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2026-2027学年高中数学苏教版必修一单元测试 第3章 不等式
一、选择题
1．与不等式同解的不等式是( )
A. B. C. D.
2．某生物制药公司为了节约成本开支，引入了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）满足函数关系式.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为( )
A.80吨 B.100吨 C.120吨 D.150吨
3．已知且，则的最小值为( )
A.4 B.6 C. D.8
4．已知，则ab的最大值为( )
A. B. C. D.3
5．已知，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.1
6．已知,且,则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
7．下列说法中，错误的是( )
A.若，，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
8．若，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若,则下列不等式一定成立的有( )
A. B.
C. D.
10．已知a，b为正实数，且，则( )
A.的最小值为1 B.的最小值为4
C.ab的最大值为4 D.的最小值为
11．对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
三、填空题
12．已知，b为正实数，且，则的最小值为__________________.
13．已知正数x、y满足,则的最小值是_____________
14．若，且，则的取值范围为______.
15．已知,且,则的取值范围为_________.
四、解答题
16．已知关于x的不等式.
(1)若,,且,试求它的解集；
(2)若,,试求它的解集.
17．(1)若方程的两根分别为,求的值.
(2)教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为,则
证明：因为一元二次方程的两个根为 ,所以二次三项式可以因式分解为
由于
从而等式恒成立.
根据多项式相等的概念可知,该等式两边的对应项系数应相等.
因此
类比以上思路,推导一元三次方程的根与系数关系；
(3)根据你的发现,解决以下问题：已知关于x的方程有三个实数根 满足,求实数c的值.
18．画出函数的图象，并指出函数的零点.
19．已知函数，对于任意的，试比较与的大小.
20．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，求.
参考答案
1．答案：B
解析：.
A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，，故C错误；
D选项，，故D错误.故选B.
2．答案：B
解析：依题意，每吨的平均处理成本，
当且仅当，即时取等号，
所以当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为100吨.故选B.
3．答案：D
解析：且，则，当且仅当，即，时取等号，所以当，时，的最小值为8.故选D.
4．答案：B
解析：由题意得，即，当且仅当，即，或，时等号成立，所以ab的最大值为.故选B.
5．答案：D
解析：由，，，得，当且仅当时取等号，所以的最大值是1.故选D.
6．答案：A
解析：由题意可得,可得,
因为,所以,所以,
令,求导得,
可得当时,,函数在上单调递增,
又,,
当时,有,可得,
当时,有恒成立,所以,
综上所述：.
故选：A.
7．答案：A
解析：对于A，取，，则，故A错误；对于B，由，，得，故B正确；对于C，，由，，得，所以，故C正确；对于D，由，得，又，所以，故D正确.故选A.
8．答案：B
解析：对A，当时，，故A错误；
对B，当时，
当时，，则，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，当，时，，故D错误.故选B.
9．答案：BD
解析：对于A,由,得,则,即,A错误;
对于B,由,得,则,即,B正确;
对于C,取,满足,而,C错误;
对于D,由,得,D正确.
10．答案：ABD
解析：方法一：由得，又a，b为正实数，则，，
则，当且仅当，时取等号，则的最小值为1，A正确.
，当且仅当，时取等号，则的最小值为4，B正确.
，即，由a，b为正实数，得，当且仅当，时取等号，则，则ab的最大值为2，C错误.
由，得且，即，
所以
，
当且仅当时取等号，则的最小值为，故D正确.故选ABD.
方法二：对于B选项，由，则，
即，即，又，故，当且仅当即，时取等号.
11．答案：BD
解析：根据，取，，则不成立，故A错误；
，由不等式的基本性质知成立，故B正确；
由，取，，则不成立，故C错误；
，，，
即，，，，故D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：因为，所以.
又，b为正实数，
所以，，
故，
当且仅当，即，时等号成立.
故的最小值为.
13．答案：18
解析：.
14．答案：
解析：由题意，当且仅当时等号成立，
解得，所以且等号能取得.
故答案为：.
15．答案：
解析：方法一:由去分母,可得,整理得（*）,
因,,即,当且仅当时等号成立,
由（*）可得,即,解得或（不合题意舍去）,
故的取值范围为;
方法二:因为,所以,
而,
当且仅当时等号成立,由,解得,
当时,取得最小值为2,
此时取得最小值为.
即的取值范围为.
故答案为:.
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)因为,,且,
所以,即,
所以,解得,
不等式的解集为.
(2)若,,
则,即,
当时,不等式为,解得；
当时,不等式为,解得；
当时,因为,所以解得或；
当时,,所以由不等式可解得；
当时,,所以由不等式可得.
综上,当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为.
17．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)
解析：(1)由题意,
所以.
(2)设有三个不相等的实数根,
则可分解因式为,
展开得,
所以有恒成立,
所以等式两边对应系数相等,
所以有.
(3)由(2)可知,,
易知,
因为,
所以有,解得.
18．答案：图象见解析，零点为和1
解析：配方，得.
列表：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
描点作图：
方程的两根是，，
函数的零点为和1.
19．答案：
解析：，，
，
，
即，
即.
20．答案：
解析：，，.
，，
，.
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