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八上第 2 章 实数-单元测试（北师）
一．选择题（共 13 小题）
1．利用教材中的计算器依次按键如下： ，则计算器面板显示的结果为 ( )
A ．﹣3 B ．3 C ． ±3 D ．4
2 ．有下列各数：－0.101001 ， 7， 2－ 3 ，0 ，－ 16其中无理数有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
3 ．在式子 5 ，3 8 ， －2 ，中，是二次根式的有 ( )
A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个
4．任意给定一个负数，利用计算器不断进行开立方运算，随着开立方次数增加，结果越来越趋向 ( )
A ．0 B ．1 C ．﹣ 1 D ．无法确定
5 ．若 m ，n 满足（m－1）2+ n－15 =0 ，则 m + n的平方根是 ( )
A ． ±4 B ． ±2 C ．4 D ．2
6 ．满足－ 3 ＜x ＜ 7 的整数 x 是 ( )
A ．﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1 ，2 ，3 B ．﹣ 1 ，0 ，1 ，2
C ．﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1 ，2 D ．﹣ 1 ，0 ，1 ，2 ，3
7 ．如图，已知数轴上的点A、B 、C、D 分别表示数﹣2 、1 、2 、3 ，则表示数 3－ 5 的点 P 应落在线段 ( )
A．AO 上 B ．OB 上 C．BC 上 D ．CD 上
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8 ．如果 ≈ 1.333 ， ≈2.872 ，那么约等于 ( )
A ．28.72 B ．0.2872 C ．13.33 D ．0.1333
9 ．若 a2 ＝4 ，b2 ＝9 ，且 ab＜0 ，则 a﹣b 的值为 ( )
A ．﹣2 B ． ±5 C ．5 D ．﹣5
10 ．已知 a= ，b= ，c 则下列大小关系正确的是 ( )
A ．a＞b＞c B ．c＞b＞a C ．b＞a ＞c D ．a ＞c＞b
11 ．按图所示的程序计算，若开始输入 x 的值为 64 ，则最后输出y 的值是 ( )
A ．± 2 B ． 2 C ．2 D ． ±2
12 ．已知：a 则 a 与 b 的关系是 ( )
A ．a﹣b ＝0 B ．a+b ＝0 C ．ab ＝1 D ．a2 ＝b2
13．已知数 a，b，c 的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③ + + = 1 ；④|a﹣b|+|c+b|﹣ |a﹣c| = ﹣2b；⑤若 x 为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为 a﹣b ．其中正确结论的个数是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
二．填空题（共 9 小题）
14 ．数轴上实数b 的对应点的位置如图所示，比较大小：b+1 0．
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15 ． 已知数轴上 A 、B 两 点之 间的距离为 3 ， 点 A 对应的数是 2 ，那么 B 对应的数是 ．
16 ．若 a= ( 3)2 ，b = ﹣|3 2| ，c 则 a ，b ，c 的大小关系是 ．
17 ．若一个正数的两个平方根是 2a﹣ 1 和﹣a+2 ，则 a ＝ ，这个正数是 ．
(
18
．
12
与最简二次根式
5
a
+
1
是同类二次根式，则
a
=
.
19
．如果
y
= x

2024
+ 2024

x

1
，那么
y
x
=
.
)
20 ．实数的整数部分 a ＝ ，小数部分 b = .
21．规定用符号[m]表示一个实数 m 的整数部分，例如： 按此规定[ 10 + 1]的值为 ．
22 ．已知 xy ＝3 ，那么x的值是 ．
三．解答题（共 8 小题）
23 ．计算：
（2）（2 5 +5 2 ）（2 5 5 2 ）﹣（ 5 2 ）2．
24 ．计算：
（1）
第 3页（共 18页）
25 ．先化简，再求值：，其中 a= 3 +1．
26 ．在数轴上表示 a 、b 、c 三数点的位置如图所示化简a－b|．
27 ．如图，半径为 1 个单位的圆片上有一点 Q 与数轴上的原点重合．
（ 1 ）把圆片沿数轴向右滚动 1 周 ，点 Q 到达数轴上点 A 的位置 ，点 A 表示的数是数（填“无理 ”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2 周，点Q 到达数轴上点B 的位置，点B 表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2 ，﹣ 1 ，+3 ，﹣6 ，﹣ 1
①第几次滚动后，Q 点距离原点最近？第几次滚动后，Q 点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？此时点 Q 所表示的数是多少？
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28 ．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约 1170﹣ 1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第 n 个数可以用n ]表示（其中，n ≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数和第 2 个数．
29．现有两块同样大小的长方形木板① , ② , 甲木工采用如图 1 所示的方式，在长方形木板
①上截出三个面积分别为 4dm2 ，8dm2 和 18dm2 的正方形木板 A ，B ，C．
（1）木板①中截出的正方形木板 C 的边长为 dm；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
（3）乙木工想采用如图2 所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为 16dm2 的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
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30 ．阅读材料：像（ 5 + 2 ）（ 5 2 ）＝3 、 =a（a≥0）、（ b +1）（ b 1）＝b﹣ 1 （b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 3与 3 ， 2 +1 与 2 1，2 3 +3 5与 2 3 3 5等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如
解答下列问题：
（ 1 ） 3 7 与 互 为 有 理 化 因 式 ， 将 分 母 有 理 化得 ；
（2）计算：
（3）已知有理数 a 、b 满足 求 a 、b 的值．
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八上第 2 章 实数-单元测试（北师）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 13 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B C B B B C B A B
题号 12 13
答案 C B
一．选择题（共 13 小题）
1 ．【答案】B
【分析】根据算术平方根进行求解即可．
【解答】解： 9 = 3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学计算器的使用，求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2 ．【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：－ 16 =－4，
∴在﹣0.101001 ， 7，，－ ， 2－ 3 ，0 ，－ 16中，无理数有 7 ，－， 2－ 3共 3 个．故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π , 2π等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001… ，等有这样规律的数．
3 ．【答案】B
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：是二次根式，共 3 个．
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故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
4 ．【答案】C
【分析】由于负数的立方根仍是负数，且两个负数绝对值大的反而小，由此即可得到结果．
【解答】解： ∵负数的立方根仍是负数，且两个负数绝对值大的反而小，
∴结果越来越趋向﹣ 1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了立方根的定义及性质．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0 的立方根式 0．
5 ．【答案】B
【分析】根据非负数的性质列式求出 m 、n ，根据平方根的概念计算即可．
【解答】解：由题意得，m﹣ 1 ＝0 ，n﹣ 15 ＝0，
解得，m ＝1 ，n ＝15，
则 m + n =4，
4 的平方根的±2，
故选：B．
【点评】本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于 0 时，各项都等于 0 是解题的关键．
6 ．【答案】B
【分析】利用 3与 7 的取值范围进而得出整数 x．
【解答】解： ∵ 3 ＜x ＜ 7，
∴整数 x 是：﹣ 1 ，0 ，1 ，2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出 3与 7 的取值范围是解题关键．
7 ．【答案】B
【分析】根据估计无理数的方法得出0＜3 5 ＜1 ，进而得出答案． 【解答】解： ∵2＜ 5 ＜3，
∴0＜3 5 ＜1，
故表示数 3 5 的点 P 应落在线段 OB 上．
故选：B．
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【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，得出 5 的取值范围是解题关键．
8 ．【答案】C
【分析】根据立方根，即可解答．
【解答】解： ∵ ≈ 1.333，
∴ = × 1000 ≈ 1.333 × 10 ＝13.33．
故选：C．
【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
9 ．【答案】B
【分析】利用平方根的定义得出 a，b 的值，进而利用ab 的符号得出 a，b 异号，即可得出a﹣b 的值．
【解答】解： ∵a2 ＝4 ，b2 ＝9，
∴a = ±2 ，b = ±3，
∵ab＜0，
∴a ＝2 ，则 b = ﹣3，
a = ﹣2 ，b ＝3，
则 a﹣b 的值为：2﹣ ( ﹣3）＝5 或﹣2﹣3 = ﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出 a，b 的值是解题关键．
10 ．【答案】A
【分析】将 a ，b ，c 变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
【解答】解
即 a＞b＞c，
故选：A．
【点评】此题考查了实数比较大小，将 a ，b ，c 进行适当的变形是解本题的关键．
11 ．【答案】B
【分析】直接利用算术平方根，立方根的定义按照程序图的步骤进行计算即可．
【解答】解：由所示的程序可得：
64 的算术平方根是 8，
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8 是有理数，
故 8 取立方根为 2，
2 的算术平方根为 2，
2为无理数，输出即可，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根、平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12 ．【答案】C
【分析】先分母有理化求出 a 、b ，再分别代入求出 ab 、a+b 、a﹣b 、a2 、b2 ，求出每个式子的值，即可得出选项．
【解答】解：分母有理化，可得 a ＝2+ 3 ，b ＝2 － 3 ， ∴a﹣b ＝（2+ 3 ）﹣（2－ 3 ）＝2 3 ，故 A 选项错误； a+b ＝（2+ 3 ）+（2－ 3 ）＝4 ，故 B 选项错误；
ab ＝（2+ 3 ） ×（2－ 3 ）＝4﹣3 ＝1 ，故 C 选项正确；
∵a2 ＝（2+ 3 ）2 ＝4+4 3 +3 ＝7+4 3 ，b2 ＝（2－ 3 ）2 ＝4﹣4 3 +3 ＝7﹣4 3， ∴a2 ≠b2 ，故 D 选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
13 ．【答案】B
【分析】首先判断出 b＜0，c ＞a＞0 ，|c|＞|b|＞|a| ，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意 b＜0 ，c ＞a＞0 ，|c|＞|b|＞|a| ，则
①ab+ac＞0 ，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0 ，故原结论错误；
﹣ 1+1 ＝1 ，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c| ＝a﹣b+c+b﹣ ( ﹣a+c）＝2a ，故原结论错误；
⑤当 b≤x ≤a 时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为 a﹣b ，故原结论正确．故正确结论有 2 个．
故选：B．
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【点评】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
二．填空题（共 9 小题）
14 ．【答案】见试题解答内容
【分析】根据图示得到b 的取值范围，然后利用不等式的性质进行解答． 【解答】解：如图所示，b＞﹣2，
∴b＞﹣ 1，
∴b+1＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了数轴上点点对应实数的取值范围以及不等式的性质．解题时，从图示中得到b 的取值范围是解题的关键．
15 ．【答案】见试题解答内容
【分析】设 B 点对应的数是 x ，再根据两点间的距离公式求出 x 的值即可．
【解答】解：设 B 点对应的数是 x，
∵数轴上 A 、B 两点之间的距离为 3 ，点 A 对应的数是 2，
∴|x﹣2|= 3 ，解得 x ＝2+ 3或 x ＝2 3．
故答案为：2+ 3或 2 3．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
16 ．【答案】见试题解答内容
【分析】先将 a ，b ，c 的值化简，再根据实数的比较大小的方法解答即可．
【解答】解： ∵a= ( 3)2 = 3 ，b= | 3 2| = 3 2 ，c= 3 ( 2)3 =2，
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．
【点评】本题主要考查实数的大小比较及其实数的性质，能根据实数的性质将式子化简是解决此题的关键．
17 ．【答案】见试题解答内容
第 11页（共 18页）
【分析】由于一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，由此即可列出方程求解． 【解答】解：依题意得，2a﹣ 1+ ( ﹣a+2）＝0，
解得：a = ﹣ 1．
则这个数是（2a﹣ 1）2 = ( ﹣3）2 ＝9．故答案为：﹣ 1 ，9
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
18 ．【答案】见试题解答内容
【分析】先将 12化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关
于 a 的方程，解出即可．
【解答】解： ∵ 12与最简二次根式 5 a + 1是同类二次根式，且 12 = 2 3， ∴a+1 ＝3 ，解得：a ＝2．
故答案为 2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
19 ．【答案】1．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式组求出 x ，进而求出y，计算即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2024≥0 ，2024﹣x ≥0，
解得：x ＝2024，
则y = ﹣ 1，
∴yx = ( ﹣ 1）2024 ＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
20 ．【答案】见试题解答内容
【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出 7 的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．
【解答】解 ∵4＜7＜9 ， ∴2＜ 7 ＜3，
第 12页（共 18页）
即实数的整数部分 a ＝2，
则小数部分为 故答案为：2；．
【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．
21 ．【答案】见试题解答内容
【分析】求出 10的范围，求出 10 +1 的范围，即可求出答案． 【解答】解： ∵3＜ 10 ＜4，
∴3+1＜ 10 +1＜4+1，
∴4＜ 10 +1＜5，
∴[ 10 +1] ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定 10 +1 的范围，题目比较新颖，是一道比较好的题目．
22 ．【答案】见试题解答内容
【分析】先化简，再分同正或同负两种情况作答．
【解答】解： ∵xy ＝3，
∴x、y 同号，
当 x＞0，y＞0 时，原式= xy + xy =2 3；
当 x＜0，y＜0 时，原式=－ xy +（ － xy）= ﹣2 3． ∴原式= ±2 3．
【点评】此题比较复杂，解答此题时要注意 x，y 同正或同负两种情况讨论．
三．解答题（共 8 小题）
23 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算括号，再计算除法即可；
（2）利用乘法公式计算即可；
【解答】解 =（4 3 －2 3 +12 3 ） ÷2 3
第 13页（共 18页）
= 14 3 ÷2 3
=7
（2）（2 5 +5 2 ）（2 5 5 2 ）﹣（ 5 2 ）2．
=（2 5 ）2﹣（5 2 ）2﹣（5﹣2 10 +2）
=20﹣50﹣（7﹣2 10）
= ﹣37+2 10．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24 ．【答案】（1）3 3 + 2；
（2）11 2 6 + 4 3．
【分析】（1）分别化简各项，去括号，再合并；
（2）先计算乘法和除法，将括号展开，再合并．
【解答】解：（1）原式= 2 3 + 4 3 3 3 + 2
= 3 3 + 2；
= 4 2 6 + 7 + 4 3
= 11 2 6 + 4 3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
25 ．【答案】见试题解答内容
【分析】首先把写成 然后约去公因式（a+1），再与后一项式子进行通分化简，最后代值计算．
【解答】解
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当a = 3 + 1 时，原式
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点，解答本题的关键是分式的通分和约分，本题难度不大．
26 ．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据数轴可以确定 a 、b 、c 的符号，以及各个绝对值数内面的数的大小，然后即可去掉绝对值符号，从而对式子进行化简．
【解答】解：根据数轴可以得到：c＜0＜a＜b ，且|a|＜|b|＜|c|，
则：|c| － (c + a)2 + b2 － |a－b| = ﹣c+（c+a）+b﹣（b﹣a）
= ﹣c+c+a+a
=2a．
【点评】本题主要考查了数轴上的数的特点，右边的数总是大于左边的数，并且考查了绝对值的定义，即数表示的点到原点的距离．
27 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（3）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q 点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和 Q 表示的数即可．
【解答】解：（1）把圆片沿数轴向右滚动 1 周，点 Q 到达数轴上点A 的位置，点 A 表示的数是无理数，这个数是 2π;
故答案为：无理，2π;
（2）把圆片沿数轴滚动 2 周，点 Q 到达数轴上点 B 的位置，点 B 表示的数是 4π或﹣4π;故答案为：4π或﹣4π;
（3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2 ，﹣ 1 ，+3 ，﹣6 ，﹣ 1
∴第 2 次滚动后，Q 点距离原点最近，第 3 次滚动后，Q 点距离原点最远；
②∵|+2|+|﹣ 1|+|+3|+|﹣6|+|﹣ 1| ＝13，
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∴ 13×2π× 1 ＝26π ,
（+2）+ ( ﹣ 1）+（+3）+ ( ﹣6）+ ( ﹣ 1）= ﹣3， ( ﹣3） ×2π = ﹣6π ,
∴此时点 Q 所表示的数是：﹣6π .
【点评】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
28 ．【答案】见试题解答内容
【分析】分别把 1 、2 代入式子化简求得答案即可． 【解答】解：第 1 个数，当 n ＝1 时，
= 1．
第 2 个数，当 n ＝2 时，
= [（ ）2﹣ ( ) 2]
= 1 ×（ 1+ 5 + 1 5 ）（1+ 5 1 5）
5 2 2 2 2
= 1 ×1× 5
5
= 1．
【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
29 ．【答案】（1）3 2；
（2）（10 2 10）dm2；
（3）不能在长方形木板②上截出两个面积均为 16dm2 的正方形木板，理由见解答． 【分析】（1）利用正方形木板 C 的边长= 正方形木板c的面积，即可求出结论；
（2）利用木板①中剩余部分（阴影部分）的面积＝木板①的面积﹣正方形 A 的面积﹣正
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方形 B 的面积﹣正方形 C 的面积，即可求出结论；
（3）求出长方形木板②的长及面积为 16dm2 的正方形木板的边长，将长方形木板②的长与 2×面积为 16dm2 的正方形木板的边长比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）木板①中截出的正方形木板 C 的边长为 18 =3 2dm．
故答案为：3 2；
（2）（ 18 + 8 ） ×（ 8 + 4 ）﹣4﹣8﹣ 18
=（3 2 +2 2 ） ×（2 2 +2）﹣4﹣8﹣ 18
=5 2 ×2 2 +5 2 ×2﹣4﹣8﹣ 18
=20+10 2 4﹣8﹣ 18
= 10 2 10．
答：木板①中剩余部分（阴影部分）的面积为（10 2 10）dm2；
（3）不能在长方形木板②上截出两个面积均为 16dm2 的正方形木板，理由如下：
18 + 8 =3 2 +2 2 =5 2（dm）， 16 ×2 ＝4×2 ＝8（dm），
∵5 2 ＜8，
∴不能在长方形木板②上截出两个面积均为 16dm2 的正方形木板．
【点评】本题考查了实数的运算，求出长方形的长及各正方形的边长是解题的关键．
30 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得 a 、b 的值．
【解答】解：（1）3 7与 3+ 7互为有理化因式 故答案为：3+ 7，
（2）
= 2 + 3 2 3
=2 3；
第 17页（共 18页）
解得，a ＝1 ，b ＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
第 18页（共 18页）

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