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2026-2027学年高中数学苏教版必修一单元测试 第6章 幂函数、指数函数和对数函数
一、选择题
1．已知函数是幂函数,且在上递增,则实数( )
A.2 B. C.1 D.1或
2．函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3．已知函数,且的图象恒过点,则( )
A. B. C.1 D.2
4．幂函数在区间上单调递增,则下列说法正确的是( )
A. B.或 C. D.或
5．已知函数（且），若，则的递增区间是( )
A. B. C. D.
6．“”是“是幂函数”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知幂函数在上单调递增,则k的值( )
A. B.2 C. D.4
8．已知函数的图象与指数函数的图象关于y轴对称，则实数a的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
二、多项选择题
9．下列各函数中,是指数函数的是( )
A. B. C. D.x
10．已知幂函数,则m的值可能为( )
A. B.2 C.7 D.
11．已知函数为幂函数，则实数m的可能性取值为( )
A.1 B. C.3 D.
三、填空题
12．若幂函数的图像过点,则此函数的解析式是________.
13．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______.
14．已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长，则x年后的产量为____________________件.
15．当时，函数，且的图象恒在直线的下方，则实数a的取值范围为____________________.
四、解答题
16．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）.
17．试结合函数图象比较，，的大小.
18．画出下列各个函数的图象，并说明这些函数的图象与对数函数的图象之间的关系.
（1）；
（2）.
19．分别求满足下列条件的实数x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
20．设函数是定义在R上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）函数，若存在最小值，求实数a的取值范围，并求出的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意幂函数可得,解得,
当时,在上单调递减,不合题意,故舍去;
当时,在上单调递增,满足题意,故;
故选:B.
2．答案：C
解析：对于函数,需满足,
即,解得或,
所以函数的定义域为.
故选：C.
3．答案：B
解析：令,解得,又,
所以函数,且）的图象恒过点,
即,所以.
故选:B.
4．答案：B
解析：因为幂函数在上单调递增,
则,解得或.
故选:B.
5．答案：C
解析：由得，所以，
又且，所以，
而的定义域为，处无定义，
当时，，因为，
所以对数函数在上单调递增；
当时，，
根据复合函数性质得，内层在单调递减，
外层单调递增，因此在上单调递减.
则的递增区间是.
6．答案：B
解析：若是幂函数,则,
所以“”是“是幂函数”的充分不必要条件.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题意,得,解得.
故选：D.
8．答案：C
解析：由两函数的图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即，解得.
9．答案：BD
解析：由指数函数定义知,指数函数的一般形式为：选项A中,,所以选项A错误；
根据指数函数的定义,选型BD正确；
选项C中,,不符合指数函数的形式,选项C错误；
故选：BD.
10．答案：AC
解析：因为幂函数,
所以,解得或,
当时,,满足题意;
当时,,满足题意.
故选:AC
11．答案：AD
解析：由题意得，解得或1，
当时，，当时，，均满足要求.
故选：AD
12．答案：
解析：设,由图像过点可得,解得.
故答案为:
13．答案：
解析：令，解得，此时，
所以函数（，且）的图象恒过定点.
14．答案：
解析：由题意，一年后的产量为：（件）
两年后的产量为：（件）
三年后的产量为：（件）
……
则x年后的产量为：（件）.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意，得当时不等式恒成立，即恒成立.令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象.当时，如图1，由图可知，，恒成立，故不满足题意；当时，如图2，由图可知，若，恒成立，需，即，解得，故.综上，a的取值范围是.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原方程可化为，
，.
（2）两边取常用对数得，
.
（3）由得，
两边取常用对数得，
.
17．答案：
解析：
18．答案：答案见解析
解析：图象如图所示：
（1）函数的图象由函数的图象上所有点向上平移1个单位得到.
（2）函数的图象由函数的图象关于x轴对称得到.
19．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1），.
（2），
.
（3），.
（4），.
20．答案：（1）
（2）实数a的取值范围是，的最小值为
解析：（1）设，则，
因为是奇函数，所以.
又是定义在R上的奇函数，所以，
综上，
（2）当时，
.
令，则.
令，
则图象的对称轴方程为.
当，即时，在上单调递增，
此时在上不存在最小值，不符合题意.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时.
综上，实数a的取值范围是，的最小值为.
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