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广东省江门市怡福中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（　　）
A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17
3． 下列各点在函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是平行四边形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6． 如图，，以点 A 为圆心，为 半径画弧交y轴正半轴于点 B ，则点 B 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移 4 个单位长度，所得函数的解析式 是（　　）
A． B． C． D．
8． 如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
10． 如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
11．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是　 　边形．
12．若一次函数（k是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则k的值可以是　 　．（写出一个即可）
13．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　．
14． 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
15． 正方形，，，…按如图所示的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标为　 　．
16． 计算：；
17． 如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长．
18． 已知，，若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
19． 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象．
（1）放入的长方体的高度为　 　；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
20． 如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A、B、D均在格点上，点E在边上．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）线段的长为　 　；
（2）在网格内画一点C，使且；
（3）直接写出点D到的距离为　 　；
（4）在边上分别画点O、F，使，．
21． 【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）　 　，式子的最小值为　 　；（用或填空）
（2）求分式的最小值；
（3）应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？
22． 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．
（1）如图1，连接．
①请你探究与之间的关系，并证明你的结论；
②求证：．
（2）如图2，若，点F是的中点，求的长．
23． 如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系．
（3）如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】选项A. ，不能化简.
选项B. =3，
选项C. =2 ，
选项D. =3 .
故答案为：A..
【分析】分别化简各式，然后利用最简二次根式的概念进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】选项A：最长边为5，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；
选项B：最长边为2，验证，与不相等，不满足勾股定理。虽然三边满足三角形存在条件（如），但无法构成直角三角形；
选项C：最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；
选项D：最长边为17，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；
综上，选项B的三边不能组成直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行验证，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当时，，该点不在函数图象上；
B、当时，，该点不在函数图象上；
C、当时，，该点不在函数图象上；
D、当时，，与选项纵坐标一致，该点在函数图象上。
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，核心是函数图象上的点的坐标均满足函数解析式。采用代入验证法，将每个选项中点的横坐标代入函数表达式，计算出对应的纵坐标，再和选项给出的纵坐标对比，一致则说明点在图象上。
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，∴
∴．
故答案为：C．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得出，进而根据邻补角关系即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.二次根式加法需满足同类项，与非同类项，故A错误；
B.，故B错误；
C.根据二次根式乘法法则，则，故C正确；
D.，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并二次根式的加减法则可得出A，B不正确；根据二次根式的乘除法则可得出C正确，D不正确。
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
由题意可知，
在中，由勾股定理得：
，
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为。
故答案为：D
【分析】本题考查平面直角坐标系中的坐标计算与勾股定理的应用，结合圆的半径相等的性质求解。先根据A、C两点的坐标求出线段AC的长度，再利用同圆半径相等得到AB的长度，最后在直角三角形AOB中用勾股定理求出OB的长度，结合点B的位置即可确定其坐标。
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得：，即；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的平移规律可得出平移后的解析式为：，即；
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定，属于几何综合基础题。先根据平行四边形的性质得到，，则（两直线平行，内错角相等），再根据角平分线的定义得到，从而根据等腰三角形的判定与性质结合题意进行线段的运算即可求解。
9．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽得到解析式即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，如图，
由图象可得，点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为
解得AD=7，
，，
四边形ABCE是矩形，
CE=AB=3，BC=AE，
设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，
在Rt△DCE中，
解得x=3，
a=3+3=6，
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据图象点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为进而求得AD=7，证明四边形ABCE是矩形，得到CE=AB=3，BC=AE，设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程得到x的值，从而求解.
11．【答案】五
【知识点】多边形内角与外角；邻补角；三角形的外角和
【解析】【解答】解：360°÷（180°-108°）=5（边），
即这个多边形是五边形，
故答案为：五．
【分析】本题依据多边形外角和定理，先计算出多边形的每一个外角是（180°-108°），再根据多边形外角和为360°，列示计算即可求出答案．
12．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在函数中，，要使图象经过第二、三、四象限，则，
即：的取值范围是，
则k的值可以是（答案不唯一），
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象经过 第二、三、四象限， 可得出，然后在此范围内，任意写出一个k的值即可（答案不唯一）。
13．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴n的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】根据，再结合二次根式的性质可得n的最小值是5。
14．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，且（三角形中位线定理）。
∵，
∴（两直线平行，同位角相等）。
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，。
故答案为：
【分析】本题考查三角形中位线定理与等腰三角形的判定，属于几何基础综合题。先根据中位线的判定与性质得到，且，进而根据平行线的性质得到，从而根据等腰三角形的判定与性质即可求解。
15．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：先求直线与坐标轴的交点：
当时，，即直线与y轴交点为；
当时，，即直线与x轴交点为，
因此直线与x轴形成的夹角为，图中的三角形均为等腰直角三角形。
正方形中，边长为1，点的纵坐标为；
正方形中，边长为2，点的纵坐标为；
正方形中，边长为4，点的纵坐标为；
以此类推，点的纵坐标为。
当时，点的纵坐标为。
故答案为：
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与规律型点的坐标探究，结合正方形的性质推导变化规律。先求出直线与坐标轴的交点，确定图中等腰直角三角形的边长变化规律；再依次计算前几个点的纵坐标，总结出纵坐标的通项公式，最后代入计算即可得到结果。
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖有理数乘方、算术平方根、零指数幂与二次根式乘法四个考点。计算时，根据负数的偶次幂为正数可得结果为1；计算时，根据算术平方根的定义可得结果为3；计算时，根据零指数幂规则，非零数的零次幂为1，结果为1；计算二次根式乘法时，先依据将被开方数相乘，再化简为最简形式，最后按照从左到右的顺序计算加减即可得到最终结果。
17．【答案】解：∵，，
四边形是平行四边形，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质的综合应用。先根据两组对边分别平行判定四边形OCED是平行四边形，得到对边相等的关系；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出OC和OD的长度；最后根据平行四边形周长公式，代入OC和OD的长度计算即可得到四边形OCED的周长。
18．【答案】先化简：
，，
则
又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
，，
，，
．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查分母有理化、无理数的估算与二次根式的混合运算。先对x和y进行分母有理化，利用平方差公式去掉分母中的根号，得到x、y的最简形式；根据的取值范围，估算x和y的整数部分，进而得到它们的小数部分a、b的表达式；将a、b代入所求式子，分别计算平方项与二次根式项，注意，需根据a、b的大小去绝对值，最后合并化简即可得到结果。
19．【答案】（1）20
（2）解：设所在直线的函数表达式为：，
则代入得：，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为；
（3）解：当时，则，
解得：，
∴该容器注满水所用的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：由函数图象得，当时，，
3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体，
∴放入的长方体的高度为，
故答案为：20；
【分析】本题考查一次函数的实际应用，结合函数图象分析注水过程的分段变化。
（1）观察函数图象的拐点，当注水时间为3分钟时，水面高度的增长速度发生变化，说明此时水面刚好没过长方体铁块，对应的水面高度就是长方体的高度；
（2）设AB段直线的解析式为一次函数的一般形式，将A、B两点的坐标代入解析式，通过解二元一次方程组求出系数k和b，即可得到直线的函数表达式；
（3）容器注满水时水面高度为50cm，将y=50代入AB段的函数解析式，求解对应的x值即为注满水的总时间。
20．【答案】（1）
（2）解：所作图形如图所示；
（3）
（4）解：所作图形如图所示，
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】解：，
故答案为：；
解：所作图形如图所示；
解：，
设点D到的距离为，
∴，即，
∴，
∴点D到的距离为，
故答案为：；
解：所作图形如图所示，
．
【分析】本题考查网格中的几何作图与计算，涵盖勾股定理、平行四边形的性质、等积法求距离等知识点。（1）将线段AB置于格点直角三角形中，利用勾股定理计算两条直角边的平方和，再开方即可得到AB的长度；（2）根据平移的性质，将线段BA沿AD方向平移，使点A与点D重合，对应得到的点即为点C，可保证CD与BA平行且相等；（3）利用等积法，先通过网格求出△ABD的面积，再结合AB的长度，利用三角形面积公式反求出点D到AB的垂线段长度；（4）先连接AC，利用平行四边形对角线互相平分的性质，AC与BD的交点即为满足OB=OD的点O；再连接EO并延长交BC于点F，利用全等三角形的性质可证得AE=CF。
21．【答案】（1）；2
（2）解：，
∴分式的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
答：用来做对角线的竹条至少要厘米长．
【知识点】二次根式的实际应用；基本不等式
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，
∴式子的最小值为，
故答案为：，；
【分析】本题考查利用完全平方式推导的不等式求最值，属于新定义阅读类题型。
（1）第一空直接根据材料给出的不等式规律，对比a+b与的大小关系，当a≠b时取大于号；第二空将x和分别对应公式中的a和b，代入公式即可求出最小值；
（2）先将分式拆分为两个单项式的和，转化为的形式，再套用材料中的不等式公式，代入计算即可得到分式的最小值；
（3）先根据对角线互相垂直的四边形的面积公式，求出两条对角线长度的乘积，再套用不等式公式，求出两条对角线长度之和的最小值，即为竹条的最小总长度。
22．【答案】（1）解：①，，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
，
，
∴；
②∵，
，
∵，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
；
（2）解：过点作于，如图：
由②得，，，
∴
，
，
∵点是的中点，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的综合应用。
（1）①先通过同角的余角相等得到，结合两组对应边相等的条件，用SAS判定与全等，从而得到AE与BD的数量关系；再通过全等三角形的对应角相等，结合等腰直角三角形的锐角和为90°，推导得到BD与AE的夹角为90°，进而确定二者的位置关系；
②由①中AE与BD垂直的结论，在Rt△ABD中利用勾股定理得到AD2+BD2=AB2，将BD替换为AE，再结合等腰直角三角形ABC中AB2=2AC2，代入即可完成证明；
（2）先利用①中得到的的结论，代入已知的AE和AC的长度，求出AD的长；再过点C作DE的垂线，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，求出垂线CH的长度；结合F是AD中点的条件，求出HF的长度，最后在Rt△CHF中用勾股定理求出CF的长度。
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由翻折性质可得：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：解：如图中，过点作于点．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理的综合几何应用。
（1）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB与CD的关系，结合BE=AB的条件，推导出BE与CD平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可完成证明；
（2）先通过AAS判定△DFC与△AFH全等，得到CF=FH，进而推出CH=2CF；再结合折叠的性质与平行四边形的内错角相等，推导出∠DBC=∠FCB，得到GB=CG；最后通过线段的和差关系，将CG替换为GB，整理即可得到三条线段的数量关系；
（3）先根据AD的长度与FD、FA的比例关系，求出AF和FD的长度；过点B作AD的垂线，结合折叠前后对应边相等与等腰三角形三线合一的性质，求出垂足分AF的线段长度，再用勾股定理求出垂线段的长度；最后利用三角形面积公式，以DF为底、垂线段为高，计算出△DFC的面积。
1 / 1广东省江门市怡福中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】选项A. ，不能化简.
选项B. =3，
选项C. =2 ，
选项D. =3 .
故答案为：A..
【分析】分别化简各式，然后利用最简二次根式的概念进行判断即可.
2．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（　　）
A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】选项A：最长边为5，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；
选项B：最长边为2，验证，与不相等，不满足勾股定理。虽然三边满足三角形存在条件（如），但无法构成直角三角形；
选项C：最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；
选项D：最长边为17，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；
综上，选项B的三边不能组成直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行验证，即可得出答案。
3． 下列各点在函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当时，，该点不在函数图象上；
B、当时，，该点不在函数图象上；
C、当时，，该点不在函数图象上；
D、当时，，与选项纵坐标一致，该点在函数图象上。
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，核心是函数图象上的点的坐标均满足函数解析式。采用代入验证法，将每个选项中点的横坐标代入函数表达式，计算出对应的纵坐标，再和选项给出的纵坐标对比，一致则说明点在图象上。
4．如图，四边形是平行四边形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，∴
∴．
故答案为：C．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得出，进而根据邻补角关系即可得出答案。
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.二次根式加法需满足同类项，与非同类项，故A错误；
B.，故B错误；
C.根据二次根式乘法法则，则，故C正确；
D.，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并二次根式的加减法则可得出A，B不正确；根据二次根式的乘除法则可得出C正确，D不正确。
6． 如图，，以点 A 为圆心，为 半径画弧交y轴正半轴于点 B ，则点 B 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
由题意可知，
在中，由勾股定理得：
，
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为。
故答案为：D
【分析】本题考查平面直角坐标系中的坐标计算与勾股定理的应用，结合圆的半径相等的性质求解。先根据A、C两点的坐标求出线段AC的长度，再利用同圆半径相等得到AB的长度，最后在直角三角形AOB中用勾股定理求出OB的长度，结合点B的位置即可确定其坐标。
7．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移 4 个单位长度，所得函数的解析式 是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得：，即；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的平移规律可得出平移后的解析式为：，即；
8． 如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定，属于几何综合基础题。先根据平行四边形的性质得到，，则（两直线平行，内错角相等），再根据角平分线的定义得到，从而根据等腰三角形的判定与性质结合题意进行线段的运算即可求解。
9．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽得到解析式即可．
10． 如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，如图，
由图象可得，点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为
解得AD=7，
，，
四边形ABCE是矩形，
CE=AB=3，BC=AE，
设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，
在Rt△DCE中，
解得x=3，
a=3+3=6，
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据图象点P从点A运动到点B的路程是3，当点P运动到与点P重合时，的面积为进而求得AD=7，证明四边形ABCE是矩形，得到CE=AB=3，BC=AE，设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程得到x的值，从而求解.
11．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是　 　边形．
【答案】五
【知识点】多边形内角与外角；邻补角；三角形的外角和
【解析】【解答】解：360°÷（180°-108°）=5（边），
即这个多边形是五边形，
故答案为：五．
【分析】本题依据多边形外角和定理，先计算出多边形的每一个外角是（180°-108°），再根据多边形外角和为360°，列示计算即可求出答案．
12．若一次函数（k是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则k的值可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在函数中，，要使图象经过第二、三、四象限，则，
即：的取值范围是，
则k的值可以是（答案不唯一），
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象经过 第二、三、四象限， 可得出，然后在此范围内，任意写出一个k的值即可（答案不唯一）。
13．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　．
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴n的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】根据，再结合二次根式的性质可得n的最小值是5。
14． 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，且（三角形中位线定理）。
∵，
∴（两直线平行，同位角相等）。
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，。
故答案为：
【分析】本题考查三角形中位线定理与等腰三角形的判定，属于几何基础综合题。先根据中位线的判定与性质得到，且，进而根据平行线的性质得到，从而根据等腰三角形的判定与性质即可求解。
15． 正方形，，，…按如图所示的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：先求直线与坐标轴的交点：
当时，，即直线与y轴交点为；
当时，，即直线与x轴交点为，
因此直线与x轴形成的夹角为，图中的三角形均为等腰直角三角形。
正方形中，边长为1，点的纵坐标为；
正方形中，边长为2，点的纵坐标为；
正方形中，边长为4，点的纵坐标为；
以此类推，点的纵坐标为。
当时，点的纵坐标为。
故答案为：
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与规律型点的坐标探究，结合正方形的性质推导变化规律。先求出直线与坐标轴的交点，确定图中等腰直角三角形的边长变化规律；再依次计算前几个点的纵坐标，总结出纵坐标的通项公式，最后代入计算即可得到结果。
16． 计算：；
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖有理数乘方、算术平方根、零指数幂与二次根式乘法四个考点。计算时，根据负数的偶次幂为正数可得结果为1；计算时，根据算术平方根的定义可得结果为3；计算时，根据零指数幂规则，非零数的零次幂为1，结果为1；计算二次根式乘法时，先依据将被开方数相乘，再化简为最简形式，最后按照从左到右的顺序计算加减即可得到最终结果。
17． 如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长．
【答案】解：∵，，
四边形是平行四边形，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质的综合应用。先根据两组对边分别平行判定四边形OCED是平行四边形，得到对边相等的关系；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出OC和OD的长度；最后根据平行四边形周长公式，代入OC和OD的长度计算即可得到四边形OCED的周长。
18． 已知，，若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
【答案】先化简：
，，
则
又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
，，
，，
．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查分母有理化、无理数的估算与二次根式的混合运算。先对x和y进行分母有理化，利用平方差公式去掉分母中的根号，得到x、y的最简形式；根据的取值范围，估算x和y的整数部分，进而得到它们的小数部分a、b的表达式；将a、b代入所求式子，分别计算平方项与二次根式项，注意，需根据a、b的大小去绝对值，最后合并化简即可得到结果。
19． 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象．
（1）放入的长方体的高度为　 　；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
【答案】（1）20
（2）解：设所在直线的函数表达式为：，
则代入得：，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为；
（3）解：当时，则，
解得：，
∴该容器注满水所用的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：由函数图象得，当时，，
3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体，
∴放入的长方体的高度为，
故答案为：20；
【分析】本题考查一次函数的实际应用，结合函数图象分析注水过程的分段变化。
（1）观察函数图象的拐点，当注水时间为3分钟时，水面高度的增长速度发生变化，说明此时水面刚好没过长方体铁块，对应的水面高度就是长方体的高度；
（2）设AB段直线的解析式为一次函数的一般形式，将A、B两点的坐标代入解析式，通过解二元一次方程组求出系数k和b，即可得到直线的函数表达式；
（3）容器注满水时水面高度为50cm，将y=50代入AB段的函数解析式，求解对应的x值即为注满水的总时间。
20． 如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A、B、D均在格点上，点E在边上．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）线段的长为　 　；
（2）在网格内画一点C，使且；
（3）直接写出点D到的距离为　 　；
（4）在边上分别画点O、F，使，．
【答案】（1）
（2）解：所作图形如图所示；
（3）
（4）解：所作图形如图所示，
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】解：，
故答案为：；
解：所作图形如图所示；
解：，
设点D到的距离为，
∴，即，
∴，
∴点D到的距离为，
故答案为：；
解：所作图形如图所示，
．
【分析】本题考查网格中的几何作图与计算，涵盖勾股定理、平行四边形的性质、等积法求距离等知识点。（1）将线段AB置于格点直角三角形中，利用勾股定理计算两条直角边的平方和，再开方即可得到AB的长度；（2）根据平移的性质，将线段BA沿AD方向平移，使点A与点D重合，对应得到的点即为点C，可保证CD与BA平行且相等；（3）利用等积法，先通过网格求出△ABD的面积，再结合AB的长度，利用三角形面积公式反求出点D到AB的垂线段长度；（4）先连接AC，利用平行四边形对角线互相平分的性质，AC与BD的交点即为满足OB=OD的点O；再连接EO并延长交BC于点F，利用全等三角形的性质可证得AE=CF。
21． 【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）　 　，式子的最小值为　 　；（用或填空）
（2）求分式的最小值；
（3）应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？
【答案】（1）；2
（2）解：，
∴分式的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
答：用来做对角线的竹条至少要厘米长．
【知识点】二次根式的实际应用；基本不等式
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，
∴式子的最小值为，
故答案为：，；
【分析】本题考查利用完全平方式推导的不等式求最值，属于新定义阅读类题型。
（1）第一空直接根据材料给出的不等式规律，对比a+b与的大小关系，当a≠b时取大于号；第二空将x和分别对应公式中的a和b，代入公式即可求出最小值；
（2）先将分式拆分为两个单项式的和，转化为的形式，再套用材料中的不等式公式，代入计算即可得到分式的最小值；
（3）先根据对角线互相垂直的四边形的面积公式，求出两条对角线长度的乘积，再套用不等式公式，求出两条对角线长度之和的最小值，即为竹条的最小总长度。
22． 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．
（1）如图1，连接．
①请你探究与之间的关系，并证明你的结论；
②求证：．
（2）如图2，若，点F是的中点，求的长．
【答案】（1）解：①，，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
，
，
∴；
②∵，
，
∵，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
；
（2）解：过点作于，如图：
由②得，，，
∴
，
，
∵点是的中点，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的综合应用。
（1）①先通过同角的余角相等得到，结合两组对应边相等的条件，用SAS判定与全等，从而得到AE与BD的数量关系；再通过全等三角形的对应角相等，结合等腰直角三角形的锐角和为90°，推导得到BD与AE的夹角为90°，进而确定二者的位置关系；
②由①中AE与BD垂直的结论，在Rt△ABD中利用勾股定理得到AD2+BD2=AB2，将BD替换为AE，再结合等腰直角三角形ABC中AB2=2AC2，代入即可完成证明；
（2）先利用①中得到的的结论，代入已知的AE和AC的长度，求出AD的长；再过点C作DE的垂线，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，求出垂线CH的长度；结合F是AD中点的条件，求出HF的长度，最后在Rt△CHF中用勾股定理求出CF的长度。
23． 如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系．
（3）如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由翻折性质可得：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：解：如图中，过点作于点．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理的综合几何应用。
（1）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB与CD的关系，结合BE=AB的条件，推导出BE与CD平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可完成证明；
（2）先通过AAS判定△DFC与△AFH全等，得到CF=FH，进而推出CH=2CF；再结合折叠的性质与平行四边形的内错角相等，推导出∠DBC=∠FCB，得到GB=CG；最后通过线段的和差关系，将CG替换为GB，整理即可得到三条线段的数量关系；
（3）先根据AD的长度与FD、FA的比例关系，求出AF和FD的长度；过点B作AD的垂线，结合折叠前后对应边相等与等腰三角形三线合一的性质，求出垂足分AF的线段长度，再用勾股定理求出垂线段的长度；最后利用三角形面积公式，以DF为底、垂线段为高，计算出△DFC的面积。
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