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2026-2027学年高中数学苏教版必修一课时作业 4.2 对数
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫作常用对数；
④以e为底的对数叫作自然对数.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（,,,）,其中为初始学习率,为衰减率,S为衰减步长,k为训练步数,为第k步时的学习率.现有两种学习率衰减策略A和B,初始学习率相同,策略A的参数为,,策略B的参数为,.已知当训练步数为时,策略A的学习率首次大于策略B的学习率的2倍,当训练步数为时,策略A的学习率首次大于策略B的学习率的8倍,则( )（参考数据：）
A. B. C. D.
3．2023年,深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型,其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）.根据技术规划,DeepSeek的算力每年增长.截止至2025年,其算力已提升至2250PetaFLOPS,并计划继续保持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？( )
（参考数据：,,）
A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年
4．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的( )倍.
A.10 B.100 C.1000 D.10000
5．生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定.某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则( )
A. B. C. D.
6．已知，，则( )
A. B. C. D.
7．已知函数且 ，若，则( )
A.3 B.2 C.4 D.
8．已知,,,则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知a,b,c均为大于1的实数,若,则的大小关系可能为( )
A. B.
C. D.
10．下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
11．下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．______.
13．已知函数，若，则ab的值为_____________.
14．已知为正数,且,则的取值范围是_________________.
15．计算:__________.
四、解答题
16．设x，y为正数，满足，求证：（，）.
17．将下列指数式化为对数式（其中，）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．已知，，试计算的值.
19．我们知道，任何一个正实数N可以表示成（，），此时.当时，N是位数.
（1）试用上述方法，判断是多少位数（）；
（2）当时，你有怎样的结论？
20．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
参考答案
1．答案：C
解析：①③④正确，②不正确，只有且时，才能化为对数式.
2．答案：A
解析：根据题意,策略A的学习率,策略B的学习率；
当时,由题可知：,即,也即,
两边取对数可得：,故,又,故,
又,且为策略A的学习率首次大于策略B的学习率的2倍,故；
当时,由题可知：,即,也即,
两边取对数可得：,故,
又,故,
又,且为策略A的学习率首次大于策略B的学习率的8倍,故；
故,也即.
故选：A.
3．答案：C
解析：由题意可知,截止至2025年,DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS,
到年,其算力提升至PetaFLOPS,
到年,其算力提升至PetaFLOPS,,
以此类推可知,从2025年起,到第年,DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS,
由,可得,
所以,,
所以,DeepSeek的算力预计在2028年首次突破PetaFLOPS,
故选：C.
4．答案：D
解析：由条件可知：，
设里氏9级地震的最大的振幅为，里氏5级地震最大振幅为，
所以，，所以，
故选：D
5．答案：D
解析：因为乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，
所以有
.
6．答案：D
解析：由，，
得
7．答案：C
解析：由题意知
，
所以，即得
解得.
故选：C.
8．答案：C
解析：设,
则,,,
所以,
又,,则,所以.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：设,,由均为大于1的实数,故,
因为,
因为,所以,同理,,原不等式转换为,
两边同时乘以,则,
得,整理得,
即,得到.
当时,则,即,因为,解得;
则,即,因为,解得;
同理,即,解得;当,解得;
同理,即,解得;当,解得;
要使得成立,故必须满足三个因式都是正数,或者两负一正,
所以有以下四种情况:
（1）三个因式都是正数
即整理得.
（2）三个因式中两负一正时
即无解.
即整理得.
即整理得.
所以的大小关系为或者或者这三种情况.
对于A项,当的大小关系为时,有成立,
即可能成立,故A正确;
对于B项,不妨设,满足且,
所以这种情况可能成立,故B正确;
对于C项,不妨设,满足且,
所以这种情况可能成立,故C正确;
对于D项,所有对应的值,一定会有,故D错误.
10．答案：AD
解析：首先,我们给出指数式和对数式的互化关系式,
对于A,可化为,故A正确,
对于B,可化为,故B错误,
对于C,可化为,故C错误,
对于D,可化为,故D正确.
故选：AD
11．答案：ACD
解析：对于A,根据指数运算法则可得,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：原式化为
.
13．答案：10
解析：函数，则，所以.
14．答案：
解析：因为,所以,
则
设,则且关于t的一元二次方程有实根,
,即,
则或,即或,
故的取值范围是
15．答案：/0.5
解析：原式
16．答案：证明见解析
解析：证明：
，
原等式成立.
17．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：
18．答案：1.2552
解析：
.
19．答案：（1）31位
（2）当时，N的小数点后有n位数
解析：（1），
，
是31位数.
（2）当时，N的小数点后有n位数.
20．答案：（1）4
（2）
（3）1
（4）1
解析：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
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