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2026-2027学年高中数学苏教版必修一课时作业 3.2 基本不等式
一、选择题
1．已知，且，则的最小值为( )
A.9 B.10 C. D.8
2．若，，且，则xy的最大值为( )
A.9 B.6 C.3 D.
3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后来西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的基本事实或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. B.
C. D.
4．制作一个面积为，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是( )
A. B. C. D.
5．已知，则的最小值为( )
A. B.2 C. D.
6．已知,,且,则的最大值为( )
A.1 B. C. D.
7．已知，则的最小值为( )
A. B. C.5 D.9
8．已知，，且，则的最小值为( )
A. B.5 C.4 D.3
二、多项选择题
9．若正实数满足,则下列说法正确的是( )
A.有最大值为 B.有最小值为
C.有最小值为 D.有最大值为
10．已知,,且,则下列结论正确的是( )
A.的最小值是4 B.恒成立
C.恒成立 D.的最大值是
11．已知，，，则下列结论正确的是( )
A.的最大值为 B.的最大值为9
C.的最小值为 D.的最小值为
三、填空题
12．已知正实数x，y满足，若不等式有解，则实数m的取值范围是______________________.
13．石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查.若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数.若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为_____________元.
14．已知，，且，则的最小值为___.
15．若,,且,则的最小值是_____________.
四、解答题
16．求函数的最大值.
17．设a，b，c，d是实数，求证：.
18．如图，ABDC为梯形，其中，，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？
19．设正数x，y满足下列条件，分别求的最小值.
（1）；
（2）.
20．设a，b是正实数，求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：，且，
，
当且仅当时取等号，的最小值为9.故选A.
2．答案：B
解析：因为，，且，所以，
当且仅当，即，时等号成立，因此xy的最大值为6，故选B.
3．答案：D
解析：由题图可知，，，由勾股定理可得.在中，由可得.故选D.
4．答案：C
解析：设两直角边的长度分别为a，b，，，则，铁支架框的周长，当且仅当时取等号.
故选C.
5．答案：C
解析：因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选C.
6．答案：C
解析：由基本不等式得到,即,
当且仅当,即时,等号成立.
的最大值为.
7．答案：B
解析：因为，所以，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
8．答案：B
解析：已知，，且，
，
当且仅当，结合得时等号成立，
的最小值为5.
9．答案：ABC
解析：对于A：因为,则,当且仅当,即时取等号,故A正确.
对于B,,当且仅当,
即时取等号,故B正确.
或者,由权方和不等式,得.
当且仅当即时取等号.
对于C：因为c,则,
当且仅当即时取等号,故C正确.
或者,由权方和不等式,得,当且仅当即时取等号.
对于D：因为,当且仅当,即,时取等号,
这与均为正实数矛盾,故D错误.
故选ABC.
10．答案：BCD
解析：对于A,,
当且仅当,即,即等号成立,而,故A错误,
对于B,令,,,
所以在上单调递减,故,则,故B正确,
对于C,因为,,且,所以,
当且仅当时,等号成立,则,故C正确,
对于D,因为,
令,则,
当,即时,取得最大值,故D正确,
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：A：由基本不等式：，
两边平方得，即，等号成立当且仅当，
即，，符合条件，因此最大值为，A正确；
B：，
得到的最小值为9，无最大值，B错误；
C：将代入得：，
这是开口向上的二次函数，对称轴，
代入得最小值为，C错误；
D：，
等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确.
12．答案：
解析：因为正实数x，y满足，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.因为不等式有解，
所以，即实数m的取值范围是.
13．答案：15
解析：由题意可知，利润为，，
不妨令，则利润为，当且仅当，即时取等号，此时，故销售价格每件应定为15元.
14．答案：
解析：由题意得，，
所以，
当且仅当，，即时，等号成立.
15．答案：4
解析：因,,则,整理得,
解得,即,当且仅当时取等,
故当时,取得最小值为4.
16．答案：
解析：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故函数的最大值为.
17．答案：证明见解析
解析：证明：
，
原不等式成立.
18．答案：，，，；，证明见解析
解析：，，，.
由，可得.
用基本不等式证明如下：
因为a，b为不相等的正数，所以，
所以，所以，即.
又因为，
所以，所以.
综上，.
19．答案：（1）4
（2）
解析：（1）
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为4.
（2）
，
当且仅当即时，等号成立，
的最小值为.
20．答案：证明见解析
解析：证明：，
、b均是正实数，，，，均为正实数，
，当且仅当时，等号成立①，，当且仅当时，等号成立②，
，
当且仅当
即时，等号成立，
，故原不等式成立.
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