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2026-2027学年高中数学苏教版必修一课时作业 8.2 函数与数学模型
一、选择题
1．在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降.当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）( )
A.24 B.35 C.47 D.100
2．人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法,实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间（单位：h）,其中为常数.在此条件下,训练个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为,当训练个单位的数据量所需的时间为时,( )
A.10000 B.15000 C.20000 D.30000
3．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为,其中表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为,则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为( )（参考数据：）
A.72 B.74 C.76 D.78
4．为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理.已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%.国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5．近年来,“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累,令国人备感自豪.这些航天器的发射中,都遵循“理想速度方程”：,其中v是理想速度（单位：m/s）,是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s）,M是火箭起飞时的总质量（单位：kg）,m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请,准备制作一个试验火箭,得到批准后,她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s,火箭自身的质量为4kg,燃料的质量为5kg,在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射,至燃料燃尽时,该试验火箭的理想速度大约为( )（,）
A.40m/s B.36m/s C.78m/s D.95m/s
6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )（参考数据：，，）
A.2021年 B.2022年 C.2023年 D.2024年
7．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是( ).
A. B. C. D.
8．下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是( )
A.的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢
B.的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快
C.的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢
D.的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快
二、多项选择题
9．设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )
A.的增长速度最快,的增长速度最慢
B.的增长速度最快,的增长速度最慢
C.的增长速度最快,的增长速度最慢
D.的增长速度最快,的增长速度最慢
10．如图，在中，，，D、G是边、上的动点，点E、F均在边上，设，矩形的面积为S，且S关于的函数为，则下列结论正确的是( )
A.的面积为
B.
C.在定义域内先增后减
D.当取最大值时，
11．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．指数爆炸
(1)当底数时,指数函数值随自变量的增长而增大,_____较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.
(2)把自变量x看成时间,在长为T的时间周期中,指数函数的值从增长到,增长率为,它是一个常量.因此,在经济学或其他学科中,当某个量在一个既定的时间周期中,其增长百分比是一个常量时,这个量就被描述为指数式增长,也称指数增长.
13．某地每年销售木材约万m3,每立方米的价格为元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的征收木材税,这样每年的木材销售量减少万m3,为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元,则t的取值范围是___________.
14．当生物体死亡后,它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减.刚死亡的生物体某元素含量为,经过t天后元素含量与时间t（天）的关系式为：.已知生物体死亡10天后,它机体内该元素含量变为,则生物体死亡_______________天后,它机体内该元素含量变为.
15．算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模N呈指数型增长.记最终所需算力为L，由硬件导致的规模系数为r（可视为常数），则有.当输入规模N增加1时，所需算力L变为原来的4倍，则_____________.
四、解答题
16．一种放射性元素，最初质量为，按每年衰减.
（1）写出x年后这种放射性元素质量y与x之间的函数关系式；
（2）求这种放射性元素的半衰期（放射性物质的质量衰减为原来的一半所需要的时间）.（精确到0.1）
17．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站，慢车到终点站需，快车比慢车晚发车，且行驶后到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式.两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？
18．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足（，）.前40天价格为（，），后60天价格为（，）.试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系.
19．已知镭经过100年剩留原来的，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y的函数关系是怎样的？试写出.
20．利用计算器或计算机，计算下表中与x的值对应的函数与的值（精确到0.0001）：
x 10 20 100 365 730


参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以当时，，
即，解得，即，
所以，所以，
所以，解得，
所以训练到第47轮就要对模型调整.
2．答案：A
解析：依题意,得,
则有,解得,.
当训练m个单位的数据量所需的时间为时,则有,解得.
3．答案：B
解析：由于,所以,
依题意,则,
则,
由,
所以,即,
所以所需的训练迭代轮数至少为74次.
故选：B.
4．答案：C
解析：设脱碳处理的次数为n，
则脱碳处理n次后的碳排放浓度为，
由题意可得，则，即，
由于，所以n的最小值为6，
故至少需要脱碳处理的次数为6.
5．答案：A
解析：由于,其中,,,
所以.
故选：A.
6．答案：D
解析：设在2020年后第n年超过200万，
则，，，
即，，，
第4年满足题意.即为2024年.
故选：D.
7．答案：B
解析：由题表中数据画散点图，观察图象，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为，故选B.
8．答案：C
解析：由函数，与在区间上的图像及函数的性质知，函数，，的衰减速度均逐渐变慢，故选C.
9．答案：ACD
解析：画出函数的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数中,
当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.
所以选项B正确；选项ACD不正确.
故选：ACD.

10．答案：AC
解析：对于A选项，取的中点N，连接，则，
且，所以的面积为，A对；
对于BCD选项，过C作，垂足为H，设与交于点M，
由等面积法可得，则.
由，得，则，
所以
，
则，则在上单调递增，在上单调递减，B错C对，
当取最大值时，，，
此时，D错.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于C，由题意知40，即，所以，故C正确.
对于A，由题意知，所以，所以，故A正确.
对于B，，所以，
所以，即，故B错误.
对于D，，所以，
所以，因为，
所以，故D正确，故选ACD.
12．答案：底数a
解析：当底数时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.
故答案为：底数a.
13．答案：
解析：设按销售收入的征收木材税时,税金收入为y万元,
则,
令,即,解得.
故答案为：.
14．答案：20
解析：由题意,得,解得,则.
由,即,解得.
故答案为：20.
15．答案：2
解析：由题意可得，
因为，
所以，解得.
故答案为：2.
16．答案：（1）
（2）6.6年
解析：（1）.
（2）由题意得，
化简，得，即，
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
17．答案：慢车所行路程与时间的函数为，快车所行路程与慢车行驶时间的函数关系式为；两车在慢车出发时相遇，相遇时距始发站
解析：慢车所行路程与时间的函数为，
快车所行路程与慢车行驶时间的函数关系式为
设两车在慢车出发时相遇，
则，解得，.
18．答案：
解析：由得，
即
19．答案：
解析：设衰变率为a，则，
所以.所以，
关系式为.
20．答案：答案见解析
解析：
x 10 20 100 365 730
0.9044 0.8179 0.3660 0.0255 0.0007
1.1046 1.2202 2.7048 37.7834 1427.5879
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