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广东省2026年初中学业水平考试数学模拟卷
1．下列四个数中，比一2小的数是(　　)
A．0 B．- 1 C． D．
2．线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位.如图是一个线锤，它的左视图为(　　)
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.5，下列说法正确的是(　　)
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中5次
D．小星定点投篮5次，一定投中1次
6． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别为边AB，AC的中点，连接DE，CD，若 则CD的长度为(　　)
A．3 B． C．3.5 D．4
7．数学文化《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金 设每头牛值x金，每只羊值y金，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
8．数学实践数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点D，交AB 于点C，测出AB=16cm，CD=4cm，则圆形工件的半径为(　　)
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-6，0)，点C的坐标为(0，3).以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'， 则点 B'的坐标为(　　)
A．(-6， - 3) B．(-6， 3)
C．(3， 6) D．(6， 3)
10．如图，正比例函数y1= mx，一次函数 和反比例函数 的图象在同一直角坐标系中，若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是 (　　)
A．x<-1 B．- 0.51
C．011．请写出一个只含字母x，y的五次单项式　 　
12． 计算 的结果等于　 　.
13．如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面AB与漏斗架CD平行.若∠1=76°， ∠2=120°， 则∠3的度数为　 　.
14．若关于x的不等式组 无解，则m的取值范围为　 　.
15． 如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF=AE，连接CF.若AC=6.5，BC=5， 则四边形EBFC的面积为　 　.
16． 计算：
17．最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活.小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的.在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：
地面所受压强p/Pa … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S/m2 … 1.2×10-2 6×10-3 4.8×10-3 …
（1）求地面所受压强p(Pa)关于接触面积， 的函数表达式；
（2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为 问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米
18．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
【实地测量】
（1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE=∠ACB.小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米.求旗杆的高度AB.
（2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C 和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE=1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH 与水平面平行.求旗杆的高度AB.
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作且CF=DE，连接AE， BF， EF.
（1）求证：
（2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE 的形状，并证明你的结论.
条件①：
条件②：AE=EF；
条件③： 连接AF，
(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分)
已知： ▲ .(填写序号)
20．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷(1人只能投1票)，共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人.如图是根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图.
请根据统计图回答下面的问题：
（1）调查总人数a=　 　.
（2）请补全条形统计图.
（3）若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人
（4）改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果(分数)如下：
项目小区 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以1∶1∶1∶1进行考核，　 　小区满意度(分数)更高；
若以1∶1∶2∶1进行考核，　 　小区满意度(分数)更高.
21．综合与实践
【主题】扇面制作.
【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格.某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示， 弦AB与 相切.
【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸
【任务】
（1）猜想与证明：猜想OD与OA 之间的数量关系，并证明.
（2）设计扇面： 若要求制作的扇面的宽 AD=BC=15cm.
①求要制作的扇面中弦AB的长.
②在⊙O1中能否设计出满足条件的扇面 若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面(标出相关角的度数，保留作图痕迹)；若不能，请说明理由.
22． 如图，在正方形ABCD中， 点E，F分别在AD， BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A 的对称点P落在CD上，B 的对称点为G，PG交BC于点H.
（1）求证：
（2）若点P为CD的中点，正方形ABCD的边长为2，求HP 的长；
（3）若四边形ABCD为矩形，连接BG，DC=2，点 P为CD的中点， 点H为BC的中点，求BG的长.
23．【问题背景】
已知抛物线 (a，k为常数，a>0))的顶点为 P，对称轴与x轴相交于点 D，点M(m，1)在抛物线上，m>1，O为坐标原点.
【构建联系】
（1）如图1，当a=1，抛物线与y轴交于点(0，-1)时，求该抛物线的顶点P 的坐标；
（2）如图2， 当 时，求a的值；
（3）【深入探究】
如图3，若N是抛物线上的点，且点N在第四象限， 点E在线段MN上，点F在线段DN上， 当DE+MF取得最小值为时，求a和k的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：由题意得＜-2，-2＜-1＜＜0，
故答案为：D
【分析】根据题意直接比较实数的大小，进而即可求解。
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得它是左视图为
故答案为：A
【分析】根据题意从组合体的左边看，进而即可得到其左视图。
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D 错误，
故答案为：B.
【分析】根据同类二次根式的性质即可判断A；根据二次根式的乘法即可判断B；根据二次根式的除法即可判断C；根据二次根式的性质即可判断D.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示：
，
故答案为：C．
【分析】根据不等式解集在数轴上表示的规则，大（小）于向右（左），包括界点用实心点，不包括界点用空心圈，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：用频率估计得到的概率0.5，仅表示大量重复试验中投中事件发生的可能性大小，不代表有限次试验中一定会出现对应结果。
投篮1次时，投中的可能性为50%，属于随机事件，不一定投中，因此A正确，B错误；
投篮10次或5次均属于有限次试验，投中次数是随机的，不一定恰好为5次或1次，因此C、D错误。
故答案为：A
【分析】本题考查概率的意义，核心是理解频率估计概率的内涵。解题时需明确，概率反映的是事件在大量重复试验中发生的规律性趋势，仅代表事件发生的可能性大小，不能保证有限次试验中一定会出现某种确定结果；单次试验的结果具有随机性，因此不能用“一定”描述有限次投篮的投中次数，据此逐一判断选项即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ，
∴BC=2DE=，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴，
∴AB=8，
∵CD为斜边上的中线，
∴CD=4，
故答案为：D
【分析】先根据三角形中位线定理得到BC=2DE=，进而根据余弦函数解直角三角形，从而求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，第一个等量关系：5头牛的总价加2只羊的总价等于10金，即；
第二个等量关系：2头牛的总价加5只羊的总价等于8金，即。
联立两个方程可得方程组。
故答案为：A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于古代数学问题的建模。解题时需先梳理题目中的两个等量关系，分别将牛的单价乘以数量、羊的单价乘以数量，相加后等于总价值，再将两个等量关系转化为对应的二元一次方程，联立后即可得到所求方程组。
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，∴直线CD必过圆心，设圆心为O，连接OB。
由垂径定理得，。
设圆形工件的半径为，则，。
在中，由勾股定理得：
，
即，
展开得，
化简得，解得。
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理在圆半径计算中的应用。解题时首先根据垂直平分线的性质确定CD经过圆心，结合垂径定理求出弦长一半BD的长度；再设半径为未知数，用半径表示出圆心到弦的距离OD，最后在直角三角形OBD中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到圆形工件的半径。
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴，，且。
矩形绕点O顺时针旋转90°后，，，且落在y轴正半轴上，垂直于y轴向右延伸。
因此点坐标为，点横坐标与长度相等为3，纵坐标与相同为6，即。
故答案为：C
【分析】本题考查坐标与图形的旋转变换，结合矩形的性质求解旋转后点的坐标。解题时先根据矩形的性质，由已知点坐标得出矩形的边长OA与AB的长度；再依据旋转的性质，确定旋转后对应边、的长度与位置，结合顺时针旋转90°后坐标轴方向的变化，推导出点的横、纵坐标数值。
10．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：的几何意义是：同一横坐标下，反比例函数图象位于正比例函数图象上方，且正比例函数图象位于一次函数图象上方。
观察函数图象，三个函数的交点横坐标分别为-1、0、1：
当时，反比例函数图象在最上方，正比例函数次之，一次函数在最下方，满足；
当时，正比例函数在最上方，不满足条件；
当时，反比例函数图象在最上方，正比例函数次之，一次函数在最下方，满足；
当时，一次函数在最上方，不满足条件。
综上，x的取值范围是或。
故答案为：D
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象交点问题，核心是利用数形结合判断函数值的大小关系。解题时需理解函数值大小关系对应的图象位置关系：函数值越大，对应图象在坐标系中位置越靠上。先找到三个函数图象的交点横坐标，以此为分界点将x轴分为多个区间，逐一判断每个区间内三个函数图象的上下位置关系，筛选出满足的区间即可。
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据单项式及单项式的次数的定义，即可得出答案（答案不唯一）。
12．【答案】3
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
对分子提取公因式得，约去分母的公因式（），结果为3。
故答案为：
【分析】本题考查同分母分式的减法运算与分式化简。解题时先依据同分母分式加减法则，保持分母不变，将两个分子相减；再对分子提取公因式，约去分子分母的公因式，将分式化为最简形式即可得到计算结果。
13．【答案】44°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
根据平行线的性质，等于与的和，即。
∴。
故答案为：
【分析】本题考查平行线的性质与角度计算。解题时利用AB与CD平行的条件，结合角的位置关系，可推出是由与组成的同位角之和，因此等于加；将已知角度代入等式，通过减法运算即可求出的度数。
14．【答案】m≥1
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：先解不等式，
两边除以2得，解得。
不等式组为，
若不等式组无解，说明两个不等式的解集没有公共部分，根据“大大小小无处找”的规律，可得。
故答案为：
【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的取值范围。解题时先求解第二个不等式，得到x的取值范围；再结合不等式组无解的条件，即两个解集无公共部分，依据一元一次不等式组解集的判断规律，确定参数m的取值边界，最终得到m的取值范围。
15．【答案】15
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作于M，于N，
∵，∴。
∵，∴，
∴，即BC平分。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，因此。
∵，，且，
∴。
∴。
设，则。
在和中，由勾股定理得：
，
代入得，
展开计算得，
整理得，解得。
则。
∴，
即四边形EBFC的面积为15
故答案为：
【分析】本题综合考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质与三角形面积计算。解题时首先通过等腰三角形等边对等角、平行线内错角相等的性质，推导出BC平分∠ABF；再利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到两个三角形的高相等，结合BF=AE的条件，证明△CBF与△ACE面积相等，进而将四边形面积转化为△ABC的面积；最后通过设未知数，利用勾股定理在两个直角三角形中表示公共高CM，列方程求出高的长度，代入三角形面积公式计算即可。
16．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，综合了绝对值化简、特殊角三角函数值、二次根式乘法运算以及零指数幂的性质。解题时先分别对每一项进行化简：先比较与3的大小，依据绝对值的代数意义去掉绝对值符号；代入45°角的正切值；按照二次根式乘法法则计算根式乘法并化为最简二次根式；根据非零数的零次幂等于1化简最后一项；再将所有化简后的项进行加减运算，合并同类二次根式后得到最终结果
17．【答案】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系.
设地面所受压强p(Pa)关于接触面积 S(m2)的函数表达式为
将(4×104， 1.2×10-2)代入入 得. .
∴地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2)的函数表达式为 .
（2）解：将 代入 时，
∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104 Pa|时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为
【知识点】反比例函数的实际应用；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表格数据可知压力一定时，压强与接触面积成反比例关系，因此设函数解析式为；选取表格中一组对应的P与S数值代入解析式，计算出比例系数F的值，即可确定压强关于接触面积的函数表达式；
（2）将玻璃通道能承受的最大压强代入已求得的反比例函数解析式，通过解分式方程求出对应的接触面积，该值即为满足压强要求的最小接触面积。
18．【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB， ∠DEC=∠ABC=90°，
∴AB=7.5.
答： 旗杆的高度AB为7.5米.
（2）解：∵DE， CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行，
∴∠CGD=∠AHD=90°， GF=BH=DE=1.5米.
∵∠CDG=∠ADH， ∴△CDG∽△ADH.∴
∵CG=CF-GF=4-1.5=2.5(米)， DG=EF=3米， DH=BF+EF=9+3=12(米)，
∴AB=AH+BH=10+1.5=11.5(米).
答：旗杆的高度AB为11.5米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）首先根据镜面反射的等角条件，结合人与旗杆均垂直于地面得到的两个直角，依据两角分别相等的两个三角形相似，证明；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段长度，通过计算求出旗杆AB的高度。
（2）先根据所有竖直线段均垂直于地面、DH平行于水平面的条件，构造出两个直角三角形，结合公共角证明；先计算出标杆高出人眼的长度CG，以及两个三角形对应的水平边长DG与DH，代入相似三角形的比例式求出AH的长度；最后将AH与人眼高度BH相加，得到旗杆AB的总高度。
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC.
∴∠ADB=∠DBC.
∵CF∥BD， ∴∠DBC=∠BCF.
∴∠ADB=∠BCF.
又∵DE=CF，
∴△ADE≌△BCF(SAS).
（2）解：① 结论：四边形ABFE 是矩形.
证明如下： ∵CF∥BD且CF=DE，
∴四边形 CDEF 是平行四边形.
∴EF∥CD， EF=CD.
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD.
∴AB∥EF， AB=EF.
∴四边形ABFE 是平行四边形.
∵AB∥EF， CF∥BD，
∴∠ABE=∠BEF=∠EFC.
∵∠BFC-∠ABE=90°，
∴∠BFC-∠EFC=90°，即∠BFE=90°.
∵四边形ABFE 是平行四边形，
∴四边形ABFE 是矩形.
(或② 结论：四边形ABFE 是菱形.
证明如下： ∵CF∥BD且CF=DE，
∴四边形 CDEF 是平行四边形.
∴EF∥CD， EF=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD.
∴AB∥EF， AB=EF.
∴四边形ABFE 是平行四边形.
∵AE=EF，
∴四边形ABFE 是菱形.
或③ 结论：四边形ABFE 是菱形.
证明如下： 如图. ∵CF∥BD且CF=DE，
∴四边形CDEF 是平行四边形.
∴EF∥CD， EF=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD.
∴AB∥EF， AB=EF.
∴四边形ABFE 是平行四边形.
∵AF⊥BD， ∴四边形ABFE 是菱形. ）
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形对边相等、内错角相等的性质，得到，；再结合CF平行于BD的条件，利用平行线内错角相等推出，通过等量代换得到；最后结合已知的条件，依据SAS判定定理证明与全等。
（2）先通过CF平行且等于DE，判定四边形CDEF是平行四边形，得到EF平行且等于CD；再结合平行四边形ABCD中AB平行且等于CD的性质，推导出AB平行且等于EF，先证出四边形ABFE是平行四边形，再结合所选条件进一步判定特殊形状：选条件①时，利用平行线的同位角相等，将∠ABE转化为∠EFC，通过角度差推出∠BFE为直角，依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论；选条件②时，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”直接判定；选条件③时，依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行判定。
20．【答案】（1）100
（2）解：100-17-13-40=30(人).
补全的条形统计图如图.
（3）解：(万人).
答：愿意改造“娱乐设施”的约有3万人.
（4）乙；甲
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
调查总人数人；
故答案为：100；
（4）若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高；
故答案为：乙；甲．
【分析】（1）首先从扇形统计图中获取健身设施人数所占的百分比，从条形统计图中获取选择健身设施的具体人数，用健身人数除以其对应的百分比，即可求出调查的总人数。
（2）用总人数依次减去休闲、儿童、健身三类的人数，计算出选择娱乐设施的人数，再根据计算结果补全条形统计图即可。
（3）先计算样本中愿意改造娱乐设施的人数占总调查人数的比例，再用城区总居民数乘以该比例，通过样本估计总体的方法，估算出城区愿意改造娱乐设施的人数。
（4）分别按照两种权重比例，计算甲、乙两个小区的加权平均分：权重为1：1：1：1时即计算算术平均数，权重为1：1：2：1时按权重比例计算加权和再除以权重总和，比较两个小区的得分高低即可得出结论。
21．【答案】（1）解：猜想：
证明如下：如图1，记弦AB与CD相切于点 M，连接OM，则OM⊥AB.
∴∠AMO=90°.
∵∠AOB=120°， OA=OB，
∴∠MAO=∠MBO=30°.
（2）解：①如图1， ∵OA=OB， OM⊥AB， ∴AM=BM.
由(1)知
∴在 Rt△AOM中，
②能，画图如图2、图3所示.(画法不唯一，正确画出一种即可)
【知识点】垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；尺规作图-垂线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）首先设弦AB与弧CD的切点为M，连接OM，根据圆的切线性质得到OM垂直于AB；再由、，结合等腰三角形性质求出底角；在直角三角形AOM中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到OM等于OA的一半，又因为OD与OM均为内弧的半径长度相等，通过等量代换即可证明OD与OA的数量关系。
（2）①先根据AD的长度结合（1）中半径的比例关系，求出OA的长度；再由垂径定理得到，在直角三角形AOM中利用勾股定理求出AM的长度，乘以2即可得到弦AB的总长。
②先计算出满足条件的扇面所需的最大尺寸，与卡纸圆的直径对比，判断是否可以容纳；作图时先确定圆心位置，利用量角器作出120°的圆心角，再分别以两个半径画弧，即可得到符合要求的扇面轮廓。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
由翻折，得∠EPG=∠A=90°.
∴∠CPH+∠EPD=90°.∴∠EPD=∠PHC.
又∠D=∠C， ∴△EDP∽△PCH.
（2）解：如图1， 设DE=x， 则AE=PE=2-x.
∵点P为CD的中点， CD=2， ∴PD=PC=1.
由 得. 解得
由(1)知△EDP∽△PCH.
即
（3）解：如图2， 延长AB，PG交于点M， 连接AP.
由翻折，得AE=EP.∴∠EAP=∠EPA.
∵∠EAB=∠EPG=90°，
∴∠MAP=∠MPA.∴MA=MP.
∵点P为CD的中点， ∴DP=CP=1.
由翻折，得PG=AB=CD=2.
∵点H为BC的中点，∴BH=CH.
∵∠BHM=∠CHP， ∠HBM=∠HCP，
∴△MBH≌△PCH(ASA).
∴BM=CP=1， HM=HP.
∴MP=MA=BM+AB=3.
在 Rt△PCH 中，
在 Rt△APD中，
由翻折，得AP⊥EF，BG⊥直线EF.
.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而根据正和岛的性质得到∠EPG=∠A=90°，从而等量代换，根据相似三角形的判定（AA）即可求解；
（2）设DE=x， 则AE=PE=2-x，根据中点结合勾股定理求出x，再根据相似三角形的性质得到，代入数值即可求解；
（3） 延长AB，PG交于点M， 连接AP，根据折叠得到AE=EP，再根据等腰三角形的性质结合题意等量代换得到∠MAP=∠MPA，根据折叠得到PG=AB=CD=2，进而根据题意等量代换，根据三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH(ASA)得到BM=CP=1， HM=HP，再结合勾股定理求出AP，根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数值即可求解。
23．【答案】（1）解：∵a=1， 抛物线与y轴交于点(0， -1)，
解得 k=-2.
∴该抛物线的解析式为
∴P(1， - 2).
（2）解：如图1， 过点M(m， 1)(m>1)作MH⊥x轴， 垂足为H， 则 OH=m.
在Rt△MOH中，
解得 (舍去).
∴点M 的坐标为( ， 1).
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
由题意， 得OD=1， ∠ODP=90°.
在Rt△OPD 中，
解得 (负值已舍去).
由a>0，得该抛物线的顶点 P 的坐标为
∴该抛物线的解析式为
∵点 在该抛物线上，
解得a=10.
（3）解：如图2， 过点M(m， 1)(m>1)作MH⊥x轴， 垂足为H， 则 OH=m.
∴DH=OH-OD=m-1.
∴在 Rt△DMH中，.
如图2，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则
∵∠MDN=90°，
∴∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH.
∵DM=DN， ∴△NDK≌△DMH(AAS).
∴DK=MH=1， NK=DH=m-1.
∴点N 的坐标为(2， 1-m).
在 Rt△DMN中， ∠ 12， 即
在△DMN的外部，作∠DNG=∠DME=45°，且.NG=DM，如图2， 连接GM， GF，则∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°.
易得△GNF≌△DME.∴GF=DE.
∴DE+MF=GF+MF≥GM.
当满足条件的点 F落在线段GM 上时，DE+MF取得最小值，即
在Rt△GMN中，(
∴(m-1)2+1=5.解得 (舍去).
∴点 M 的坐标为(3，1)，点 N 的坐标为(2，-2).
∵点 M(3， 1)， N(2， -2)都在抛物线. 上，
解得
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将与点代入抛物线顶点式解析式，通过解方程求出k的值，结合顶点式的顶点坐标规律，直接得到顶点P的坐标。
（2）先过点M作x轴的垂线，在直角三角形OMH中，利用OM的长度与M点纵坐标，由勾股定理求出m的值，得到M点坐标；再在直角三角形OPD中，由OP的长度与，用勾股定理求出顶点P的纵坐标，结合确定顶点坐标；最后将M点坐标代入含参数a的抛物线解析式，解方程求出a的值。
（3）先分别过M、N作x轴的垂线，通过角的互余关系证明，用m表示出N点的坐标；再由等腰直角三角形的性质得到，结合已知，推导出；通过构造全等三角形，将DE转化为GF，把转化为，利用两点之间线段最短确定最小值为GM的长度；结合最小值为，在直角三角形中列方程求出的值，进而求出m的值，得到M、N两点的坐标；最后将两点坐标代入抛物线顶点式，联立方程组求解即可得到a与k的值。
1 / 1广东省2026年初中学业水平考试数学模拟卷
1．下列四个数中，比一2小的数是(　　)
A．0 B．- 1 C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：由题意得＜-2，-2＜-1＜＜0，
故答案为：D
【分析】根据题意直接比较实数的大小，进而即可求解。
2．线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位.如图是一个线锤，它的左视图为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得它是左视图为
故答案为：A
【分析】根据题意从组合体的左边看，进而即可得到其左视图。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D 错误，
故答案为：B.
【分析】根据同类二次根式的性质即可判断A；根据二次根式的乘法即可判断B；根据二次根式的除法即可判断C；根据二次根式的性质即可判断D.
4．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示：
，
故答案为：C．
【分析】根据不等式解集在数轴上表示的规则，大（小）于向右（左），包括界点用实心点，不包括界点用空心圈，即可得出答案。
5．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.5，下列说法正确的是(　　)
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中5次
D．小星定点投篮5次，一定投中1次
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：用频率估计得到的概率0.5，仅表示大量重复试验中投中事件发生的可能性大小，不代表有限次试验中一定会出现对应结果。
投篮1次时，投中的可能性为50%，属于随机事件，不一定投中，因此A正确，B错误；
投篮10次或5次均属于有限次试验，投中次数是随机的，不一定恰好为5次或1次，因此C、D错误。
故答案为：A
【分析】本题考查概率的意义，核心是理解频率估计概率的内涵。解题时需明确，概率反映的是事件在大量重复试验中发生的规律性趋势，仅代表事件发生的可能性大小，不能保证有限次试验中一定会出现某种确定结果；单次试验的结果具有随机性，因此不能用“一定”描述有限次投篮的投中次数，据此逐一判断选项即可。
6． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别为边AB，AC的中点，连接DE，CD，若 则CD的长度为(　　)
A．3 B． C．3.5 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ，
∴BC=2DE=，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴，
∴AB=8，
∵CD为斜边上的中线，
∴CD=4，
故答案为：D
【分析】先根据三角形中位线定理得到BC=2DE=，进而根据余弦函数解直角三角形，从而求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
7．数学文化《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金 设每头牛值x金，每只羊值y金，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，第一个等量关系：5头牛的总价加2只羊的总价等于10金，即；
第二个等量关系：2头牛的总价加5只羊的总价等于8金，即。
联立两个方程可得方程组。
故答案为：A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于古代数学问题的建模。解题时需先梳理题目中的两个等量关系，分别将牛的单价乘以数量、羊的单价乘以数量，相加后等于总价值，再将两个等量关系转化为对应的二元一次方程，联立后即可得到所求方程组。
8．数学实践数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点D，交AB 于点C，测出AB=16cm，CD=4cm，则圆形工件的半径为(　　)
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，∴直线CD必过圆心，设圆心为O，连接OB。
由垂径定理得，。
设圆形工件的半径为，则，。
在中，由勾股定理得：
，
即，
展开得，
化简得，解得。
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理在圆半径计算中的应用。解题时首先根据垂直平分线的性质确定CD经过圆心，结合垂径定理求出弦长一半BD的长度；再设半径为未知数，用半径表示出圆心到弦的距离OD，最后在直角三角形OBD中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到圆形工件的半径。
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-6，0)，点C的坐标为(0，3).以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'， 则点 B'的坐标为(　　)
A．(-6， - 3) B．(-6， 3)
C．(3， 6) D．(6， 3)
【答案】C
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴，，且。
矩形绕点O顺时针旋转90°后，，，且落在y轴正半轴上，垂直于y轴向右延伸。
因此点坐标为，点横坐标与长度相等为3，纵坐标与相同为6，即。
故答案为：C
【分析】本题考查坐标与图形的旋转变换，结合矩形的性质求解旋转后点的坐标。解题时先根据矩形的性质，由已知点坐标得出矩形的边长OA与AB的长度；再依据旋转的性质，确定旋转后对应边、的长度与位置，结合顺时针旋转90°后坐标轴方向的变化，推导出点的横、纵坐标数值。
10．如图，正比例函数y1= mx，一次函数 和反比例函数 的图象在同一直角坐标系中，若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是 (　　)
A．x<-1 B．- 0.51
C．0【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：的几何意义是：同一横坐标下，反比例函数图象位于正比例函数图象上方，且正比例函数图象位于一次函数图象上方。
观察函数图象，三个函数的交点横坐标分别为-1、0、1：
当时，反比例函数图象在最上方，正比例函数次之，一次函数在最下方，满足；
当时，正比例函数在最上方，不满足条件；
当时，反比例函数图象在最上方，正比例函数次之，一次函数在最下方，满足；
当时，一次函数在最上方，不满足条件。
综上，x的取值范围是或。
故答案为：D
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象交点问题，核心是利用数形结合判断函数值的大小关系。解题时需理解函数值大小关系对应的图象位置关系：函数值越大，对应图象在坐标系中位置越靠上。先找到三个函数图象的交点横坐标，以此为分界点将x轴分为多个区间，逐一判断每个区间内三个函数图象的上下位置关系，筛选出满足的区间即可。
11．请写出一个只含字母x，y的五次单项式　 　
【答案】（答案不唯一）
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据单项式及单项式的次数的定义，即可得出答案（答案不唯一）。
12． 计算 的结果等于　 　.
【答案】3
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
对分子提取公因式得，约去分母的公因式（），结果为3。
故答案为：
【分析】本题考查同分母分式的减法运算与分式化简。解题时先依据同分母分式加减法则，保持分母不变，将两个分子相减；再对分子提取公因式，约去分子分母的公因式，将分式化为最简形式即可得到计算结果。
13．如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面AB与漏斗架CD平行.若∠1=76°， ∠2=120°， 则∠3的度数为　 　.
【答案】44°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
根据平行线的性质，等于与的和，即。
∴。
故答案为：
【分析】本题考查平行线的性质与角度计算。解题时利用AB与CD平行的条件，结合角的位置关系，可推出是由与组成的同位角之和，因此等于加；将已知角度代入等式，通过减法运算即可求出的度数。
14．若关于x的不等式组 无解，则m的取值范围为　 　.
【答案】m≥1
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：先解不等式，
两边除以2得，解得。
不等式组为，
若不等式组无解，说明两个不等式的解集没有公共部分，根据“大大小小无处找”的规律，可得。
故答案为：
【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的取值范围。解题时先求解第二个不等式，得到x的取值范围；再结合不等式组无解的条件，即两个解集无公共部分，依据一元一次不等式组解集的判断规律，确定参数m的取值边界，最终得到m的取值范围。
15． 如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF=AE，连接CF.若AC=6.5，BC=5， 则四边形EBFC的面积为　 　.
【答案】15
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作于M，于N，
∵，∴。
∵，∴，
∴，即BC平分。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，因此。
∵，，且，
∴。
∴。
设，则。
在和中，由勾股定理得：
，
代入得，
展开计算得，
整理得，解得。
则。
∴，
即四边形EBFC的面积为15
故答案为：
【分析】本题综合考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质与三角形面积计算。解题时首先通过等腰三角形等边对等角、平行线内错角相等的性质，推导出BC平分∠ABF；再利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到两个三角形的高相等，结合BF=AE的条件，证明△CBF与△ACE面积相等，进而将四边形面积转化为△ABC的面积；最后通过设未知数，利用勾股定理在两个直角三角形中表示公共高CM，列方程求出高的长度，代入三角形面积公式计算即可。
16． 计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，综合了绝对值化简、特殊角三角函数值、二次根式乘法运算以及零指数幂的性质。解题时先分别对每一项进行化简：先比较与3的大小，依据绝对值的代数意义去掉绝对值符号；代入45°角的正切值；按照二次根式乘法法则计算根式乘法并化为最简二次根式；根据非零数的零次幂等于1化简最后一项；再将所有化简后的项进行加减运算，合并同类二次根式后得到最终结果
17．最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活.小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的.在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：
地面所受压强p/Pa … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S/m2 … 1.2×10-2 6×10-3 4.8×10-3 …
（1）求地面所受压强p(Pa)关于接触面积， 的函数表达式；
（2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为 问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米
【答案】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系.
设地面所受压强p(Pa)关于接触面积 S(m2)的函数表达式为
将(4×104， 1.2×10-2)代入入 得. .
∴地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2)的函数表达式为 .
（2）解：将 代入 时，
∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104 Pa|时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为
【知识点】反比例函数的实际应用；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表格数据可知压力一定时，压强与接触面积成反比例关系，因此设函数解析式为；选取表格中一组对应的P与S数值代入解析式，计算出比例系数F的值，即可确定压强关于接触面积的函数表达式；
（2）将玻璃通道能承受的最大压强代入已求得的反比例函数解析式，通过解分式方程求出对应的接触面积，该值即为满足压强要求的最小接触面积。
18．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
【实地测量】
（1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE=∠ACB.小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米.求旗杆的高度AB.
（2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C 和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE=1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH 与水平面平行.求旗杆的高度AB.
【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB， ∠DEC=∠ABC=90°，
∴AB=7.5.
答： 旗杆的高度AB为7.5米.
（2）解：∵DE， CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行，
∴∠CGD=∠AHD=90°， GF=BH=DE=1.5米.
∵∠CDG=∠ADH， ∴△CDG∽△ADH.∴
∵CG=CF-GF=4-1.5=2.5(米)， DG=EF=3米， DH=BF+EF=9+3=12(米)，
∴AB=AH+BH=10+1.5=11.5(米).
答：旗杆的高度AB为11.5米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）首先根据镜面反射的等角条件，结合人与旗杆均垂直于地面得到的两个直角，依据两角分别相等的两个三角形相似，证明；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段长度，通过计算求出旗杆AB的高度。
（2）先根据所有竖直线段均垂直于地面、DH平行于水平面的条件，构造出两个直角三角形，结合公共角证明；先计算出标杆高出人眼的长度CG，以及两个三角形对应的水平边长DG与DH，代入相似三角形的比例式求出AH的长度；最后将AH与人眼高度BH相加，得到旗杆AB的总高度。
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作且CF=DE，连接AE， BF， EF.
（1）求证：
（2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE 的形状，并证明你的结论.
条件①：
条件②：AE=EF；
条件③： 连接AF，
(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分)
已知： ▲ .(填写序号)
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC.
∴∠ADB=∠DBC.
∵CF∥BD， ∴∠DBC=∠BCF.
∴∠ADB=∠BCF.
又∵DE=CF，
∴△ADE≌△BCF(SAS).
（2）解：① 结论：四边形ABFE 是矩形.
证明如下： ∵CF∥BD且CF=DE，
∴四边形 CDEF 是平行四边形.
∴EF∥CD， EF=CD.
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD.
∴AB∥EF， AB=EF.
∴四边形ABFE 是平行四边形.
∵AB∥EF， CF∥BD，
∴∠ABE=∠BEF=∠EFC.
∵∠BFC-∠ABE=90°，
∴∠BFC-∠EFC=90°，即∠BFE=90°.
∵四边形ABFE 是平行四边形，
∴四边形ABFE 是矩形.
(或② 结论：四边形ABFE 是菱形.
证明如下： ∵CF∥BD且CF=DE，
∴四边形 CDEF 是平行四边形.
∴EF∥CD， EF=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD.
∴AB∥EF， AB=EF.
∴四边形ABFE 是平行四边形.
∵AE=EF，
∴四边形ABFE 是菱形.
或③ 结论：四边形ABFE 是菱形.
证明如下： 如图. ∵CF∥BD且CF=DE，
∴四边形CDEF 是平行四边形.
∴EF∥CD， EF=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD.
∴AB∥EF， AB=EF.
∴四边形ABFE 是平行四边形.
∵AF⊥BD， ∴四边形ABFE 是菱形. ）
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形对边相等、内错角相等的性质，得到，；再结合CF平行于BD的条件，利用平行线内错角相等推出，通过等量代换得到；最后结合已知的条件，依据SAS判定定理证明与全等。
（2）先通过CF平行且等于DE，判定四边形CDEF是平行四边形，得到EF平行且等于CD；再结合平行四边形ABCD中AB平行且等于CD的性质，推导出AB平行且等于EF，先证出四边形ABFE是平行四边形，再结合所选条件进一步判定特殊形状：选条件①时，利用平行线的同位角相等，将∠ABE转化为∠EFC，通过角度差推出∠BFE为直角，依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论；选条件②时，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”直接判定；选条件③时，依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行判定。
20．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷(1人只能投1票)，共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人.如图是根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图.
请根据统计图回答下面的问题：
（1）调查总人数a=　 　.
（2）请补全条形统计图.
（3）若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人
（4）改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果(分数)如下：
项目小区 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以1∶1∶1∶1进行考核，　 　小区满意度(分数)更高；
若以1∶1∶2∶1进行考核，　 　小区满意度(分数)更高.
【答案】（1）100
（2）解：100-17-13-40=30(人).
补全的条形统计图如图.
（3）解：(万人).
答：愿意改造“娱乐设施”的约有3万人.
（4）乙；甲
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
调查总人数人；
故答案为：100；
（4）若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，
甲小区得分为，
乙小区得分为，
∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高；
故答案为：乙；甲．
【分析】（1）首先从扇形统计图中获取健身设施人数所占的百分比，从条形统计图中获取选择健身设施的具体人数，用健身人数除以其对应的百分比，即可求出调查的总人数。
（2）用总人数依次减去休闲、儿童、健身三类的人数，计算出选择娱乐设施的人数，再根据计算结果补全条形统计图即可。
（3）先计算样本中愿意改造娱乐设施的人数占总调查人数的比例，再用城区总居民数乘以该比例，通过样本估计总体的方法，估算出城区愿意改造娱乐设施的人数。
（4）分别按照两种权重比例，计算甲、乙两个小区的加权平均分：权重为1：1：1：1时即计算算术平均数，权重为1：1：2：1时按权重比例计算加权和再除以权重总和，比较两个小区的得分高低即可得出结论。
21．综合与实践
【主题】扇面制作.
【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格.某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示， 弦AB与 相切.
【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸
【任务】
（1）猜想与证明：猜想OD与OA 之间的数量关系，并证明.
（2）设计扇面： 若要求制作的扇面的宽 AD=BC=15cm.
①求要制作的扇面中弦AB的长.
②在⊙O1中能否设计出满足条件的扇面 若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面(标出相关角的度数，保留作图痕迹)；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：猜想：
证明如下：如图1，记弦AB与CD相切于点 M，连接OM，则OM⊥AB.
∴∠AMO=90°.
∵∠AOB=120°， OA=OB，
∴∠MAO=∠MBO=30°.
（2）解：①如图1， ∵OA=OB， OM⊥AB， ∴AM=BM.
由(1)知
∴在 Rt△AOM中，
②能，画图如图2、图3所示.(画法不唯一，正确画出一种即可)
【知识点】垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；尺规作图-垂线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）首先设弦AB与弧CD的切点为M，连接OM，根据圆的切线性质得到OM垂直于AB；再由、，结合等腰三角形性质求出底角；在直角三角形AOM中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到OM等于OA的一半，又因为OD与OM均为内弧的半径长度相等，通过等量代换即可证明OD与OA的数量关系。
（2）①先根据AD的长度结合（1）中半径的比例关系，求出OA的长度；再由垂径定理得到，在直角三角形AOM中利用勾股定理求出AM的长度，乘以2即可得到弦AB的总长。
②先计算出满足条件的扇面所需的最大尺寸，与卡纸圆的直径对比，判断是否可以容纳；作图时先确定圆心位置，利用量角器作出120°的圆心角，再分别以两个半径画弧，即可得到符合要求的扇面轮廓。
22． 如图，在正方形ABCD中， 点E，F分别在AD， BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A 的对称点P落在CD上，B 的对称点为G，PG交BC于点H.
（1）求证：
（2）若点P为CD的中点，正方形ABCD的边长为2，求HP 的长；
（3）若四边形ABCD为矩形，连接BG，DC=2，点 P为CD的中点， 点H为BC的中点，求BG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
由翻折，得∠EPG=∠A=90°.
∴∠CPH+∠EPD=90°.∴∠EPD=∠PHC.
又∠D=∠C， ∴△EDP∽△PCH.
（2）解：如图1， 设DE=x， 则AE=PE=2-x.
∵点P为CD的中点， CD=2， ∴PD=PC=1.
由 得. 解得
由(1)知△EDP∽△PCH.
即
（3）解：如图2， 延长AB，PG交于点M， 连接AP.
由翻折，得AE=EP.∴∠EAP=∠EPA.
∵∠EAB=∠EPG=90°，
∴∠MAP=∠MPA.∴MA=MP.
∵点P为CD的中点， ∴DP=CP=1.
由翻折，得PG=AB=CD=2.
∵点H为BC的中点，∴BH=CH.
∵∠BHM=∠CHP， ∠HBM=∠HCP，
∴△MBH≌△PCH(ASA).
∴BM=CP=1， HM=HP.
∴MP=MA=BM+AB=3.
在 Rt△PCH 中，
在 Rt△APD中，
由翻折，得AP⊥EF，BG⊥直线EF.
.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而根据正和岛的性质得到∠EPG=∠A=90°，从而等量代换，根据相似三角形的判定（AA）即可求解；
（2）设DE=x， 则AE=PE=2-x，根据中点结合勾股定理求出x，再根据相似三角形的性质得到，代入数值即可求解；
（3） 延长AB，PG交于点M， 连接AP，根据折叠得到AE=EP，再根据等腰三角形的性质结合题意等量代换得到∠MAP=∠MPA，根据折叠得到PG=AB=CD=2，进而根据题意等量代换，根据三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH(ASA)得到BM=CP=1， HM=HP，再结合勾股定理求出AP，根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数值即可求解。
23．【问题背景】
已知抛物线 (a，k为常数，a>0))的顶点为 P，对称轴与x轴相交于点 D，点M(m，1)在抛物线上，m>1，O为坐标原点.
【构建联系】
（1）如图1，当a=1，抛物线与y轴交于点(0，-1)时，求该抛物线的顶点P 的坐标；
（2）如图2， 当 时，求a的值；
（3）【深入探究】
如图3，若N是抛物线上的点，且点N在第四象限， 点E在线段MN上，点F在线段DN上， 当DE+MF取得最小值为时，求a和k的值.
【答案】（1）解：∵a=1， 抛物线与y轴交于点(0， -1)，
解得 k=-2.
∴该抛物线的解析式为
∴P(1， - 2).
（2）解：如图1， 过点M(m， 1)(m>1)作MH⊥x轴， 垂足为H， 则 OH=m.
在Rt△MOH中，
解得 (舍去).
∴点M 的坐标为( ， 1).
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
由题意， 得OD=1， ∠ODP=90°.
在Rt△OPD 中，
解得 (负值已舍去).
由a>0，得该抛物线的顶点 P 的坐标为
∴该抛物线的解析式为
∵点 在该抛物线上，
解得a=10.
（3）解：如图2， 过点M(m， 1)(m>1)作MH⊥x轴， 垂足为H， 则 OH=m.
∴DH=OH-OD=m-1.
∴在 Rt△DMH中，.
如图2，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则
∵∠MDN=90°，
∴∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH.
∵DM=DN， ∴△NDK≌△DMH(AAS).
∴DK=MH=1， NK=DH=m-1.
∴点N 的坐标为(2， 1-m).
在 Rt△DMN中， ∠ 12， 即
在△DMN的外部，作∠DNG=∠DME=45°，且.NG=DM，如图2， 连接GM， GF，则∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°.
易得△GNF≌△DME.∴GF=DE.
∴DE+MF=GF+MF≥GM.
当满足条件的点 F落在线段GM 上时，DE+MF取得最小值，即
在Rt△GMN中，(
∴(m-1)2+1=5.解得 (舍去).
∴点 M 的坐标为(3，1)，点 N 的坐标为(2，-2).
∵点 M(3， 1)， N(2， -2)都在抛物线. 上，
解得
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将与点代入抛物线顶点式解析式，通过解方程求出k的值，结合顶点式的顶点坐标规律，直接得到顶点P的坐标。
（2）先过点M作x轴的垂线，在直角三角形OMH中，利用OM的长度与M点纵坐标，由勾股定理求出m的值，得到M点坐标；再在直角三角形OPD中，由OP的长度与，用勾股定理求出顶点P的纵坐标，结合确定顶点坐标；最后将M点坐标代入含参数a的抛物线解析式，解方程求出a的值。
（3）先分别过M、N作x轴的垂线，通过角的互余关系证明，用m表示出N点的坐标；再由等腰直角三角形的性质得到，结合已知，推导出；通过构造全等三角形，将DE转化为GF，把转化为，利用两点之间线段最短确定最小值为GM的长度；结合最小值为，在直角三角形中列方程求出的值，进而求出m的值，得到M、N两点的坐标；最后将两点坐标代入抛物线顶点式，联立方程组求解即可得到a与k的值。
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