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2026-2027学年高中数学苏教版必修一单元测试 第5章 函数概念与性质
一、选择题
1．给定四个函数：①；②；③，；④，其中奇函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2．设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使的x的取值范围为( )
A. B. C. D.
3．下列说法正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数在处有定义，则
C.奇函数的图象一定过原点
D.图象过原点的奇函数必是单调函数
4．若函数为奇函数，则必有( )
A. B. C. D.
5．已知函数是定义在上的偶函数，则( )
A.1 B.0 C. D.
6．已知定义域为R的函数满足：，，都有，且，若，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．设函数为R上的增函数，则下列结论正确的是( )
A.在R上为增函数 B.在R上为减函数
C.在R上为增函数 D.在R上为减函数
8．已知函数则( )
A. B. C. D.13
二、多项选择题
9．下列y关于x的关系不是函数关系的是( )
A. B. C. D.
10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则( )
A.对于圆O，其“太极函数”有1个
B.函数是圆O的一个“太极函数”
C.函数不是圆O的“太极函数”
D.函数是圆O的一个“太极函数”
11．定义.对于集合中的任意两个元素m、n.定义,.若,则称具有对称性.下列判断正确的是( )
A.
B.若,则不具有对称性
C.对于任意m、n、且,恒成立
D.集合中不存在三个互不相等的元素a、b、c,使得
三、填空题
12．函数是奇函数，则实数____________.
13．已知是偶函数,则_____________.
14．函数的单调递减区间是______________.
15．已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则当时,______.
四、解答题
16．指出下列函数的单调性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
17．证明：幂函数在区间上单调递增.
18．记函数的定义域为集合M，函数的值域为集合N，求：
（1）M，N；
（2），.
19．已知函数.
（1）用分段函数的形式表示；
（2）画出的图象，并写出函数的单调区间、值域.
20．已知集合，，试写出从A到B的两个函数.
参考答案
1．答案：A
解析：①函数是R上的偶函数，不是奇函数；
②函数的定义域为，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
③函数，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
④函数的定义域是R，而，不是奇函数.
所以奇函数的个数为0.故选A.
2．答案：B
解析：因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称，由在上的图象，知它在上的图象，如图所示.
所以由图可知使的x的取值范围为.故选B.
3．答案：B
解析：A项，若定义域不包含0，则图象与y轴不相交；
C项，若定义域不包含0，则图象不过原点；
D项，奇函数不一定是单调函数.故选B.
4．答案：B
解析：为奇函数，.
又，.
5．答案：D
解析：由题意得，，解得，因为为偶函数，所以，即，所以，解得，所以，，所以.故选D.
6．答案：A
解析：令函数，.因为，，都有，所以，所以，即，即，
所以函数是定义在R上的减函数.若，且，则，即，所以，即.故选A.
7．答案：D
解析：由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，故排除B；
，在R上不是单调函数，且函数的定义域不是R，故排除A，C；若函数在R上为增函数，则在R上为减函数，D正确.故选D.
8．答案：B
解析：因为函数所以.故选B.
9．答案：BD
解析：对于A，因为当时，，所以该关系是函数关系；
对于B，当时，没有对应的y值，所以该关系不是函数关系；
对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系；
对于D，因为当时，有两个y值与之对应，所以该关系不是函数关系.故选BD.
10．答案：BD
解析：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；
对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；
对于C选项，函数定义域为R，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；
对于D选项， 函数定义域为R，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.
故选：BD
11．答案：ACD
解析：对于A选项,因为,,
所以,,故,A对；
对于B选项,因为,
所以,即具有对称性,B错；
对于C选项,当m、n、且,
,
同理可得,,
所以,
且,同理可得,,
所以,C对；
对于D选项,设a,b,c为集合中三个互补相等的元素,不妨假设,
因为,,,所以,
当时,,,,
则,,则,
当时,,同理可得,,
所以,
综上所述,集合中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得,D对.
故选：ACD.
12．答案：1
解析：因为函数是奇函数，所以，
即，由于分母，化简得，
解得，
故答案为：1.
13．答案：4
解析：因为为偶函数,
则,
又因为x不恒为0,可得,即,
则,即,解得.
故答案为:4.
14．答案：,
解析：因为,
所以的定义域为,
则,
当时,,
所以单调递减区间是,
故答案为：,.
15．答案：
解析：若,则,可得,
又因为函数是定义在R上的奇函数,
所以.
故答案为:.
16．答案：（1）单调递增
（2）单调递减
（3）单调递减
（4）单调递减
解析：（1）因为，所以在R上单调递增；
（2）因为，所以在R上单调递减；
（3）因为，所以在R上单调递减；
（4）因为，所以在R上单调递增，
所以在R上单调递减.
17．答案：证明见解析
解析：证明：任取，
因为，
所以幂函数在区间上是增函数.
18．答案：（1），
（2），
解析：（1）使函数有意义，
则，解得，
所以函数的定义域，
，
所以函数的值域为.
（2）由（1），.
19．答案：（1）
（2）图象略，单调增区间为，值域为
解析：（1）当时，，
当时，.
故.
20．答案：，；，（答案不唯一）
解析：
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