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第4章《一元一次方程》暑假单元自测卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．下面关于等式性质的运用，正确的式子是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
2．下列各方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是关于的方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（ ）
A．21 B．54 C．65 D．75
6．我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（ ）
A．1 B．- C．3 D．
7．2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表：
队伍 场次 胜 平 负 积分
南通队 12 10 2 0 32
泰州队 12 4 18
泰州队一共胜了（ ）场．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（ ）
A．12 B． C．20 D．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9．若，则代数式的值为_________．
10．若关于的方程的解是，则的值为______．
11．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________．
12．如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______．
13．用*定义一种新运算：对于任意有理数m和n，．如：．若，则x的值为_________．
14．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ．
15．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________．
16．已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______．
三、解答题（共68分）
17．解下列方程．
(1)； (2)
18．若关于的方程是一元一次方程．
(1)求的值；
(2)解这个一元一次方程．
19．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： 解：去分母，得： 第一步 去括号，得： 第二步 移项，得： 第三步 合并同类项，得： 第四步 系数化为1，得： 第五步
任务一：请从下列选项中选择第一步的依据（ ）
A．等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式．
B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．
任务二：①以上求解步骤中，第___________步开始出错；
②直接写出该方程正确的解___________．
任务三：结合上述解方程的经验，写出一条能帮助减少解题错误的注意事项．
20．常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？
21．数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法：
A方法：每张纸板裁成6个侧面；
B方法：每张纸板裁成9个底面．
同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法．
(1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）；
(2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数．
22．我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠．
(1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？
(2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？
23．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”．
(1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______．
(2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值．
(3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值．
24．为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表：
收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨）
第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80
第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50
第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90
设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题：
(1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元；
(2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？
(3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？
25．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值；
(2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________．
26．两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上．
(1)长方形的面积是 ．
(2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数．
(3)若长方形分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t．
①在整个运动过程中，S的最大值是 ，持续时间是 ；
②当S是长方形面积一半时，求t的值．
参考答案
一、单项选择题
1．B
解：A、当时，，，则，故选项不符合题意；
B、当时，，故选项符合题意；
C、当时，，，则，故选项不符合题意；
D、如果，当时，，故选项不符合题意；
2．D
解：A． 含有两个未知数，是二元一次方程，不符合一元一次方程定义，故A错误；
B． 中未知数的最高次数为2，是一元二次方程，不符合定义，故B错误；
C． 分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故C错误；
D． 只含有一个未知数，未知数的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，故D正确．
3．A
解：∵设有客人，鹿的总数量不变
每人分只多只，可得鹿的总数量为
每人分只少只，可得鹿的总数量为
∴根据鹿的总数相等，可列方程
4．D
解：∵是方程的一个解，
∴将代入方程得：，
即，
∴；
故选D．
5．B
解：设中间的一个数为，则上面的一个数为，下面的一个数为，三个数的和为，
当时，，此时7上方没有数字，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，此时25下方没有数字，不符合题意；
故选B．
6．C
解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：，
，
，
，
，
，
，
．
7．A
解：设泰州队一共胜了场．
∵每队总场次为场，泰州队负场，
∴平的场数为．
根据题意列方程得：，
整理得：，
解得：，
∴泰州队一共胜了场．
8．B
解：解方程得．
∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”，
∴对于所有有理数，方程的解均为．
将代入方程：，
化简得：，
两边同乘6：，
即：，
移项：，
整理：，
∵该式对任意有理数恒成立，
∴且，
解得：，，
∴．
故选：B．
二、填空题
9．2
解：
可得：
等式两边同乘得：
将代入得：
原式．
10．
解：∵关于的方程的解是，
∴，
∴．
11．
解：设该队胜了场，则负了场，
胜场得分为分，负场得分为分，
故可列方程为．
12．7
解：解方程得
因为两个方程的解相同，将代入得
解得
13．3
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
已知关于的一元一次方程的解为，
，
则
移项，得，
，
解得，
则关于y的一元一次方程的解为．
故答案为：．
15．2
解：根据题意可得，如图，
，
解得，
故答案为：2．
16．4或36
解：设线段运动的时间为t秒，以点A为原点，建立数轴，各点初始位置为：
点A、点表示0，点、点B表示12，点C表示，
根据运动速度和方向，t秒后各点在数轴上的位置为：
点C：，点M：，
∵点N是线段的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，，
已知，
代入得方程：；
分情况讨论：
情况1：，
解得；
情况2：，
解得；
线段运动的时间是4秒或36秒，
故答案为：4或36．
三、解答题
17．（1）解：
去括号：
移项合并同类项：
化系数为1：
（2）解：
去分母：
去括号：
移项，合并同类项：
化系数为1：
18．（1）解：根据题意可知，且，
由得：或，
，即，
∴；
（2）解：∵，
∴原方程为，
移项，得，
解得：．
19．解：任务一：第一步是去分母，
依据是B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．
故选：B．
任务二：①以上求解步骤中，第三步开始出错，
移项时应变号，为；
故答案为：三；
②解方程：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
故答案为：．
任务三：解方程时移项要变号．
20．解：设常泰长江大桥的跨江段全长是千米．
根据题意，轿车比货车少用分钟，可列方程：，
方程两边同时乘以得：，
合并同类项得：；
答：常泰长江大桥的跨江段全长是千米．
21．（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面，
∴一共可裁剪出侧面个，底面个；
（2）解：根据题意得，
解得
∴
答：的值为7时，可以制作9个盒子．
22．（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠，
因为团体购票需要10人以上（含10人），
则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票，
需付款（元）；
方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票，
需付款（元）；
方案三：8位家长和4位学生购买团体票，
需付款（元）；
，
所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠；
（2）解：设学生有x人，非学生游客有人，
即，
解得，
，
答：学生14人，非学生游客16人．
23．（1）解：∵方程与方程互为“友好方程”，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵与方程互为“友好方程”，
∴，
∴，
∴；
（3）解：方程的“友好方程”为，
解得：，
解得：，
∵与其“友好方程”的解都是整数，
∴与都是整数，
∴既是5的倍数，也是5的因数，
∴．
∴或．
24．（1）解：由题意得：若，则应缴水费元，
若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元；
若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元，
故答案为：28，，；
（2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元，
若用水量在第二阶梯，则收费最多为元，
因为该用户11月份的水费是元，
所以用水量在第二阶梯，
则，
解得：，
所以该用户11月份水资源费为元；
（3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨，
若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯，
由题意得：，
解得：，
与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在；
若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯，
由题意得：，
解得：，
则，
答：5月份用水20吨，6月份用水30吨
25．（1）解：解，得
，
解，得
，
∵关于x的方程与方程是“平衡方程”，
∴，
解得．
答：m的值为6；
（2）解：∵“平衡方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为，
∵“平衡方程”的两个解的差为6，
∴，
即，
∴或，
解得或．
（3）解：解方程，得
∵关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，
∴方程的解满足：
，
方程，可变形为：
，
对比方程与变形后的方程，得
，
即，
解得．
26．（1）解：由图形可得：，，
两个完全相同的长方形、，
，
长方形的面积是；
故答案为：12；
（2）设点P在数轴上表示的数是x，
则，，
因为，
所以，
解得，
答：点P在数轴上表示的数是；
（3）①整个运动过程中，S的最大值是，
当点B与F重合时，，解得：，
当点A与E重合时，，解得：，
，
整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是秒；
②由题意知移动t秒后，
情况一：当点B在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6，
此时，
解得，
情况二：当点A在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6，
此时，
解得，
综上所述，当S是长方形面积一半时，或．

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