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2026-2027学年高中数学苏教版必修一单元测试 第7章 三角函数
一、选择题
1．已知函数，则的一个对称中心为( )
A. B. C. D.
2．若在是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.
3．已知函数,且的最小值为,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的( )
A.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B.横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C.纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
D.纵坐标变为原来的（横坐标不变）
5．某扇形花坛的圆心角为弧度,半径为8米,则该花坛的弧长为( ).
A.米 B.米 C.米 D.米
6．已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
7．已知角θ的终边过点，则( )
A. B. C. D.
8．下列各角中,与终边相同的角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在中,下列关系成立的是( )
A. B.
C. D.
10．下列各角中,与20°终边相同的角为( )
A. B.200° C.370° D.380°
11．要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.先向右平移个单位长度,再将横坐标缩小为原来的
B.先向左平移个单位长度,再将横坐标缩小为原来的
C.先将横坐标缩小为原来的,再向左平移个单位长度
D.先将横坐标缩小为原来的,再向右平移个单位长度
三、填空题
12．已知函数的图象关于直线对称,则可以为____________.（写出一个符合条件的即可）
13．若角的终边与单位圆相交于点,则________________.
14．设常数a使方程在闭区间上恰有三个解，，，则________
15．已知角的顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边经过点,则______.
四、解答题
16．在一次气象调查中，发现某城市的温度（单位：℃）的波动近似地按照规则，其中t（单位：h）是从某日开始计算的时间，且.
（1）画出温度随时间波动的图象.
（2）利用函数图象确定最高和最低温度.
（3）最高和最低温度在什么时候出现？
（4）在什么时候温度为：
①？
②？
17．一铁棒欲通过如图所示的直角走廊.试回答下列问题：
（1）证明：棒长；
（2）当时，作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；
（3）由（2）中的图象求的最小值（用计算器或计算机）；
（4）解释（3）中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.
18．不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
19．求证：
（1）；
（2）.
20．求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
参考答案
1．答案：A
解析：令，，得，；
当时，，此时对称中心为；
的一个对称中心为.
2．答案：A
解析：因为,
所以由得
因此,,从而a的最大值为,
故选：A.
3．答案：B
解析：因,
则的一个对称中心为,一条对称轴为,
又最小值为,则相邻对称中心与对称轴距离,即最小正周期的为,
则最小正周期为,则.
故选:B
4．答案：A
解析：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即.
5．答案：D
解析：依题意,该花坛的弧长为米.
6．答案：B
解析：因为角的终边过点,
所以,
所以,
故选：B.
7．答案：B
解析：由角θ的终边过点，所以.
8．答案：A
解析：与终边相同的角为,
当时,,
故下列各角中,与终边相同的角为.
9．答案：BC
解析：对于AB选项,,A错B对;
对于C选项,,C对;
对于D选项,,D错.
故选:BC.
10．答案：AD
解析：与终边相同的角的集合为,
当时,;当时,.
故选:AD.
11．答案：AD
解析：,
将函数的图象先向右平移个单位长度,得,
再将横坐标缩小为原来的,得,A对,B错,
或将函数的图象横坐标缩小为原来的,得,
再向右平移个单位长度得,C错,D对.
12．答案：.（答案不唯一）
解析：函数的图象关于直线对称,
则只要的图象关于直线对称即可,
所以,所以,
如令,可以取.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为角的终边与单位圆相交于点,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：的根为函数与函数的交点横坐标，根据函数图像可知要满足有三个交点，需，此时，，，
15．答案：
解析：由三角函数的定义可得.
16．答案：（1）图象见解析
（2）最高温度为，最低温度为
（3）时，出现最高温度；凌晨时，出现最低温度
（4）在或时温度为；在凌晨或时温度为
解析：（1）如图所示.
（2）最高温度为，最低温度为.
（3）当，即时，出现最高温度.当，即凌晨时，出现最低温度.
（4）①由，得，或，则或，
在或时温度为.
②由，得，
由，得，则或，
所以或.
在凌晨或时温度为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）图象见解析
（3）
（4）答案见解析
解析：（1）证明：如图.
，，
棒长.
（2）当时，由计算机作出函数的图象为：
（3）.
（4）若铁棒长不大于L，则铁棒能在这个直角走廊拐弯；若铁棒长大于L，则铁棒不能在这个直角走廊拐弯，
故L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）因为，，
所以.
（2）因为，
，
且，
所以.
（3）因为
，
且，所以.
（4）因为，所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：（1）右边
左边，原式成立.
（2）左边
右边，原式成立.
20．答案：（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，.
（2）单调递增区间为，；单调递减区间为，
解析：（1）由正弦函数的性质，
令，解得，，
令，解得，，
在，上递增；在，上递减；
（2）由余弦函数的性质，令，解得，，
令，解得，，
在，上递增；在，上递减.
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