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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.4.1正方形的性质与判定（1）
一、选择题
1.平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等
2.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
3. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题
4. 如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______。
5.如图，边长为2的正方形两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是______．
6.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于　　.
7.如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF=4，DE=9，则EF的长为 。
8.如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______．
三、解答题
9.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数。
10.如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当 时，四边形是正方形．
11.如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处．
(1)求线段的长；
(2)连接，求证：
12.在学习正方形的过程中，老师给同学们提出一个问题：在正方形中，E是边上的点，连接，F、G分别在边上，连接，与交于点M．若，试说明与的数量关系．
聪明的小雅很快就有了思路：首先过点F作的垂线，将问题转化为证明三角形全等，通过全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据她的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点F作的垂线交于点H（只保留作图痕迹）．
∵四边形是正方形，∴，，．
∵，∴，
即四边形是矩形，∴．
又∵，∴ ．
∵，∴，
则 ．
∵，∴，
∴在中，，
∴ ，
∴．∴．
参考答案：
A 2.D 3. B 4. 4
6. 2 7. 5
9.解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，
∴△ABF≌△AGF（HL）。∴∠BAF=∠GAF。
同理易得：△AGE≌△ADE，∴∠GAE=∠DAE。
∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=（∠DAG+∠BAG）
=∠DAB=45°。∴∠EAF=45°。
10.（1）证明：∵点D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：当时，四边形是正方形，证明如下：
由（1）可得，且四边形是矩形，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形．
11.解：由题意得，，
设，则，
四边形是正方形，
，
，
落在边的中点处，
，
，
解得：，
；
（2）证明：如图，由折叠可得．
12.如图，即为所求；
，，
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