：∵四边形 ABCD是菱形，AB ＝4，∠BAD ＝120°，
∴∴BC=AB=AD=4，AD∥BC
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∵AB＝AE，∴AD＝AE，
∵旋转角为，∴∠BAE=，∠DAE=120°-，
，
∴∠BEH＝180°－∠AEB－∠AED＝=60°，
∵BE＝BH，∴∴BHE为等边三角形，∴∠HBE=60°，
∴∠HBE-∠EBC=∠ABC-∠EBC，即∠HBC=∠ABE，
∴CBHABE（SAS），
∴CH=AE=AB=4.
∴两个结论仍然成立.
（3）解：15°或105°
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，AB ＝4，∠BAD ＝120°，
∴BC=AB=AD，∠ABC=180°-∠BAD=60°，
由旋转可知AB=AE，∠BAE==30°，∠DAE=120°-∠BAE=90°
∴∠AEB=，∠AED=，
∴∠BEH=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-45°=60°，
∵BE=BH，
∴BHE为等边三角形，∴∠HBE=60°，
∴∠HBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC，即∠HBC=∠ABE，
∴CBHABE（SAS），
∴CH=AE=AB=4.
故答案为：60°；4.
（3）当时，如图，过点H作HM⊥CD交DC延长线于点M，
∴，∴HM=，
由（1）可知CBHABE，∴∠BCH=∠BAE=，CH=AE=AB=4，
∴，∴∠HCM=45°，∴∠BCH=180°-∠HCM-∠BCD=180°-45°-120°=15°，
∴=15°；
当，如图，过点H作HN⊥CD交DC延长线于点N，
∴，∴HN=，
由（2）可知CBHABE，∴∠BCH=∠BAE=，CH=AE=AB=4，
∴，∴∠HCN=45°，∴∠BCH=180°-∠BCD+∠HCN=180°-120°+45°=105°，
∴=105°.
故答案为：15°或105°.
【分析】（1）本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及旋转的性质. 先由菱形性质与旋转求出∠AEB与∠AED的度数，再利用平角180°可求得∠BEH的度数；CBH与ABE为“手拉手”模型，由两组边及其夹角对应相等，可证得CBHABE，进而可得CH=AE=AB=4；
（2）解题思路同（1），将（1）中得30°换成，但在运算过程中会相消；
（3）因为时BE在BC的下方，时BE在BC的上方，所以分两种情况讨论，分别作出两种不同位置的图形，根据面积公式求出CD边上的高，再由高与边的关系求出高所对的角度，结合（1）（2）中所求结论，进而可求出∠BCH度数，即旋转角得度数.
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