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(共23张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.4.1正方形的性质与判定（1 ）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形
之间的联系和区别。
2.能够运用正方形的性质解决相关问题。
02
新知导入
还记得正方形的定义吗 正方形与菱形有怎样的关系 与矩形呢
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
菱形
正方形
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状。
03
新知探究
还记得正方形的定义吗 正方形与菱形有怎样的关系 与矩形呢
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形。
矩形
展开
正方形
03
新知探究
问题1 正方形是菱形吗 正方形是矩形吗
由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。
03
新知探究
问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质
它具有矩形与菱形的所有性质。
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等且互相垂直平分。
你能证明这两个结论吗
A
D
C
B
O
03
新知讲解
证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。
A
D
C
B
证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°，
∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°，
∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°，
∴ ∠A= ∠C=90°，∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC，∴ AB =BC=CD=DA。
03
新知讲解
证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。
已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AB=BC，∠ABC=90°。
求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC， OB=OD。
A
B
C
D
O
证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，
∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。
∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°，
∴∠OBA=∠BAC，∴OA=OB，
∵AC=2AO，BD=2BO，
∴ AC=BD。
03
新知讲解
提炼概念
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
几何语言：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=BC=CD=AD。
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。
几何语言：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。
A
B
C
D
O
A
B
C
D
新课探究
例1
如图在正方形ABCD 中,E 为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF。 BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC =DC,∠BCE =90°。
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。
∴∠BCE=∠DCF。
又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF 。 ∴BE=DF。
A
B
D
C
F
E
03
新知讲解
(2)延长BE 交DE 于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF。
∵∠DCF =90°,
∴∠CDF +∠F =90°。
∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°。
∴BE⊥DF。
A
B
D
F
E
C
M
03
新知讲解
尝试·交流
如图，四边形ABCD是正方形.
（1）在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？
（2）在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形的四个顶点需要满足什么条件？
A
B
D
C
03
新知讲解
A
B
D
C
第1个问题中，在正方形中画菱形，则只能以AC为菱形的对角线。
（1）菱形的另外两个顶点都在正方形的对角线BD上，且两个顶点到BD的中点的距离相等。
O
根据菱形和正方形的对称性可知，菱形的另外两个顶点到点O的距离相等。
03
新知讲解
A
B
D
C
距离相等
A
B
D
C
相加等于正方形的边长
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
A
D
B
C
O
E
22.5°
2.在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE =AB ，则∠EBC 的度数是 。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线 AC 上一点，连接BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明。
解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC 与 △ABC,
△FCD与 △FCB,
△FAD 与 △FAB。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，
点C的坐标是（ ）
A.(3，－3) B.(－3，3)
C.(3，3) D.(－3，－3)
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
返回
2.如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD
的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG，
则图中阴影部分的面积是_______。
8
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图，正方形ABCD 的边长为1cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求BE 的长。
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°。
又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE。
在Rt△ABC 中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，
∴BE＝( －1)cm。
Thanks!
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