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浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试题
1．在下列国产新能源汽车的车标图案中，属于中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列各数中，使根式 有意义的x的值可以是(　　)
A．2 B．1 C．0 D．-1
3．如图，在四边形ABCD中，已知∠A=70°， ∠B=140°， ∠C=50°，则∠D的度数为(　　)
A．90° B．100° C．110° D．140°
4．小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8.这组数据的离差平方和为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．8
5．用配方法解方程： 时，配方结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC， BD交于点O，若∠AOD=120°， AB=3，则矩形ABCD的面积是(　　)
A．12 B．18 C． D．
7．杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元.已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高5%.设2025年研发经费的增长率为x，则(　　)
A．2000 (1+x) (1+5%) =2310
B．2000 (1+x) (1+x+5%) =2310
C．2000 (1+x+5%)2=2310
D．2000 (1+2x+5%) =2310
8．已知一元二次方程 的两根为 一元二次方程 的两根为 则t值是(　　)
A．1 B． C．5 D．
9． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 以点C为圆心，以一定长为半径画圆弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点 E，F为圆心，以大于 EF的长为半径画圆弧，交于点P， 连接CP 并延长交BD于点 G. 若BG=5， DG=11， 则对角线AC的长为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图1，有一张平行四边形纸片ABCD，点E，F分别为边AB，CD的中点，连结EF，M为AD边上一点(AMA． B．3 C． D．
11．计算： ＝　 　．
12．已知关于x的一元二次方程 (x-5)(x-a)=0的两个根分别是5和1，则a的值为　 　.
13． 某小组11名同学1分钟跳绳次数为： 142， 160， 164， 170， 172， 175， 178， 180， 182，186，208. 这组数据的下四分位数是　 　.
14．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接BE 交对角线AC于点 F，连接DF. 设∠ADF=α，则∠EFD=　 　(用含α的代数式表示).
15．已知关于x的一元二次方程 (其中 ac≠0)的一个根是x=c， 则 ac=　 　.
16． 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，过点C作 CE⊥BD， 垂足为点E，连接AE. 若AB=AE，DE=2，则AB的长为　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）x(x+1) =1.
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB. 点E，F分别在 BC，AD 上， 且满足AF=EC.
（1）求证：四边形BEDF 为平行四边形.
（2）若∠ABC=64°，DE平分∠ADC，求∠FBE 的度数.
20．某连锁奶茶门店的店长为优化排班与备货方案，在午市高峰(11：00—14： 00) 和晚市高峰(17： 00—20： 00) 各选取6个时间段， 统计这些时间段中每10分钟的出杯量.具体数据如下折线图所示：
分析数据，整理成表格如下：
　 平均数 众数 中位数 方差
午市高峰 a 49 48.5 13
晚市高峰 52 53 b 26
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 求a， b的数值.
（2）午市和晚市，哪个的销售量更高，哪个的销售量更稳定 请根据统计量说明理由.
21．阅读与思考
我们知道，已知三角形的一边长及这条边上的高线长，利用公式 可以求三角形的面积.由三角形全等的判定方法“边边边”可知，一个三角形只要三边确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，这意味着，通过三角形的三边长是可以确定三角形的面积的.
古希腊数学家海伦，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式： 其中
根据以上阅读材料回答下列问题：
如图， 在△ABC中，AB=5， AC=7， BC=6.
（1） 求△ABC的面积.
（2） 作AD⊥BC，通过计算说明AB=CD.
22．某农场要建一个大饲养场(矩形ABCD)，两面靠墙，AD位置的墙最大可用长度为17米，AB 位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长34米.设木栏CD的长为x米.
（1） ①BC= ▲ 米(用含x的代数式表示)
②若饲养场面积为160平方米时，求CD的长；
（2）饲养场面积能达到170平方米吗 若能，请求出CD的长，若不能，请说明理由.
23． 定义：在菱形中，相邻两个内角的度数差的绝对值称为该菱形的“邻角差”，记作k，即k=|α-β|，其中α，β分别是菱形两个相邻内角的度数.
（1）概念理解：若菱形的一个内角为70°，则k的值为　 　°.若k=20°时，则该菱形较大的内角为　 　°.
（2）动态思考： 若菱形ABCD的边长为4， 且60°≤k≤120°， 求菱形ABCD面积的最大值.
（3）拓展延伸：在正方形ABCD中，直线MN过正方形的中心O，分别与正方形的边AD，BC交于M，N两点，且MN>AB.请利用尺规作图，构造菱形MPNQ，使它的顶点P，Q分别在正方形ABCD 的边AB，CD上；并直接写出该菱形MPNQ的“邻角差” k的值.
24．综合与探究
问题情境：如图，在矩形ABCD中，AD>AB.将矩形ABCD绕点B逆时针旋转得到矩形 EBFG，使点F落在对角线BD上， BG交边AD于点 M， FG交边AD于点 H，延长DA 交边 EG 于点 N.
（1）判断△BMD的形状，并说明理由.
（2）若NH=4，求 GM的长.
（3）小真同学通过几何画板画图和测量得到以下近似数据：
NG 4cm 4cm 5cm 8cm
BF 5cm 6cm 7.5cm 10cm
BD 6cm 8cm 10cm 12cm
猜想：NG，BD，BF三者之间的等量关系，并给出证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转18 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项A，B，C不能能找到一点，使图形绕某这点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选： C.【分析】把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：
∴x的值可以是2，
故选： A.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
3．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-70°-140°-50°=100°，
故答案为：B.
【分析】根据四边形的内角和为360°解答即可.
4．【答案】C
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：
则这组数据的离差平方和为：
故选： C.
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义解答即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
整理得：
配方得：
即
故选： A.
【分析】利用移项，添加一次项系数一半的平方，左边写为完全平方的形式解答即可.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴AO=OB=OC=OD，∠ABC=90°，
又∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AO=CO=3，即AC=6，
∴，
∴矩形ABCD的面积为，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到△OAB是等边三角形，求出AC长，根据勾股定理求出BC长，再根据矩形的面积公式计算即可.
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：B.
【分析】根据2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元，2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高5%，列出一元二次方程即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 n，
∵一元二次方程 的两根为
即
故选： D.
【分析】利用根与系数的关系得到 然后利用整体代入的方法可求得t的值.
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H，
由作图可知CG是∠ACB的平分线，
又∵ABCD是菱形，
∴AC=2OC，∠BOC=90°，，
∴GH=OG=OB-BG=8-5=3，
∴，
∵GH=OG，CG=CG，
∴Rt△CGH≌Rt△CGO，
∴CH=OC，
又∵BC2=OB2+OC2，
∴(4+OC)2=82+OC2，解得OC=6，
∴AC=12，
故答案为：D.
【分析】过点G作GH⊥BC于点H，根据作图可得GH=3，然后根据勾股定理求出BH长，再根据HL得到Rt△CGH≌Rt△CGO，即可得到CH=OC，然后根据勾股定理求出OC长即可.
10．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点N作NH∥AB，则ABNH和CDHN是平行四边形，
∴CN=DH，
∴甲、乙两图的周长差为长边差的2倍，即2[AD+MN-(AD-MH)]=4MH=6，即MH=，
面积差为2MH×，
解得MN=，
故答案为： A .
【分析】过点N作NH∥AB，则ABNH和CDHN是平行四边形，即根据周长差得到MH=，然后根据面积差列方程求出MN的值即可.
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
或 ，
解得 ， ，
关于 的一元二次方程 的两个根分别是 5 和 1，
。
故答案为：1.
【分析】利用因式分解法解方程得 ， ，从而可确定 的值.
13．【答案】164
【知识点】四分位数
【解析】【解答】数据排列后居于中间的数值为175，即中位数为175；
则前半部分数据为 142， 160， 164， 170， 172， 中位数为164，即下四分位数为164，
故答案为：164.
【分析】根据下四分位数的定义解答即可.
14．【答案】90°-2α
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴∠BADA=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD，∠BCA=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△CFB≌△CFD，
∴∠CBF=∠CDF=90°-α，
∴∠BFD=360°-∠CBF-∠CDF-∠BCD=360°-(90°-α)-(90°-α)-90°=90°+2α，
∴∠DFE=180°-∠BFD=180°-(90°+2α)=90°-2α.
故答案为：90°-2α.
【分析】根据正方形的性质，利用SAS得到△CFB≌△CFD，即可得到∠CBF=∠CDF=90°-α，然后根据四边形的内角和定理可得∠BFD=90°+2α，再根据领补角的定义解答即可.
15．【答案】-6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 (其中ac≠0)的一个根是x=c，
所以c=0或ac+6=0.
则ac=-6.
故答案为：-6.
【分析】将x=c代入方程，整理解答即可..
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
又∵ABCD是矩形，
∴OB=OA=OC=OD，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
又∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴BF=DE=EF=2，
∴AC=BD=6，即OA=OB=3，
∴OF=OB-BF=3-2=1，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BD于点F，根据矩形的性质，利用AAS得到△ABF≌△CDE，即可得到BF=DE=EF=2，进而求出OA和OF长，根据勾股定理以此计算AF和AB长即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
=12-6
=6.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先算乘法，再化简二次根式即可；
(2)根据平方差公式计算即可.
18．【答案】（1）解：
x(x-2)=0，
则x=0或x-2=0，
所以
（2）解：x(x+1)=1，
则
所以
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
(2)先整理为一般式，利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， AD=BC，
∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，
∴FD=BE，
∵FD∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=64°，
∵DE平分∠ADC，
由(1)知四边形BEDF是平行四边形，
∴∠FBE=∠EDF=32°.
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质推出 而AF=EC，得到FD=BE，即可证明结论.
(2)由平行四边形的性质推出 由角平分线的定义得到 根据平行四边形的对角相等得到结论即可.
20．【答案】（1）解：由折线统计图可知，午市6个时间段的出杯量分别为： 40， 45， 48， 49， 49， 51。
午市的平均数a为：
由折线统计图可知，晚市6个时间段的出杯量分别为： 44， 53， 56， 59， 53， 47。
将这组数据按从小到大的顺序排列为：44，47，53， 53， 56， 59。
位于中间的两个数都是53，所以晚市的中位数b为：
答： a的值为47， b的值为53。
（2）解：晚市的销售量更高，午市的销售量更稳定。理由如下：
因为午市的平均出杯量为47杯，晚市的平均出杯量为52杯，且52>47，所以晚市的销售量更高；因为午市的方差为13，晚市的方差为26，且13<26，方差越小数据越稳定，所以午市的销售量更稳定。
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义计算即可；
（2）比较午市和晚市的平均数和方差，作出决策即可.
21．【答案】（1）解：由题意得， △ABC的三边长分别为 AB =5， AC=7， BC=6。
答： △ABC的面积为
（2）
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在 Rt△ADC中，由勾股定理得：
=5
∵AB=5
∴AB=CD.
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）先计算p的值，然后代入公式计算即可；
（2）根据三角形的面积求出AD长，然后根据勾股定理求出CD长解答即可.
22．【答案】（1）解：①(36-2x)；
②列方程为x(36-2x)=160，
解得x1=8，x2=10，
当x=8时，BC=36-2x=20，不符合题意舍去；
当x=10时，BC=36-2x=16，符合题意；
答： 饲养场面积为160平方米时，求CD的长10米；
（2）解：列方程得x(36-2x)=160，
整理得x2-18x+85=0，
，方程无实数根，
∴ 饲养场面积不能达到170平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）①BC=34-CD-EF+2=(36-2x)米，
故答案为：(36-2x)；
【分析】（1）①根据木栏总长加上门口宽，再减去两个CD长解答即可；
②根据矩形的面积公式列方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）根据题意列方程，整理为一般式，然后根据根的判别式的值判断方程根的情况解答即可.
23．【答案】（1）40；100
（2）解：设 α，β分别是菱形两个相邻内角的度数 ，α>β，则α=180°-β，
∴60°≤(180°-β)-β≤120°，
解得：30°≤β≤60°，
∴当∠β=60°时，菱形的面积最大，
如图，则∠ACE=30°，
∴，，
∴菱形ABCD的面积为；
（3）在AB和CD上截取AP=CQ=DM，连接MP，PN，NQ和QM，
0°
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）若菱形的一个内角为70°，则相邻的内角为180°-70°=110°，
∴k=|α-β|=|110°-70°|=40°；
设 α>β，则β=180°- α，
∴α-(180°- α)=20°，
解得α=100°，
故答案为：40°；100°；
（3）如图，连接BD，
∵ABCD是正方形，
∴BC∥AD，OB=OD，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠NBO=∠ODM，∠BNO=∠DMO，
∴△OBN≌△ODM(AAS)，
∴DM=BN=AP=CQ，
∴AM=BP=CN=DQ，
∴△APM≌△BNP≌△CQN≌△DMQ，
∴PM=NP=QN=MQ，∠DMQ=∠APM，
∴MPNQ为菱形，
∴∠APM+∠AMP=∠DMQ+∠AMP=90°，
∴∠PMQ=90°，
同理∠MPN=90°，
∴该菱形MPNQ的“邻角差” k的值0°，
故答案为：0°.
【分析】（1）求出相邻的内角度数，根据新定义运算即可；设 α>β，表示β，然后代入新定义计算α即可；
（2）求出较小角的范围，然后得到较小角越大，菱形的高越大，面积越大，然后根据勾股定理求出高线CE长，领用菱形的面积公式计算即可；
（3）在AB和CD上截取AP=CQ=DM，连接BD，先根据正方形的性质利用AAS得到△OBN≌△ODM，即可得到BN=DM，再根据SAS得到△APM≌△BNP≌△CQN≌△DMQ，即可得到四边形MPNQ为正方形，根据新定义计算即可.
24．【答案】（1）解： △BMD是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
由旋转知， ∠CBD=∠DBG，
∴∠ADB=∠DBG，
∴MB=MD，
∴△BMD是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠CDB=90°，
由旋转知， ∠BFG=90°，
∴∠ADB+∠DHF=90°，
∴∠CDB=∠DHF，
∵∠DHF=∠GHN，
∴∠CDB=∠GHN，
由旋转知， ∠BGF=∠CDB，
∴∠GHN=∠BGF，
∴MG=MH，
∵∠EGF=90°，
∴∠HNG+∠GHN=90°， ∠NGM+∠BGF=90°，
∴∠HNG=∠NGM(等角的余角相等)，
∴GM=NM，
∴NH=MN+MH=2GM=4，
∴GM=2，
即GM的长为2；
（3）解：NG+BD=2BF，证明如下：
如图， 过点G作GK||AD， 交BD的延长线于K，
∵四边形EBFG是矩形，且点F落在BD上，
∴四边形NGKD是平行四边形，
由(1)知，MD=MB，
由(2)知，NM=GM，
(等腰三角形的“三线合一”)，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】(1)先判断出∠CBD=∠ADB，由旋转知， ∠CBD=∠DBG，进而得出∠ADB=∠DBG，即可得出结论；
(2)先判断出∠ADB+∠CDB=90°，再判断出∠ADB+∠DHF=90°，进而得出∠CDB=∠DHF，再判断出∠GHN=∠BGF，得出MG=MH，再判断出∠HNG=∠NGM，得出GM=NM，即可得出答案；
(3)过点G作GK∥AD，交BD的延长线于K，先判断出EG∥BD，进而得出四边形NGKD是平行四边形，即GK=ND， DK=NG，由(1)知， MD=MB，由(2)知， NM=GM，得出DN=BG，进而得出BF=KF(等腰三角形的“三线合一”)，即BK=2BF，即得出结论.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试题
1．在下列国产新能源汽车的车标图案中，属于中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转18 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项A，B，C不能能找到一点，使图形绕某这点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选： C.【分析】把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此解答即可.
2．下列各数中，使根式 有意义的x的值可以是(　　)
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：
∴x的值可以是2，
故选： A.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
3．如图，在四边形ABCD中，已知∠A=70°， ∠B=140°， ∠C=50°，则∠D的度数为(　　)
A．90° B．100° C．110° D．140°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-70°-140°-50°=100°，
故答案为：B.
【分析】根据四边形的内角和为360°解答即可.
4．小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8.这组数据的离差平方和为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：
则这组数据的离差平方和为：
故选： C.
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义解答即可.
5．用配方法解方程： 时，配方结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
整理得：
配方得：
即
故选： A.
【分析】利用移项，添加一次项系数一半的平方，左边写为完全平方的形式解答即可.
6．如图，矩形ABCD的对角线AC， BD交于点O，若∠AOD=120°， AB=3，则矩形ABCD的面积是(　　)
A．12 B．18 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴AO=OB=OC=OD，∠ABC=90°，
又∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AO=CO=3，即AC=6，
∴，
∴矩形ABCD的面积为，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到△OAB是等边三角形，求出AC长，根据勾股定理求出BC长，再根据矩形的面积公式计算即可.
7．杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元.已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高5%.设2025年研发经费的增长率为x，则(　　)
A．2000 (1+x) (1+5%) =2310
B．2000 (1+x) (1+x+5%) =2310
C．2000 (1+x+5%)2=2310
D．2000 (1+2x+5%) =2310
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：B.
【分析】根据2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元，2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高5%，列出一元二次方程即可.
8．已知一元二次方程 的两根为 一元二次方程 的两根为 则t值是(　　)
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 n，
∵一元二次方程 的两根为
即
故选： D.
【分析】利用根与系数的关系得到 然后利用整体代入的方法可求得t的值.
9． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 以点C为圆心，以一定长为半径画圆弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点 E，F为圆心，以大于 EF的长为半径画圆弧，交于点P， 连接CP 并延长交BD于点 G. 若BG=5， DG=11， 则对角线AC的长为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H，
由作图可知CG是∠ACB的平分线，
又∵ABCD是菱形，
∴AC=2OC，∠BOC=90°，，
∴GH=OG=OB-BG=8-5=3，
∴，
∵GH=OG，CG=CG，
∴Rt△CGH≌Rt△CGO，
∴CH=OC，
又∵BC2=OB2+OC2，
∴(4+OC)2=82+OC2，解得OC=6，
∴AC=12，
故答案为：D.
【分析】过点G作GH⊥BC于点H，根据作图可得GH=3，然后根据勾股定理求出BH长，再根据HL得到Rt△CGH≌Rt△CGO，即可得到CH=OC，然后根据勾股定理求出OC长即可.
10．如图1，有一张平行四边形纸片ABCD，点E，F分别为边AB，CD的中点，连结EF，M为AD边上一点(AMA． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点N作NH∥AB，则ABNH和CDHN是平行四边形，
∴CN=DH，
∴甲、乙两图的周长差为长边差的2倍，即2[AD+MN-(AD-MH)]=4MH=6，即MH=，
面积差为2MH×，
解得MN=，
故答案为： A .
【分析】过点N作NH∥AB，则ABNH和CDHN是平行四边形，即根据周长差得到MH=，然后根据面积差列方程求出MN的值即可.
11．计算： ＝　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．已知关于x的一元二次方程 (x-5)(x-a)=0的两个根分别是5和1，则a的值为　 　.
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
或 ，
解得 ， ，
关于 的一元二次方程 的两个根分别是 5 和 1，
。
故答案为：1.
【分析】利用因式分解法解方程得 ， ，从而可确定 的值.
13． 某小组11名同学1分钟跳绳次数为： 142， 160， 164， 170， 172， 175， 178， 180， 182，186，208. 这组数据的下四分位数是　 　.
【答案】164
【知识点】四分位数
【解析】【解答】数据排列后居于中间的数值为175，即中位数为175；
则前半部分数据为 142， 160， 164， 170， 172， 中位数为164，即下四分位数为164，
故答案为：164.
【分析】根据下四分位数的定义解答即可.
14．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接BE 交对角线AC于点 F，连接DF. 设∠ADF=α，则∠EFD=　 　(用含α的代数式表示).
【答案】90°-2α
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴∠BADA=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD，∠BCA=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△CFB≌△CFD，
∴∠CBF=∠CDF=90°-α，
∴∠BFD=360°-∠CBF-∠CDF-∠BCD=360°-(90°-α)-(90°-α)-90°=90°+2α，
∴∠DFE=180°-∠BFD=180°-(90°+2α)=90°-2α.
故答案为：90°-2α.
【分析】根据正方形的性质，利用SAS得到△CFB≌△CFD，即可得到∠CBF=∠CDF=90°-α，然后根据四边形的内角和定理可得∠BFD=90°+2α，再根据领补角的定义解答即可.
15．已知关于x的一元二次方程 (其中 ac≠0)的一个根是x=c， 则 ac=　 　.
【答案】-6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 (其中ac≠0)的一个根是x=c，
所以c=0或ac+6=0.
则ac=-6.
故答案为：-6.
【分析】将x=c代入方程，整理解答即可..
16． 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，过点C作 CE⊥BD， 垂足为点E，连接AE. 若AB=AE，DE=2，则AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
又∵ABCD是矩形，
∴OB=OA=OC=OD，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
又∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴BF=DE=EF=2，
∴AC=BD=6，即OA=OB=3，
∴OF=OB-BF=3-2=1，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BD于点F，根据矩形的性质，利用AAS得到△ABF≌△CDE，即可得到BF=DE=EF=2，进而求出OA和OF长，根据勾股定理以此计算AF和AB长即可.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
=12-6
=6.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先算乘法，再化简二次根式即可；
(2)根据平方差公式计算即可.
18．解方程：
（1）
（2）x(x+1) =1.
【答案】（1）解：
x(x-2)=0，
则x=0或x-2=0，
所以
（2）解：x(x+1)=1，
则
所以
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
(2)先整理为一般式，利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可.
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB. 点E，F分别在 BC，AD 上， 且满足AF=EC.
（1）求证：四边形BEDF 为平行四边形.
（2）若∠ABC=64°，DE平分∠ADC，求∠FBE 的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， AD=BC，
∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，
∴FD=BE，
∵FD∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=64°，
∵DE平分∠ADC，
由(1)知四边形BEDF是平行四边形，
∴∠FBE=∠EDF=32°.
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质推出 而AF=EC，得到FD=BE，即可证明结论.
(2)由平行四边形的性质推出 由角平分线的定义得到 根据平行四边形的对角相等得到结论即可.
20．某连锁奶茶门店的店长为优化排班与备货方案，在午市高峰(11：00—14： 00) 和晚市高峰(17： 00—20： 00) 各选取6个时间段， 统计这些时间段中每10分钟的出杯量.具体数据如下折线图所示：
分析数据，整理成表格如下：
　 平均数 众数 中位数 方差
午市高峰 a 49 48.5 13
晚市高峰 52 53 b 26
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 求a， b的数值.
（2）午市和晚市，哪个的销售量更高，哪个的销售量更稳定 请根据统计量说明理由.
【答案】（1）解：由折线统计图可知，午市6个时间段的出杯量分别为： 40， 45， 48， 49， 49， 51。
午市的平均数a为：
由折线统计图可知，晚市6个时间段的出杯量分别为： 44， 53， 56， 59， 53， 47。
将这组数据按从小到大的顺序排列为：44，47，53， 53， 56， 59。
位于中间的两个数都是53，所以晚市的中位数b为：
答： a的值为47， b的值为53。
（2）解：晚市的销售量更高，午市的销售量更稳定。理由如下：
因为午市的平均出杯量为47杯，晚市的平均出杯量为52杯，且52>47，所以晚市的销售量更高；因为午市的方差为13，晚市的方差为26，且13<26，方差越小数据越稳定，所以午市的销售量更稳定。
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义计算即可；
（2）比较午市和晚市的平均数和方差，作出决策即可.
21．阅读与思考
我们知道，已知三角形的一边长及这条边上的高线长，利用公式 可以求三角形的面积.由三角形全等的判定方法“边边边”可知，一个三角形只要三边确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，这意味着，通过三角形的三边长是可以确定三角形的面积的.
古希腊数学家海伦，在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式： 其中
根据以上阅读材料回答下列问题：
如图， 在△ABC中，AB=5， AC=7， BC=6.
（1） 求△ABC的面积.
（2） 作AD⊥BC，通过计算说明AB=CD.
【答案】（1）解：由题意得， △ABC的三边长分别为 AB =5， AC=7， BC=6。
答： △ABC的面积为
（2）
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在 Rt△ADC中，由勾股定理得：
=5
∵AB=5
∴AB=CD.
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）先计算p的值，然后代入公式计算即可；
（2）根据三角形的面积求出AD长，然后根据勾股定理求出CD长解答即可.
22．某农场要建一个大饲养场(矩形ABCD)，两面靠墙，AD位置的墙最大可用长度为17米，AB 位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长34米.设木栏CD的长为x米.
（1） ①BC= ▲ 米(用含x的代数式表示)
②若饲养场面积为160平方米时，求CD的长；
（2）饲养场面积能达到170平方米吗 若能，请求出CD的长，若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：①(36-2x)；
②列方程为x(36-2x)=160，
解得x1=8，x2=10，
当x=8时，BC=36-2x=20，不符合题意舍去；
当x=10时，BC=36-2x=16，符合题意；
答： 饲养场面积为160平方米时，求CD的长10米；
（2）解：列方程得x(36-2x)=160，
整理得x2-18x+85=0，
，方程无实数根，
∴ 饲养场面积不能达到170平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）①BC=34-CD-EF+2=(36-2x)米，
故答案为：(36-2x)；
【分析】（1）①根据木栏总长加上门口宽，再减去两个CD长解答即可；
②根据矩形的面积公式列方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）根据题意列方程，整理为一般式，然后根据根的判别式的值判断方程根的情况解答即可.
23． 定义：在菱形中，相邻两个内角的度数差的绝对值称为该菱形的“邻角差”，记作k，即k=|α-β|，其中α，β分别是菱形两个相邻内角的度数.
（1）概念理解：若菱形的一个内角为70°，则k的值为　 　°.若k=20°时，则该菱形较大的内角为　 　°.
（2）动态思考： 若菱形ABCD的边长为4， 且60°≤k≤120°， 求菱形ABCD面积的最大值.
（3）拓展延伸：在正方形ABCD中，直线MN过正方形的中心O，分别与正方形的边AD，BC交于M，N两点，且MN>AB.请利用尺规作图，构造菱形MPNQ，使它的顶点P，Q分别在正方形ABCD 的边AB，CD上；并直接写出该菱形MPNQ的“邻角差” k的值.
【答案】（1）40；100
（2）解：设 α，β分别是菱形两个相邻内角的度数 ，α>β，则α=180°-β，
∴60°≤(180°-β)-β≤120°，
解得：30°≤β≤60°，
∴当∠β=60°时，菱形的面积最大，
如图，则∠ACE=30°，
∴，，
∴菱形ABCD的面积为；
（3）在AB和CD上截取AP=CQ=DM，连接MP，PN，NQ和QM，
0°
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）若菱形的一个内角为70°，则相邻的内角为180°-70°=110°，
∴k=|α-β|=|110°-70°|=40°；
设 α>β，则β=180°- α，
∴α-(180°- α)=20°，
解得α=100°，
故答案为：40°；100°；
（3）如图，连接BD，
∵ABCD是正方形，
∴BC∥AD，OB=OD，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠NBO=∠ODM，∠BNO=∠DMO，
∴△OBN≌△ODM(AAS)，
∴DM=BN=AP=CQ，
∴AM=BP=CN=DQ，
∴△APM≌△BNP≌△CQN≌△DMQ，
∴PM=NP=QN=MQ，∠DMQ=∠APM，
∴MPNQ为菱形，
∴∠APM+∠AMP=∠DMQ+∠AMP=90°，
∴∠PMQ=90°，
同理∠MPN=90°，
∴该菱形MPNQ的“邻角差” k的值0°，
故答案为：0°.
【分析】（1）求出相邻的内角度数，根据新定义运算即可；设 α>β，表示β，然后代入新定义计算α即可；
（2）求出较小角的范围，然后得到较小角越大，菱形的高越大，面积越大，然后根据勾股定理求出高线CE长，领用菱形的面积公式计算即可；
（3）在AB和CD上截取AP=CQ=DM，连接BD，先根据正方形的性质利用AAS得到△OBN≌△ODM，即可得到BN=DM，再根据SAS得到△APM≌△BNP≌△CQN≌△DMQ，即可得到四边形MPNQ为正方形，根据新定义计算即可.
24．综合与探究
问题情境：如图，在矩形ABCD中，AD>AB.将矩形ABCD绕点B逆时针旋转得到矩形 EBFG，使点F落在对角线BD上， BG交边AD于点 M， FG交边AD于点 H，延长DA 交边 EG 于点 N.
（1）判断△BMD的形状，并说明理由.
（2）若NH=4，求 GM的长.
（3）小真同学通过几何画板画图和测量得到以下近似数据：
NG 4cm 4cm 5cm 8cm
BF 5cm 6cm 7.5cm 10cm
BD 6cm 8cm 10cm 12cm
猜想：NG，BD，BF三者之间的等量关系，并给出证明.
【答案】（1）解： △BMD是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
由旋转知， ∠CBD=∠DBG，
∴∠ADB=∠DBG，
∴MB=MD，
∴△BMD是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠CDB=90°，
由旋转知， ∠BFG=90°，
∴∠ADB+∠DHF=90°，
∴∠CDB=∠DHF，
∵∠DHF=∠GHN，
∴∠CDB=∠GHN，
由旋转知， ∠BGF=∠CDB，
∴∠GHN=∠BGF，
∴MG=MH，
∵∠EGF=90°，
∴∠HNG+∠GHN=90°， ∠NGM+∠BGF=90°，
∴∠HNG=∠NGM(等角的余角相等)，
∴GM=NM，
∴NH=MN+MH=2GM=4，
∴GM=2，
即GM的长为2；
（3）解：NG+BD=2BF，证明如下：
如图， 过点G作GK||AD， 交BD的延长线于K，
∵四边形EBFG是矩形，且点F落在BD上，
∴四边形NGKD是平行四边形，
由(1)知，MD=MB，
由(2)知，NM=GM，
(等腰三角形的“三线合一”)，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】(1)先判断出∠CBD=∠ADB，由旋转知， ∠CBD=∠DBG，进而得出∠ADB=∠DBG，即可得出结论；
(2)先判断出∠ADB+∠CDB=90°，再判断出∠ADB+∠DHF=90°，进而得出∠CDB=∠DHF，再判断出∠GHN=∠BGF，得出MG=MH，再判断出∠HNG=∠NGM，得出GM=NM，即可得出答案；
(3)过点G作GK∥AD，交BD的延长线于K，先判断出EG∥BD，进而得出四边形NGKD是平行四边形，即GK=ND， DK=NG，由(1)知， MD=MB，由(2)知， NM=GM，得出DN=BG，进而得出BF=KF(等腰三角形的“三线合一”)，即BK=2BF，即得出结论.
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