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2026-2027学年高中数学苏教版必修一单元测试 第2章 常用逻辑用语
一、选择题
1．已知命题,,则为( )
A., B.,
C., D.,
2．命题“,”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
3．命题“，”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
4．如果对于任意实数表示不超过x的最大整数,例如,那么“”是“”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．设,为非零向量,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知平面向量,,则存在,使得“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．命题“，，使得”的否定形式是( )
A.，，使得 B.，，使得
C.，，使得 D.，，使得
二、多项选择题
9．下列命题中是真命题的是( )
A., B.,
C.,使 D.,
10．下列存在量词命题中，是真命题的是( ).
A.， B.至少有一个，使x能同时被2和3整除
C.， D.有些自然数是偶数
11．下列命题中是真命题的有( )
A.
B.“”是“”的必要不充分条件
C.设函数,则
D.函数的图像必过定点
三、填空题
12．命题的否定是____________________
13．命题“,使成立”的否定命题是_______________.
14．若命题“”是真命题,则实数m的取值范围是__________.
15．根据下述事实，写出一个含有量词的命题是__________.
，
，
，
……
四、解答题
16．指出下列定理是判定定理还是性质定理：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）菱形的对角线互相垂直；
（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（5）三边对应成比例的两个三角形相似；
（6）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
17．指出下列命题中，p是q的什么条件（用“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）：
（1），；
（2）p：两直线平行，q：同位角相等；
（3）p：点在角的平分线上，q：点到角的两边所在直线的距离相等；
（4）p：斜边相等，q：两直角三角形全等.
18．将下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）绝对值相等的数也相等；
（2）矩形的对角线相等；
（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；
（4）两角分别相等的两个三角形相似.
19．设命题实数x满足；命题实数x满足.
(1)若,且p,q都为真,求实数x的取值范围；
(2)若,且q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
20．求证:一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
参考答案
1．答案：A
解析：命,为全称量词命题,
则为：,.
故选：A.
2．答案：C
解析：命题“,”的否定为“,”.
故选:C.
3．答案：A
解析：因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论，
所以命题“，”的否定是“，”.
4．答案：B
解析：取,满足“”,但即,充分性不成立;
如果,那么和的整数部分是相同的,所以,所以必要性成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
5．答案：B
解析：若,则,模长相等,但它们的方向可以不同,故不一定成立,
故得不到,
若,则,
故“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
6．答案：B
解析：当时,可得；
当,时,满足,但不存在,使得；
所以存在,使得”是“”的充分不必要条件.
7．答案：A
解析：由，得，则，；
反之，，取，则有，即不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8．答案：D
解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题得命题“，，使得”的否定形式是“，，使得”.故选D.
9．答案：ABC
解析：对于A,,A正确；
对于B,当时,,B正确；
对于C,当,满足,C正确；
对于D,当时,,D错误.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：A中，时，满足，所以A是真命题；
B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；
D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；
C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题.
故选ABD.
11．答案：CD
解析：对于A,空集为不含有任何元素的集合,则0不属于空集,故A错误；
对于B,或,则“”是“”的充分不必要条件,故B错误；
对于C,,故C正确；
对于D,令,则,故的图像必过定点,故D正确.
故选：CD.
12．答案：;
解析：因为命题“”为存在量词命题,其否定为全称量词命题为
故答案为:
13．答案：“,”
解析：命题“,使成立”的否定命题是“,”
故答案为：,.
14．答案：
解析：由得,则使成立,
即为使成立,则.
15．答案：，
解析：观察题中式子可知，一个含有量词的命题是，.
16．答案：（1）性质定理
（2）判定定理
（3）性质定理
（4）判定定理
（5）判定定理
（6）性质定理
解析：（1）只要是直角三角形，就可以利用该定理得出斜边上的中线等于斜边的一半，故该定理是性质定理；
（2）一个三角形，若有两个角互余，就可以利用该定理得出该三角形是直角三角形，故该定理是判定定理；
（3）只要一个平行四边形是菱形，就可以利用该定理得出对角线互相垂直，故该定理是性质定理；
（4）两个三角形，若两边成比例且夹角相等，就可以利用该定理得出这两个三角形相似，故该定理是判定定理；
（5）两个三角形，若三边对应成比例，就可以利用该定理得出这两个三角形相似，故该定理是判定定理；
（6）只要两个三角形相似，就可以利用该定理得出这两个三角形的面积比等于相似比的平方，故该定理是性质定理.
17．答案：（1）充分不必要条件
（2）充要条件
（3）充要条件
（4）必要不充分条件
解析：（2）两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行，
因此，p是q的充要条件；
（4）若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为、、2的直角三角形和三边边长分别为1、、2的直角三角形，这两个三角形不全等，
另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相等.
因此，p是q的必要不充分条件.
18．答案：答案见解析
解析：（1）若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等.
（2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等.
（3）若一个点是角平分线上的点，则它到角两边的距离相等.
（4）若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,不等式化为,解得,
由不等式,可得,所以,
因为p,q都为真,所以,解得,即x的取值范围为.
(2)由方程,可得,,
所以,不等式的解集为,
因为q是p的充分不必要条件,则,解得,
所以实数m的取值范围.
20．答案：证明见解析
解析：证明:充分性:,
一元二次方程的判别式,
方程一定有两个不等实根,分别设为,,则,
方程的两根异号,即方程有一正根和一负根.
必要性:一元二次方程有一正根和一负根,分别设为,,
则由一元二次方程根与系数的关系,
得且,解得.
综上可知,一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
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