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第2章《有理数》暑假单元自测卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．2026年3月16日，国家统计局新闻发言人在国新办新闻发布会上介绍，月份我国货物进出口总额77321亿元，同比增长．数据“77321亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（ ）
A．10.1千克 B．9.7千克 C．11.2千克 D．9.2千克
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．，，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，式子的化简结果为（ ）
A． B．b C． D．
7．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（ ）
A． B． C． D．
8．有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（）
A． B．0或1 C． D．或
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．3.5的倒数是_______．
10．甲、乙两支同样的温度计按如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数正对着乙温度计的度数，那么此时甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是______．
11．游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________
12．如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____．
13．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合．
14．如图，一个的正方形网格中每个单元格中刚开始都写有数字0，之后每变化一次，其中的小正方形中的4个数字都减少1，该过程重复多次，最终得到第二张图片的形状，但有些数字被覆盖了，则表示的数字是______．
0 0 0
0 0 0
0 0 0
15．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________．
16．进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一，一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：（）．例如：十进制数可以表示为，即；二进制数可以表示为，即．请将十进制数89转换为二进制数为______．
三、解答题（共68分）
17．把下列各数填到相应的集合中．
1，，0，，，，，（每2个1之间增加1个0）．
正数集合：{________…}；负数集合：{________…}；
整数集合：{________…}；有理数集合：{________…}
18．计算：
(1) (2)
19．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”连接：
，，0，，．
20．已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
21．探索发现：；；
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)___________，___________；
(2)类比上述规律计算下列式子：．
22．国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内某品牌专卖店所有商品按标价的八折出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按表获得相应的返还金额．
消费金额（元） 小于或等于元 大于且小于或等于 大于且小于或等于 以上（不含）
返还金额（元）
根据上述促销方案，顾客在该专卖店购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为元的商品，则消费金额为元，获得的优惠额为（元）．
(1)购买一件标价为元的商品，顾客获得的优惠额是多少元？
(2)若顾客在该商场第一次购买一件标价元的商品后，第二次又购买了一件标价为元的商品，两件商品的优惠额共为元，求这名顾客第一次购买商品的标价．
23．【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．
一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】
（1）直接写出计算结果：________，________；
（2）关于“除方”，下列说法错误的是（ ）．
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．对于任何正整数，
C．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？
例如：．（幂的形式）
（3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式．
________；________；________；________．（为大于2的整数）
（4）算一算：．
24．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，
(1)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索：
①若，则________．
②的最小值为________．
(2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当为多少秒时，，两点之间的距离为2？
25．扬州，这座自古令人向往的“好地方”，如今正以历史与现代交融的崭新面貌迎接八方来客．扬州的商圈，就像一座融合了烟火气与便捷感的宝藏天地！扬州某商场停车场为24小时营业，停车实行计时收费，小型车收费标准为：
停车时段 收费方式
白天（08:00-20:00） 4元/首小时，首小时后1元/小时
夜间（20:00-08:00） 2元/首小时，首小时后1元/小时
备注 1．收费计时单位为1小时，不足1小时的，按1小时收费； 2．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费．
(1)①若某日黄老师10:00进场停车，11:36离场，则需付停车费________元；
②若某日黄老师12:00进场停车，21:46离场，则需付停车费________元；
(2)若某日黄老师10:00进场停车，停了小时后离场（为整数），且离场时间介于当日的21:00-24:00间，则他此次停车的费用为多少元？（用含的代数式表示）
(3)若某次黄老师在该停车场停车费用为7元，其中白天时段停车小时，夜间时段停车小时（，均为非负整数），请直接写出所有符合条件的、的值．
26．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数．
(1) ， ， ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合；
(3)如果点P表示的数为x，当时， ；
(4)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒钟．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
参考答案
一、单项选择题
1.D
解：∵根据有理数大小比较法则，所有负数小于0，0小于正数
∴排除正数A选项的和C选项的，只需比较两个负数和
∵，，且
∴
可得四个数大小关系为
∴最小的数是．
2．C
解：∵亿，
∴亿用科学记数法表示为．
3．A
解：∵面粉的质量标识为千克，
∴合格面粉的最大质量为千克，
合格面粉的最小质量为千克，
即合格质量的范围是9.8千克面粉质量 10.2 千克，
∵，其余选项质量均不在该范围内，
∴10.1千克的面粉合格．
4．A
解：由数轴可得：，，，
故结论正确的为．
5．D
解：，或；
又，
当时，；
当时，；
的值为或．
故选：D．
6．A
解：由数轴上点的位置得：，，
∴，
则
．
故选：A．
7．A
解：第次输出的结果为：，
第次输出的结果为：，
第次输出的结果为：，
第次输出的结果为：，
第次输出的结果为：，
第次输出的结果为：，
，
从第次开始，以，依次循环，
因为，
所以第次输出的结果为．
故选：A．
8．D
解：∵，
∴，
∴，
设，
∵有理数a，b，c均不为0，且，
∴a，b，c不能全正或全负，
当为两正一负时，则三个结果中有两个1，一个，
∴；
当为两负一正时，则三个结果中有一个1，两个，
∴；
∴s的值为1或，
∴当时，；当时，；
∴x的值可能为1或，
当时，；
当时，．
∴代数式的值为或．
故选D．
二、填空题
9．
解：，且，
的倒数是．
10．
解：根据题意，从度数移动到度数，则移动了个单位长度，
∵度数正对着乙温度计的度数，
∴甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是，
故答案为：．
11．或或
解：由图可得，符合规则的算式为或或，
故答案为：或或．
12．或3
解：设点A的对应点为，分两种情况：
当点在点B左侧时，点表示的数为：，
点A表示的数为8，
点表示的数为：；
当点在点B右侧时，点表示的数为：，
点A表示的数为8，
点表示的数为：；
综上可知，点表示的数为或3，
故答案为：或3．
13．
解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合，
数轴上表示的点与圆上表示的点重合，
数轴上表示的点与圆上表示的点重合，
数轴上表示的点与圆上表示的点重合，
数轴上表示的点与圆上表示的点重合，
数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合，
，
表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数，
数轴上表示的数与圆上表示的点重合．
故答案为：．
14．
解：由题意可知，第一行中间格属于左上的小正方形，也属于右上的小正方形，
则第一行中间格的数字为左上和右上正方形的变化次数之和，
第三行第一个格和第三个格分别为左下的小正方形和右下的小正方形独有，
则第三行第一个格的数字为左下正方形的变化次数，第三行第三个格的数字为右下正方形的变化次数，
正中间的格子为的小正方形都包含，
则正中间的格子的数字为左上、右上、左下、右下的变化数之和，
即，
故答案为：．
15．
解：设，
则，
两式相减得：，
即，
所以，
故答案为：．
16．
解：
将余数从下往上排列，得到二进制数．
故答案为：．
三、解答题
17．解：正数集合：{1，，（每2个1之间增加1个0）…}；
负数集合：{，，，…}；
整数集合：{1，0，，…}；
有理数集合：{1，，0，，，…}
18．（1）解：
；
（2）解：
．
19．解：、，
在数轴上画出表示下列各数的点，如图所示：
．
20．（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
当，时，；
当，时，；
综上，的值为或；
（2）解：∵，，，
∴，
∴或，
∴，或，，
∴或，
∴的值或．
21.（1）解：观察上述规律，
，
，
故答案为：；．
（2）解：对原式进行变形化简如下，
22．（1）解：（元），
答：获得的优惠额是元；
（2）解：当时，，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，，
解得，符合题意；
答：这名顾客第一次购买商品的标价为元．
23．解：（1），
，
故答案为：，4；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于两个相等的数相除，商为1，说法正确，不合题意；
B．对于任何正整数，，说法正确，不合题意；
C．，，，说法错误，符合题意；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不合题意；
故选：C；
（3）；
；
；
（为大于2的整数）；
故答案为：，，，；
（4）由可得，，
∴．
24．（1）解：①∵，
∴，
∴或5．
故答案为：11或5；
②根据题意可得，表示数轴上表示有理数的点到表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点到表示有理数8的点之间的距离的和，
∴的最小值为．
故答案为：22；
（2）解：设经过秒时，，两点之间的距离为2，
此时点表示的数是，
则，
可得，
解得或5，
故当为3秒或5秒时，，两点之间的距离为2．
25．（1）解：①10:00进场停车，11:36离场，
在白天时段，时长1小时36分钟，按2小时收费．
需付停车费：（元）．
故答案为：5．
②12:00进场停车，21:46离场，
在白天时间停了8小时；夜间时段停了1小时46分钟，夜间按2小时收费．
需付停车费：（元）．
故答案为：14．
（2）10:00进场停车，21:00-24:00离场，
在白天时间停了10小时；夜间时段停了．
需付停车费：．
（3）当时，白天没有停车费用，则夜间停车费为7元，
．
当时，白天停车费为4元，则夜间停车费为3元，
．
当时，白天停车费为5元，则夜间停车费为2元，
．
当时，白天停车费为6元，则夜间停车费为1元，
根据夜间收费规则，首小时2元，之后1元/小时，停车费不可能为1元，故此种情况不成立．
当时，白天停车费为7元，则夜间停车费为0元，
．
综上所述，，或，或，或，．
26．（1）解：∵满足与互为相反数，
，
，
，
∵是最大的负整数，
，
故答案为：．
（2）解：当与5重合时，折叠点是，
∴与点重合的点表示的数为：．
故答案为：3．
（3）解：如果点P表示的数为x，
则，
当时，，
解得：或．
（4）解：的值不会随着时间的变化而改变，
秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，
．

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