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2026-2027学年高中数学苏教版必修一课时作业 2.1 命题、定理、定义
一、选择题
1．对于命题p：全等三角形的面积相等，命题q：面积相等的三角形全等，下列说法中正确的是( ).
A.p和q都是真命题 B.p和q都是假命题
C.p是真命题，q是假命题 D.p是假命题，q是真命题
2．下列命题是真命题的是( )
A.若,则x,y互为倒数
B.平面内,四条边相等的四边形是正方形
C.平行四边形是梯形
D.若,则
3．a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( )
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若,则a,b与c所成的角相等
D.若,,则
4．已知命题p:,;命题q:,,则( )
A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题
C.p和都是真命题 D.和都是真命题
5．已知命题,；命题,是质数,则( )
A.均是真命题 B.均是真命题
C.均是真命题 D.均是真命题
6．已知命题；命题,则( )
A.p和都是真命题 B.和q都是真命题
C.p和都是真命题 D.和都是真命题
7．下列命题正确的是( )
A.,
B.,
C.“”是“”的充分且不必要条件
D.若,则
8．给出下列语句：
①二次函数的图象太美啦！
②.
③梯形是不是平面图形呢？
④若，则.
⑤和为有理数的两个数均为有理数.
⑥求证：是无理数.
其中命题的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是( )
A.，
B.，
C.当为整数时，是偶数
D.抛物线上的点可用集合表示
10．已知函数,下列命题正确的有( )
A.可能有2个零点
B.一定有极小值,且0是极小值点
C.时,
D.若存在极大值点,且,其中,则
11．下列四个命题中,是真命题的有( )
A.“,”的否定是“,”
B.,都有
C.若a,b是实数,则“”是“”的充分不必要条件
D.“”是“”的充分条件
三、填空题
12．给出下列命题：
①自然数集是非负整数集；
②实数集与复数集的交集为实数集；
③实数集与虚数集的交集是；
④纯虚数集与实数集的交集为空集.
其中，假命题是____________.（填序号）
13．“若直线l与圆O存在公共点，则直线l与圆O相切”是_____________命题.（请在“真”“假”中选择一个填入横线中）
14．下列语句是命题的有______________________.（只填序号）
①等边三角形是等腰三角形吗？
②作三角形的一个内角平分线.
③若为有理数，则x，y也都是有理数.
④.
15．命题的概念：可以________________________的语句叫作命题.
四、解答题
16．设，，判断命题“若p，则q”的真假.
17．写出下列命题的条件与结论：
（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；
（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；
（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.
18．考察下述推导过程，找出错误原因.
若，则有，
从而有，
即有.
所以.
又因为，
所以.
故.
19．判断下列命题的真假：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若函数的图象经过坐标原点，则；
（5）若，则；
（6）若，则.
20．两直线平行,同旁内角互补.( )
参考答案
1．答案：C
解析：全等三角形的面积相等，命题p为真命题；面积相等的三角形不一定全等，所以命题q为假命题.
故选：C.
2．答案：A
解析：对于A,由倒数定义知：若,则x,y互为倒数,真命题；
对于B,平面内,四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形,假命题；
对于C,平行四边形两组对边互相平行,梯形只有一组对边互相平行,故平行四边形不是梯形,假命题；
对于D,当时,有,假命题.
故选：A
3．答案：C
解析：对于A,若直线a,b异面,b,c异面,则a,c可能是平行、相交、异面的任意一种,
如在正方体中,
与异面,与异面,,
或与异面,与异面,与相交于点,
或与异面,与异面,与异面,故选项A错误;
对于B,若直线a,b相交,b,c相交,则a,c可能是平行、相交、异面的任意一种,
如在正方体中,与相交于点B,与相交于点,,
或与相交于点B,与相交于点,与相交于点A,
或与相交于点B,与相交于点,与异面,故选项B错误;
对于C,若a∥b,由直线夹角的定义结合等角定理可知a,b与c所成的角相等,选项C正确;
对于D,若,,则a与c可能是平行、相交、异面的任意一种,
如在正方体中,,,,
或,,与相交于点,
或,,与异面,故选项D错误.
故选:C.
4．答案：B
解析：对于p而言,取,则有,故p是假命题,是真命题,
对于q而言,取,则有,故q是真命题,是假命题,
综上,和q都是真命题.
故选:B.
5．答案：B
解析：由已知得,命题p为假命题,所以命题为真命题；当时,是质数,所以命题q为真命题.
故选：B.
6．答案：B
解析：对于命题p,由时,不满足,可得p是假命题,是真命题,
对于命题q,由时,满足,可得q是真命题,是假命题,故B正确.
故选：B.
7．答案：C
解析：对A,当时,,故A错误；
对B,方程的根的判别式,此方程没有实数解,故B错误：
对C,或,
成立,但不成立,是的充分不必要条件,故C正确；
对D,举例,但,故D错误.
故选：C.
8．答案：A
解析：命题是指可以判断真假的陈述句，所以④⑤是命}题；①是感叹句，不是命题；②不能判断真假，不是命题；③是疑问句，不是命题；⑥是祈使句，不是命题.
9．答案：BC
解析：对于选项A：例如，则，故A错误；
对于选项B：例如，，则，故B正确；
对于选项C：因为，
若为整数，则n，中必有一个为偶数，所以是偶数，故C正确；
对于选项D：抛物线上的点可用集合表示，故D错误；
故选：BC.
10．答案：BD
解析：函数的定义域为R,当时,为二次函数,
由抛物线性质可知存在极小值点,极小值为,此时无零点；
当时,可求得导函数,令,得或,
当时,可求得当时,；当时,,
所以在上单调递增,在和上单调递减,
故此时存在极小值点,极小值为,
存在极大值点,极大值为；
当时,可求得当时,；当时,,
所以在和上单调递增,,在上单调递减,
故此时存在极小值点,极小值为,
存在极大值点,极大值为；
对于A,当时,无零点；
当时,因为在上单调递增,在和上单调递减,
而极小值为,所以只有1个零点；
当时,因为在和上单调递增,在上单调递减,
而极大值为,极小值为,所以只有1个零点,故A错误；
对于B,由以上分析,不论取何值,一定有极小值,且0是极小值点,故B正确；
对于C,当时,即时,此时在上单调递减,
又,所以,故C错误；
对于D,由上述分析可知,则,
由题意知,即,
此方程已有一根,故可因式分解为,
解得与相异的根,则,故D正确；
故选：BD.
11．答案：AD
解析：A：“”的否定为“”,故A正确；
B：当时,有,所以“,都有”错误,故B错误；
C：当时,满足,但不满足；
当时,满足,但不满足,
所以“”是“”的既不充分也不必要条件,故C错误；
D：若,则且,
所以“”是“”的充分条件,故D正确.
故选：AD.
12．答案：③
解析：①②④显然正确，②中复数包括实数和虚数，③中实数和虚数只能是并列关系，不存在交集，故③实数集与虚数集的交集是空集，故③错.
故答案为：③.
13．答案：假
解析：当直线与圆没有公共点时，直线与圆的位置关系是相离；
当直线与圆有一个公共点时，直线与圆的位置关系是相切，
当直线与圆有两个公共点时，直线与圆的位置关系是相交，
本题只描述了存在公共点，没有明确是几个公共点，
所以结果可能是相交，也可能是相切.
故答案为：假.
14．答案：③
解析：①是疑问句，则①不是命题；②不是可以判断真假的陈述句，则②不是命题；③是可以判断真假的陈述句，则③是命题；④不能判断真假，则④不是命题.
15．答案：判断成立或不成立
解析：
16．答案：假命题
解析：，
当，时，推不出，
所以“若p，则q”为假命题.
17．答案：答案见解析
解析：（1）条件：两个三角形全等，结论：这两个三角形的对应高相等.
（2）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等，结论：这两个三角形全等.
（3）条件：一个四边形是菱形，结论：这个四边形的四边相等.
（4）条件：两条直线被一组平行线所截，结论：所得的对应线段成比例.
18．答案：答案见解析
解析：第四步错误，正确步骤：所以或.
19．答案：（1）假
（2）真
（3）真
（4）真
（5）假
（6）真
解析：（1）若，则或，
由不能推出.
命题为假.
（2）若，则x是A与B的公共元素..
命题为真.
（3）当时，显然有，命题为真.
（4）函数的图象过坐标原点，
，.命题为真.
（5），两边平方得，，不能推出.命题为假.
（6），a、b不全为0，.命题为真.
20．答案：√
解析：两直线平行,同旁内角互补是两直线平行的性质定理,是正确的；
故答案为：正确.
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