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第3章《代数式》暑假单元自测卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．下列各组代数式中，属于同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．1分钟跳绳练习时，小王前两次的平均成绩是下，第三次成绩比前两次的平均数高9下．小王这三次跳绳的平均成绩是（ ）下．
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
5．下列结论正确的是（ ）
A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6
C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式
6．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（ ）
A． B． C． D．
7．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ）
A． B． C． D．
8．有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（ ）．
A． B．0或1 C． D．或
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．化简的结果是________．
10．已知 ，则_______．
11．妈妈让小明去市场买椰子，每个椰子单价为元，买了个椰子，小明身上还剩余元，用含的代数式表示小明一共带的钱数为__________元．
12．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______．
13．“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________．
14．已知，．若的值与x的取值无关，则___．
15．现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______．
16．如表，从左到右在每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都等于2025．
… … …
则________ ．
三、解答题（共68分）
17．化简：
(1)； (2)．
18．先化简，再求值： ，其中x，y满足．
19．当时，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
20．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
(1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0．
(2)化简：．
21．仔细观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
(1)按照以上规律，写出第个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式：_________（用含n的式子表示）；
(3)运用你所学的乘法公式，证明第个等式的正确性．
22．从2021年开始，某市中考总分要加大体育分值，实验学校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批足球和跳绳，在查阅网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）．
(1)若在A网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；
(2)若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
23．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
24．【教材呈现】
在苏科版七年级上册95页有这样的一道探究题，从1-9这9个数字中任选两个数字，分别用，表示，由，可以组成两个两位数．如果将这两个两位数相减，你有什么发现？
聪明的小正发现它们的差能被9整除．
（1）若用表示十位上的数，表示个位上的数，则这个两位数可以表示为_______；
（2）在（1）的条件下，你能说明小正的想法是正确的吗？
【迁移尝试】
（3）当五位数能被9整除时，________；
【拓展应用】
（4）判断能否被9整除，请说明理由．
25．如图①，用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
(1)图①中的格点多边形，其内部都只有一个格点．这些格点多边形的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如下表，请填写下表并写出S与x之间的关系式：S=________________．
格点多边形的序号 a b c d …
格点多边形的面积S 2 ________ 3 ________ …
各边上格点的个数和x 4 5 6 ________ …
(2)请画些格点多边形，使这些格点多边形内部都有而且只有2个格点．此时所画的各个格点多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是________．
(3)请继续探索，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式：________________．（用含有字母x，n的代数式表示）
如图②，对等边三角形网格中的类似问题进行探究：等边三角形网格中每个小等边三角形的面积为1，小等边三角形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．
(4)设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式：_______________________．（用含有字母x，n的代数式表示）
26．材料一：若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为a、b、c，则通常记这个三位数为，即三位数．
材料二：试说明当能被3整除时，三位数能被3整除．
解：因为能被3整除，可设（其中k为正整数），
因为
所以一定能被3整除．
【概念理解】
（1）三位数235_____________被3整除．（填“能”或“不能”）
【及时应用】
（2）已知一个三位数能被3整除，若是一个不大于500的数，则这个三位数为_____________．
【类比探究】
（3）当一个三位数能被7整除时，a、b、c应满足什么条件，试说明理由．
【解决问题】
（4）已知一个三位数，满足，且能被5和7整除，则这个三位数是_____________．
参考答案
一、单项选择题
1．B
解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等，
∴不是同类项，不符合题意；
B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义，
∴是同类项，符合题意；
C、只含字母，含字母和，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意；
D、含字母，含字母，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意．
2．D
解：∵小王前两次的平均成绩是下，
∴前两次跳绳的总成绩为下，
∵第三次成绩比前两次的平均数高下，
∴第三次跳绳的成绩为下，
∴三次跳绳的总成绩为下，
∴三次的平均成绩为下．
3．B
解：选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误；
选项B中，根据合并同类项法则，，运算正确，∴B正确；
选项C中，根据去括号法则，，∴C错误；
选项D中，根据去括号法则，，∴D错误.
4．D
解：∵，
∴，
∴
．
5．D
解：A、单项式的系数是，不是，结论错误；
B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误；
C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误；
D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确．
6．B
解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个．
∴第个图中圆点的个数为．
当时，圆点个数为．
7．B
解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为……
∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为．
∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为……
∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为．
综上，第n个多项式为．
8．D
解：∵，且，，均不为，
∴，，，
代入的表达式得： ，
∵，，，均不为，
∴，，不可能全为正，也不可能全为负，只有两种情况：
① 当，，为两正一负时，，，的结果为两个，一个，和为，
∴，
代入得；
② 当，，为两负一正时，，，的结果为两个，一个，和为，
∴，
代入得；
∴代数式的值为或．
二、填空题
9．
解：原式．
10．
解： ，，且
，
解得，
．
11．
解：每个椰子单价为元，购买个椰子的总花费为元，
小明剩余钱数为元，
一共带的钱数为总花费加剩余钱数，
可得代数式为.
12．
解：∵，，
∴，
∴
．
13．
解：设中心格内的数为，
∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，
∴幻和为，
∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为，
设第一行第三列的数为，则，
解得；
设第三行第三列的数为，则，即，
解得，
又∵主对角线上的数之和为，
∴，即，
∴，
∴．
14．1
解：
，
因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得
，，
解得，，
则．
15．
解：根据题意，得1，，4，，16，，……，
其规律是，，，
，，，
故第n个数为，
由三张卡片上的数字乘积为，
故三数之和的最大值为；
由三张卡片上的数字乘积为，
故三数之和的最小值为；
故
16．676
解：由题意，任意三个相邻格子之和为2025，
因此对于任意i，有，
故，序列周期为3．
由，得；由，得；
由，得．
由于，即，
整理得，
解得．
因此，，．
，
故．
故答案为：676．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．解：
∵
∴
∴
∴原式．
19．（1）解：当时，
原式
；
（2）解：当时，
原式
；
20．（1）解：观察数轴，得，
∴，，；
（2）解：由（1）得，，；
．
21．（1）解：∵第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
∴第个等式：；
（2）解：由题意可得：
第 个等式：；
（3）证明：左边右边，
∴ 等式成立．
22．（1）解：由A网店的优惠方案得，
买60个足球，x条跳绳（）的总费用为：
（元），
由B网店的优惠方案得，
买60个足球，x条跳绳（）的总费用为：
（元）．
（2）解：当时，
（元），
（元），
∵，
∴到A网店购买比较合算；
（3）解：先到A网店买60个足球，获赠60条跳绳，
再到B网店购买条跳绳所用的总费用为：
（元），
∵，
∴先到A网店买60个足球，再到B网店购买40条跳绳更为合算，此时付款9480元．
23．（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关，
，
，
解得：．
（2）解：设，
由图可知：，
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
含x项的系数为0，
即，
．
24．（1）解：若用表示十位上的数，表示个位上的数，则这个两位数可以表示为，
故答案为：；
（2）解：
，
∵是9的倍数，
∴差能被9整除．
（3）解：∵，五位数能被9整除，
∴能整除，
∴或，
故答案为或；
（4）解：能被9整除，理由如下：
，
∴能被9整除．
25．（1）解：填表如下：
多边形的序号 ① ② ③ ④ …
多边形的面积S 2 2.5 3 4 …
各边上格点的个数和x 4 5 6 8 …
∵①各边上格点个数和为：4，，
②各边上格点个数和为：5，，
③各边上格点个数和为：6，，
④各边上格点个数和为：8，，
∴；
故答案为：；
（2）解：由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，
⑤的各边上格点的个数为4，面积为3，
⑥的各边上格点的个数为10，面积为6，
∴；
故答案为：；
（3）解：由图1可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：；
故答案为：；
（4）解：由图2可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：．
故答案为：．
26．解：（1）∵ ，10不能被3整除，
∴235不能被3整除，
故答案为：不能；
（2）∵
因为能被3整除，所以能被3整除，
设（k为正整数），则
∵，
∴，
∴，
∴，
因为均是百位数字，
∴，，，
则，这个三位数是111；
故答案为：111；
（3）
因为一定能被7整除，
所以，能被7整除的条件是能被7整除；
（4）∵，且能被5和7整除，
∴或5；
当时，，即，
∴则这个三位数是，
又这个数能被7整除，
∴能被7整除，
∴，
此时，三位数是560；
当时，，即，
∴，
∴三位数为，
∴能被7整除，
∴，
∴这个三位数是735．
所以，符合条件的三位数是560和735．
故答案为：560和735．

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