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2026-2027学年高中数学苏教版必修一课时作业 5.3 函数的单调性
一、选择题
1．函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
2．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．若函数在上单调递增,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．下列函数中,在内为增函数的是( )
A. B. C. D.
5．已知函数为增函数，则a的最小值是( )
A. B.2 C.4 D.5
6．设函数f(x)=在R上是增函数,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．定义在R上的函数满足：对任意且,,若,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为( )
A.0或1 B.或1 C.1 D.0
二、多项选择题
9．下列函数中,满足对任意,的是( )
A. B.
C. D.
10．已知定义在R上且不恒为0的函数对任意x,y,有,且的图象是一条连续不断的曲线,则( )
A.的图象存在对称轴 B.的图象有且仅有一个对称中心
C.是单调函数 D.为一次函数且表达式不唯一
11．已知函数是减函数,则a的可能取值为( )
A.0 B.1 C.4 D.7
三、填空题
12．已知函数,若在R上具有单调性,则a的取值范围是______.
13．已知函数的定义域为R,对于,,有,且,则不等式的解集为______.
14．已知幂函数在单调递减,则______________________．
15．已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值为_____________.
四、解答题
16．利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上单调递减.
17．设a为非零常数，试研究函数的单调性.
18．证明：函数在区间上单调递增.
19．画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）；
（5）
（6）
20．已知函数，.
（1）求证：在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）试求函数的最大值或最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得,解得或,
又的单调递增区间为,
在上单调递增,
故函数的单调递增区间为.
故选：B.
2．答案：D
解析：，，
在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
，在区间上恒成立，
，，设，，
，，，在上单调递增，
当时，，则在内，有，
故，故a的取值范围为.
3．答案：A
解析：由可得,
因在上单调递增,故在上恒成立,
即在上恒成立,
而函数在上单调递减,则,
故,即a的取值范围是.
故选:A.
4．答案：C
解析：对于A,是周期函数,显然不是增函数；
对于B,,当时,,函数递增；
当时,,函数递减,函数在内不是单调函数.
对于C,,,
,,函数在内是增函数；
对于D,,,
当时,,函数递增；
当时,,函数递减,函数在内不是单调函数.
5．答案：C
解析：当时，，这是一次函数，斜率为，
故在上单调递增.
当时，，为对勾函数.
对勾函数的增区间为，
此处，则.因此，在上单调递增.
要使时函数递增，需满足.
在分段点处，需满足左段函数的极限值不大于右段函数值，
即：，两边同乘得：
移项化简：
解方程，判别式，
根为：，即或，
不等式的解为或.
，取.故选C
6．答案：C
解析：函数在R上是增函数,
可得：,
解得
故实数a的取值范围是.
故选：C.
7．答案：B
解析：令,则不等式等价于,
,,
是定义在R上的增函数,
,,
是增函数,,,
不等式的解集为.
故选：B.
8．答案：C
解析：由于为幂函数，所以，解得或，
又函数在上单调递减，所以，即
故当时符合条件.
9．答案：ABD
解析：由题意可知,在上单调递增,
对于C选项,在上单调递减,
对于ABD选项,在上均单调递增.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：取两个实数a,b,,且,
用a替换x,替换y,有,①
用b替换x,a替换y,有,②
假设,①②可得,
故,这与假设矛盾,
所以时,,
故若时,必有,
用替换x,b替换y,则原式等价于,
用替换x,a替换y,则原式等价于,
则,
令,则,
令,则,
两式相减则可得,
即,
设,,
则,代入原条件且令解得,
故,解得,
即,存在唯一表达式,D错误;
因为,所以函数是单调函数,C正确;
由表达式可知存在无数条对称轴,且有无数个对称中心,A正确,B错误.
故选:AC.
11．答案：CD
解析：根据题意,函数在上为减函数,则,可得,
函数在上为减函数,则,解得,
且有,解得,
综上所述,实数a的取值范围是.
故选：CD.
12．答案：
解析：因为在定义域上为增函数,所以在R上具有单调性则为增函数,
又因为在上单调递增,上单调递减,
所以要使在R上为增函数,则,解得.
故a的取值范围是.
故答案为:.
13．答案：
解析：对于,,有,,所以.
所以函数在R上为减函数.令,易得其在R上为减函数.
由,得.
由,得,
所以,即,得或.
故不等式的解集为.
故答案为:
14．答案：
解析：因为是幂函数,所以系数必须为1,
则,即,
解得或,
幂函数在上单调递减,要求指数,
所以不满足,舍去,
满足,符合条件.
因此,.
故答案为：.
15．答案：1
解析：由幂函数定义得，解得或，
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减；
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.
综上，a的取值为1.
故答案为：1.
16．答案：证明见解析
解析：证明：设，为区间上的任意两个值，且，
则.
由，可得，，
所以，即，
故在区间上是减函数.
17．答案：答案见解析
解析：当时，为增函数；当时，为减函数，下面用定义法给出证明.
设，为R上的任意两个值，且，令，
则
，
，
，.
当时，，即，此时为增函数；
当时，，即，此时为减函数.
18．答案：证明见解析
解析：证明：设，为区间上的任意两个值，且，
则
，
，
，，
，，
函数在区间上是增函数.
19．答案：（1）图象见解析，单调递减区间为，递减区间为，最大值为，无最小值
（2）图象见解析，单调递减区间为，最小值为，最大值为2
（3）图象见解析，单调递增区间为R，无最大值和最小值
（4）图象见解析，单调递减区间为，最大值为0
（5）图象见解析，单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值
（6）图象见解析，单调递增区间为R，无最大值和最小值
解析：（1）图象如题所示：
单调递减区间为，递减区间为，最大值为，无最小值；
（2）图象如图所示：
单调递减区间为，最小值为，最大值为2；
（3）图象如图所示：
单调递增区间为R，无最大值和最小值；
（4）图象如图所示：
单调递减区间为，最大值为0；
（5）图象如图所示：
单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；
（6）图象如图所示：
单调递增区间为R，无最大值和最小值.
20．答案：（1）证明见解析
（2）最小值为2，无最大值
解析：（1）证明：设，为区间上的任意两个值，且，
则，
，，
又，，
，
，即，
在上是减函数.
设，为区间上的任意两个，且，
则.
，，
又，，
，
，即，
在上是增函数.
（2）由（1）知，当时，取最小值，最小值为2，无最大值.
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