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2026-2027学年高中数学苏教版必修一单元测试 第8章 函数应用
一、选择题
1．在2019年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中.在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算.现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：）( )
A.秒 B.秒 C.秒 D.秒
2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位:°C）的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据得到下面的散点图:
由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A. B.
C. D.
3．已知函数的零点用二分法计算,附近的函数值参考数据如下表所示：
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.6875
4.00 0.86 0.18
则方程的近似解可取为（精确度）
A. B. C. D.
4．若存在满足，则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
5．用二分法求函数零点近似值时,第一次所取区间,则第三次所取的区间可能是( )
A. B. C. D.
6．氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.假设氡气经过t天后,氡气的剩余量（单位:g）为,其中a,k为常数.在此条件下,已知氡气经过1天后,氡气的剩余量为,再经过1天后,氡气的剩余量为( )
A. B. C. D.
7．溶液酸碱度用pH值表示,其计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,且pH越大,酸度越弱,碱性越大.下列命题中,真命题是( )
A.已知纯净水的,则纯净水中摩尔/升
B.已知胃酸中摩尔/升,则胃酸的
C.溶液中摩尔/升时,溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强
D.溶液中摩尔/升时,溶液的碱性越大,氢离子浓度越大
8．已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题
9．对于函数，，，下列说法正确的是( )
A.对任意的，
B.对任意的，
C.一定存在，当时，总有
D.与的图象有两个交点
10．若臭氧含量M与时间t（单位：年）的函数关系式为，其中正数为臭氧的初始含量，则( )
A.随着时间的增加，臭氧的含量增加
B.随着时间的增加，臭氧的含量减少
C.当时，
D.已知年臭氧含量为，年臭氧含量为，若，则
11．吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，下表为不同玻璃材料的透光率：
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.6 0.7 0.8
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为、、，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知某产品的总成本y（单位：万元）与产量x（单位：台）之间的函数关系是（，），若每台产品的售价为25万元，则能使生产者不亏本（销售收入不小于总成本）的最低产量是________________台.
13．设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是____________________.
14．使不等式成立的x的取值范围是________.
15．已知,,且,则的最小值为_______________.
四、解答题
16．设a为实数，若关于x的方程在区间上有两个解，求a的取值范围.
17．如图，有一块半径为R（单位：cm）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：cm）和腰长x（单位：cm）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
18．设，试研究关于x的方程在区间上的解的个数.
19．已知函数，且关于x的方程在区间上有唯一解，求t的取值范围.
20．近年来，某企业每年消耗电费24万元.为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与15年所消耗的电费之和为F（单位：万元）.
（1）解释的实际意义，并写出F关于x的函数关系式；
（2）要使F不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求x的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：设所需时间为t秒，则，则，
即，
秒.
故选：B.
2．答案：D
解析：由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,
因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是.
故选:D.
3．答案：B
解析：由表知函数零点在区间 ,所以近似解可取为,选B.
4．答案：A
解析：当时，有解，即在上有解，由图象（图略）可知，故选A.
5．答案：D
解析：因为第一次所取区间,取中点,所以第二次取的区间为或,
当第二次取的区间为时,取中点,所以第三次取的区间为或;
当第二次取的区间为时,取中点,所以第三次取的区间为或;
故选:D
6．答案：A
解析：由题意可得,,解得..
7．答案：C
解析：对于A,令,则摩尔/升,故A错误;
对于B,胃酸的,故B错误;
对于C,当摩尔/升时,
根据可得当越大时,越小,故酸性越大,故C正确;
对于D,当摩尔/升时,
根据可得若溶液的碱性越大,则越大,故越小,
故D错误.
8．答案：C
解析：函数的图象与x轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，
所以可以用二分法求近似值的零点个数为3.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：在同一平面直角坐标系内作出函数，，的图象，如图所示，
由图象知，对任意的，，，A，B选项正确；
由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后，的函数值将会超过的函数值，并一直持续，即一定存在，当时，总有，C正确；
当时，与的图象有一个交点，
当时，与的图象有两个交点，所以与的图象一共有三个交点，D错误.
故选ABC.
10．答案：BCD
解析：对于A，B选项，由函数单调递减，函数单调递增，
可得函数单调递减，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，当时，，故C选项正确；
对于D选项，由，有，可得，故D选项正确.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：由，得，则，，，，
因为，所以，即，A错误；
，B正确；
，C正确；
，
，
，
，
，
，
所以，
则有，
又，则，D正确.
故选BCD.
12．答案：150
解析：由题意知，销售收入为25x万元，总成本为万元，，解得或，又，，，.最低产量是150台.
13．答案：
解析：有实数解，有实数解，有实数解，，，.
14．答案：
解析：如图,分别作出的图象,结合图象可知恒成立,
当时,;当时,;当时,;
所以不等式成立的的取值范围是.
故答案为:.
15．答案：
解析：因为,,且,
所以,则,
整理得,
又,,所以,
所以.
因此,
当且仅当,即时取等号.
此时,满足题意.
故答案为：.
16．答案：
解析：在区间上有两个解，
在上有两个解，且，令，
.
17．答案：（1），
（2）5R
解析：（1）过点D作，连接BD.
为直径，，
在与中，，.
.
，即，
又，，，，
.
，，，
.
（2）
.
当时，y取得最大值，最大值为5R.
梯形周长的最大值为5R.
18．答案：当时，方程在区间上无解；当时，方程在区间上有1个解
解析：设.
，
函数与x轴有两个不同的交点.
当时，方程为，在上无解.
当时，，，
，且的图象是连续不间断的，
函数在上有1个零点，
方程在上有1个解.
综上，当时，方程在区间上无解；当时，方程在区间上有1个解.
19．答案：
解析：，，，
，，
又在区间上有唯一解，由图象（图略）可知，
.
20．答案：（1）的实际意义是未安装太阳能电池板时每年消耗的电费；，
（2）
解析：（1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时每年消耗的电费，即未安装太阳能电池板时每年消耗的电费.
由，得.
，.
（2）令，
则，
.
要使F不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，x的取值范围是.
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