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2.3《绝对值与相反数》暑假预习
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，则为负数 B．一定是正数
C．若，则 D．若，则是正数
5．若，，且，那么的值是（ ）
A．4或2 B．或 C．4或 D．或2
6．若，则（ ）
A． B．2 C． D．10
7．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
9．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（ ）
A．a B． C．b D．
10．已知互为相反数，且，则的值为（　　）
A．1.5或4.5 B．2或3 C．1.5或4 D．2或4
二、填空题
11．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）．
12．比较大小：___________（填“”、“”或“”）．
13．化简：_______．
14．数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则点和点 所表示的数分别是____ 和____ ．
15．当___________时，代数式有最大值．
16．若，，且，则的值是____．
17．已知，，且，则______．
18．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______．
19．如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________．
20．以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若m满足，则；⑥若三个非零有理数a，b，c满足，则，其中正确的有_____（填序号）．
三、解答题
21．先在数轴上标出表示下列各数的点，再将这些数按从小到大的顺序排列，并用“”连接．
，，，，．
22．若，，且，求代数式的值．
23．给出下列6个数：，在这些数中，
(1)负整数有_________，非负数有_________；
(2)互为相反数的是_________，绝对值最小的数是_________；
(3)画出数轴，将这些数表示在数轴上，并把这些数用“＜”号连接起来．
24．请比较下列各组中两个数的大小：
(1)和；
(2)和．
25．已知两数分别为m、n．
(1)试判断与是否为相反数，若是，请说明理由；
(2)若与互为相反数，求代数式的值．
26．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索：
(1)表示数轴上数x与数 两点间的距离；
(2)的最小值是 ；
(3)计算的最小值．
27．（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ；
（2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ；
（3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值；
（4）对于任意有理数x，则的最小值是 ．
28．已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点．
(1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数；
(2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数；
(3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由．
29．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题：
(1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ；
(2)若，则 ．
(3)的最小值为 ；此时整数 ．
(4)若，则整数 ．
30．【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______．
(2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等；
(3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______．
(4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______．
参考答案
一、单选题
1．A
解：．
2．A
∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小，
分别计算各选项偏差的绝对值：
， ， ， ，
∵ ，
∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量．
3．D
解：∵ ，
当时，，不满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
∴，即x为非正数．
4．B
解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误；
B．由，则，故一定是正数，B正确；
C．由时，或，故不一定相等，C错误；
D．例如，，但，故不一定是正数，D错误．
故选B．
5．A
解：∵，
∴或；
∵，∴或．
又∵，
∴当时，最大值为，不符合题意，舍去；
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
∴的值为4或2．
故选：A．
6．C
解：，
，
，
故选：C．
7．B
解：由数轴可知，．
．
A、由于是负数，则是正数，故，A错误；
B、，B正确；
C、
但
，故C错误；
D、已知，且，则与互为相反数，即，故D错误．
故选：B．
8．C
解：不妨设
输入的三个数为a，b，2，
∴第一次输入后显示的结果为：或或，
第二次输入后显示的结果为：
或或
∵的最大值为2025，
∵，
最大，
∴或
，
∴的最小值是；
故选C．
9．D
A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），
∴点A在原点左侧，点B在原点右侧，
∴，，
∴，，
∵，
∴， ，
∴，
∵，所以，
∴；
故选：B．
10．A
解：∵互为相反数，
∴，即，
∵，
∴，即，解得或，
∴或，
故选：A．
二、填空题
11．＜
解：∵，
∴．
12．
解：，，
，
，
故答案为：．
13．
解：，
故答案为：．
14． 4
解：两点的距离为8，则点A、B距离原点的距离都是4，
∵点A，B互为相反数，A在B的右侧，
∴A、B表示的数是4，．
故答案为：4，．
15．1
解：∵ ≥0，
，
，
当，即时，有最大值．
故答案为：1．
16．或
解：，，
，．
又，
，．
或．
故答案为：或．
17.或
解：∵，，
∴，．
∵，
∴．
当时，若，，不符合条件；若，，不符合条件．
当时，若，，符合条件；若，，符合条件．
因此，，或，．
当，时，；
当，时，．
故答案为：或．
18．18或27
解：起点为，推导第次跳动后的位置：
当为奇数时，位置为；
当为偶数时，位置为．
由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231．
若为奇数：，解得（舍去）；
若为偶数：，解得．
故答案为：18或27．
19． 3 4
解：因为，则，
所以；
因为绝对值是非负数，即，
所以当最小时，整个式子的值最大．
当时，，此时，
所以的最大值是3．
由得，，
所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离，
根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为．
所以的最小值为4．
故答案为：3；4．
20．③⑤
解：①不一定是一个负数，例如当时，，此时不是负数，原说法错误；
②正整数、负整数和统称为整数，原说法错误；
③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确；
④绝对值等于本身的是正数与零，原说法错误；
⑤若m满足，即，则，原说法正确；
⑥若三个非零有理数a，b，c满足，
则有理数a，b，c中有两个正数，一个负数，
∴为负数，
则，原说法错误；
综上，正确的有③⑤，
故答案为：③⑤．
三、解答题
21．解：，
在数轴上表示为：
则．
22．解：∵，，且，
∴或，
当时，；
当时，．
综上所述，代数式的值为．
23．（1）解：，
负整数是小于0的整数，所以负整数有；
非负数是指正数和0，所以非负数有．
故答案为：，；
（2）解：互为相反数的两个数和为0，
所以互为相反数的是和，
一个数的绝对值是非负数，0的绝对值是0，
所以绝对值最小的数是0．
故答案为：和，0；
（3）解：数轴如图所示：
24．（1）解：∵，，，
∴；
（2），
∵，，，
∴．
25．（1）解：与为相反数，理由如下：
，
∴与为相反数．
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴．
26．（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离，
故答案为：；
（2）解：可理解为数轴上表示数x 的点到表示数和 2的点的距离之和，当点 x位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5．
故答案为：5；
（3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和，
当时，距离之和最小，
最小值为：
.
27．解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，
由题意得，，
故答案为：2；
（2）由题意得，，
即，
解得或，
故答案为：或2；
（3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），
∵，
∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，
当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为，
即的值为7；
（4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，
当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小，
此时最小值为，
故答案为：3．
28．（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答：
①点在点的左边时，
∵PB=2，，
∴点表示数的是2，
②点在点的右边时，
∵PB=2，，
∴点表示的是6，
综上，可得点表示的数是2或6；
（2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点，
，
∴线段的长度是6，分两种情况进行解答：
①时，点表示的数是，
②时，点表示的数是，
综上，可得点表示的是0或2；
（3）解：存在，理由如下：
根据绝对值的几何意义，可得：
当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为，
此时，最小值为，
所以的最小值是6．
29．（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是，
故答案为：；
（2）解：表示与3的距离为3，则或6，
故答案为：0或6；
（3）解：表示与的距离与它与3的距离之和，
∴当时，，其他情况下都，
∴的最小值为；此时整数，，0，1，2，3，
故答案为：；，，0，1，2，3；
（4）解：表示与的距离与它与3的距离之和为，
∴当时，，不合题意；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，或，
故答案为：或．
30．（1）解：∵点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，
∴两点的距离可以表示为，
故答案为：；
（2）解：∵与的值相等，
∴表示x的数与表示4和的数的距离相等，
∴表示x的数是表示4和的数的中点，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴整数x有，
∴所有符合条件的整数x的和为
，
故答案为：7；；
（4）解：将分为两组：
（最小值为，x在到3之间）；
（最小值为，x在到1之间）；
由上述可得，当x在到1之间时，两组同时取最小值，
∴M最小值为，
∴整数x的值为到1之间的整数：．
故答案为：11；．

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