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福建省泉州市晋江市2026年春季期末教学质量监测 初二年数学科试卷
一、单选题
1．分式有意义时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．点P（﹣1，4）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（1，4）
4．在中，如果，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四边相等
6．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变
8．某校八年级学生去距学校10km的科技馆参观，一部分学生骑自行车，过了30min，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的4倍，设骑自行车学生的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当函数时，自变量x的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点是坐标原点，点是边上一点，点，都是轴上的动点，若点，（点在点的左侧），则最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知点，都在直线上，则，的大小关系是______．
12．在菱形中，对角线，，则菱形的周长为____________．
13．已知，则_______．
14．如图是函数的图象，则点的坐标是____________．
15．如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________．
16．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______．
三、解答题
17．解方程：．
18．先化简，再求值：，其中
19．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：．
20．如图，是菱形的对角线．

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
21．快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务质量等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；
乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7.9 8 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：______，______；比较大小：______（填“”“”或“”）；
(2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由（写出一条即可）；
(3)有200家网店店主对乙快递公司的配送速度进行评价，估计配送速度得分不小于8分的有多少个店主？
22．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在中，______．
求证：______．
证明：
23．在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点．
(1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式；
(2)当四边形是正方形时，求点的坐标．
24．如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使得点落在上，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点，如果，求的长．
(3)如图3，连接交于点，取的中点，连接，探究和的数量关系，说明理由；
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和．点是第四象限内一点，连接，过点作交直线于点，且，过点作轴，交轴于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求证：点的横坐标为一定值；
(3)如图2，过点作轴，连接，．若，，求点的坐标．
参考答案
1．A
【详解】解：根据题意，得：，
解得：．
故选：A．
2．C
【详解】解：
故选C．
3．A
【详解】试题解析：点A（-1，4）关于x轴对称的点的坐标是（-1，-4）．
故选A．
4．A
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
解得．
5．B
【详解】解：∵矩形的性质有：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的两条对角线相互平分且相等；③矩形的两组对角分别相等，矩形四个角都为直角；
菱形的性质有：①菱形的两组对边分别平行，菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线相互平分且垂直，菱形的每一对角线分别平分一组对角；③菱形的两组对角分别相等；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质为：对角线相等，
故选：B．
6．B
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B.
7．D
【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得：
，
∴分式的值不变．
8．A
【详解】解：由题意有，汽车的速度是，
则有：
故选：A.
9．C
【详解】解：由图象可知：当函数时，自变量x的取值范围为或；
故选C．
10．C
【详解】解：∵点，四边形为正方形，
∴点，，，
∵为定值，
∴要使最小，只需要使最小，
将点向右平移个单位，得到点，则轴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
作点关于轴的对称点，则，
根据轴对称的性质可得，
∴，
根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴点的坐标为，
∴点的横坐标为，
∴最小时，点的坐标是．
11．
【详解】解：，
随x的增大而增大，
又点，都在直线上，且，
．
故答案为：．
12．20
【详解】解：如图：在菱形中，对角线，，令对角线、相交于点，
，
则，，，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
14．
【详解】解：由图象可知：点是函数增减性的转折点，
点的横坐标是4，
当时，则
∴．
故答案为：．
15．
【详解】解：根据函数图象可知，
函数和的图象交于点P的坐标是，
故方程组的解是，
故答案为：．
16．4
【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又，
∴，
设，而，
∴的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得．
17．
【详解】解：方程左右同乘，得
，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
18．，
【详解】解：
当时，原式．
19．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【详解】略
20．(1)
如图，为所求：

(2)
【详解】（1）略
（2）解：连接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
21．(1)；；
(2)甲公司，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：将甲数据从小到大排列为：6、6、7、7、8、8、9、9、9、10，其中出现的次数最多，故；
，
，
，
故；
（2）解：小刘应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，
服务质量方面，二者的平均数相同，但甲的方差明显小于乙，说明甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司；
（3）解：（个）
估计配送速度得分不小于8分的有个店主．
22．
解：已知：如图，在中，点、分别是、的中点，是边上的中线．
求证：与互相平分．
证明：如图，连接、，
是边上的中线，
点是的中点，
点、分别是、的中点，
、是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
【详解】略
23．(1)点的坐标为，直线：
(2)
【详解】（1）如图所示，过点C作于点D
∵当点的横坐标为时，
∴
∴，
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴
∴点C的横坐标为
∴点的坐标为；
设所占直线表达式为
∵，
∴
解得
∴
∵
∴设直线的表达式为
将代入得，
解得
∴直线的表达式为；
（2）如图所示，当四边形是正方形时，
设
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴
∵四边形是正方形
∴是等腰直角三角形
∵轴
∴点P和点C关于对称
∴
∵点在反比例函数（）的图像上
∴
解得或（舍去）
∴．
24．(1)证明：∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，
∴，，
∴，，
∴，即．
(2)
(3)解：，理由如下，
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由（2）可知，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【详解】（1）证明：略
（2）解：如图，过点作于，
∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴
（3）解：略
25．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把点和的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，延长交于点，
轴，
，
，
，
，
，
,
，
在和中，，
，
，
设点的坐标为，点的横坐标为，
，，，
，，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是；
（3）解：如下图所示，延长、交于点，过点作轴于点，连接、，
设点的坐标为，
点的横坐标是，
点的坐标是，
，
过点作，
则四边形为矩形，
，
轴，轴，
，
，
在和中，，
，
，
又，
是的垂直平分线，
，
，
，，
延长交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
过点作于点，
在和中，，
，
，，
，
，
在中，，
，，
是的垂直平分线，
，
可得：，
解得：，
，
点的坐标是．

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