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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.1.2勾股定理的图形验证第一章勾股定理北师大版八年级上册1.1.2勾股定理的图形验证练习题知识点回顾：勾股定理的图形验证核心为数形结合、等面积法，通过拼接、分割直角三角形和正方形，利用图形总面积不变，推导得出直角三角形三边关系$$a^2+b^2=c^2$$。常见验证模型：赵爽弦图、美国总统伽菲尔德面积证法、大正方形包围直角三角形证法。本套习题聚焦图形推导、原理理解、变式应用，适配课时专项巩固。一、基础填空题（每题4分，共20分）1.赵爽弦图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成大正方形，若直角三角形直角边为a、b（a＞b），则大正方形边长为______，小正方形边长为______。2.利用图形验证勾股定理的核心方法是______，即拼接前后图形总面积保持不变。3.伽菲尔德证法利用三个直角三角形拼接成一个______，通过整体面积与部分面积相等推导勾股定理。4.赵爽弦图中，若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则单个直角三角形的面积为______。5.直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，这一结论通过图形拼接验证的本质是______等量代换。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列关于赵爽弦图验证勾股定理的说法错误的是（）A.四个直角三角形完全全等B.大正方形面积=四个直角三角形面积+小正方形面积C.无需利用面积关系即可推导D.是经典的数形结合数学模型2.用赵爽弦图验证勾股定理，若直角边a=3，b=4，则大正方形面积为（）A. 12 B. 16 C. 25 D. 493.图形验证勾股定理的核心依据是（）A.三角形内角和定理B.等面积法C.等式性质D.平移性质三、原理计算题（每题10分，共30分）1.利用赵爽弦图推导勾股定理：已知全等直角三角形直角边为a、b，斜边为c，请结合大、小正方形面积关系，完整推导$$a^2+b^2=c^2$$。2.伽菲尔德证法模型中，直角梯形上底a=5，下底b=12，高为a+b，斜边c=13，通过梯形面积和三个三角形面积，验证勾股定理成立。3.赵爽弦图中，若直角三角形一条直角边为6，小正方形边长为2，求大正方形的面积。四、图形变式应用题（15分）将四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个大正方形（无重叠、无空隙），去掉内部小正方形后，仅保留四个直角三角形，重新拼接成两个长方形。利用前后图形面积不变，证明勾股定理。五、拓展提升题（15分）已知一个直角三角形直角边分别为9和12，用图形分割验证勾股定理：以三边为边长分别向外作正方形，通过面积加减关系，证明两直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积。参考答案与简要解析一、填空题1.c、a-b 2.等面积法3.直角梯形4.6 5.面积二、选择题1.C 2.C 3.B三、原理计算题1.大正方形面积$$c^2$$，同时等于$$4\times\frac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$$，故$$a^2+b^2=c^2$$；2.梯形面积$$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(5+12)^2=\frac{289}{2}$$，三个三角形面积和$$2\times\frac{1}{2}\times5\times12+\frac{1}{2}\times13\times13=\frac{289}{2}$$，等式成立；3.另一直角边=6+2=8，大正方形面积=$$6^2+8^2=100$$。四、图形变式应用题原四个三角形总面积$$2ab$$，拼接后长方形面积为$$2ab$$，结合弦图面积关系，可推导出$$a^2+b^2=c^2$$，核心为面积守恒原理。五、拓展题直角边正方形面积分别为81、144，和为225；斜边=15，斜边正方形面积=225，二者相等，验证勾股定理成立。
02
新知导入
1．上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2．如何验证勾股定理呢 ？
3.填空
（1）一个直角三角形两直角边分别是3、4，斜边是 。
（2）一个直角三角形的斜边是13，,其中一条直角边分别是5，另一条直角边是 。
5
12
03
新知探究
探究新知
一、小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．
有不同的拼法吗？
拼图展示
图 1
图 2
03
新知探究
二 探究勾股定理的证明方法
验证方法一；
利用大正方形的面积等于
中间正方形面积+4个直角三角形的面积。
（自己完成验证过程）
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
03
新知探究
验证方法二；
利用大正方形的面积等于
中间正方形面积+4个直角三角形的面积。
（自己完成验证过程）
c
a
b
图 2
03
新知探究
验证方法三；
利用梯形的面积等于
三个直角三角形的面积之后。
（自己完成验证过程）
b
c
a
b
c
a
追溯历史
用图2验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 。
03
新知探究
1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用
代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证
明勾股定理的有( )
D
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
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2. 如图是一块长方形草坪， 是一条被踩踏的小路，已知
米，米.为了避免行人继续踩踏草坪
走线段，小梅分别在， 处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是( )
D
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
03
新知探究
03
新知探究
据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？
03
思考与交流
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
结论：勾股定理使用的条件是直角三角形。
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典例精析
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典例精析
解：根据题意三角形ABC是直角三角形，∠C=90°,AC=400m,AB=500m
BC=300
蓝方汽车平均速度：300÷10=30（m/s）
3. 2024年11月4日，神舟
十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着
陆.为此，某校组织了一次以“指尖上的航模
●蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演.如
10米
图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点处
米，空中点 处有一只风筝，无人机上的测距仪测
得米，点与点之间的水平距离 米，已知
于点，，则风筝离地面的高度 是______.
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4.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，
其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，
图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图①
中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为 .
（1）请用含，，的代数式分别表示， ；
【解】 ，
.
（2）请利用达·芬奇的方法验证勾股定理.
由题意得，所以 .
所以 .
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（第5题）
5. 如图，已知钓鱼竿的长为 ，露在
水上的鱼线长为 ，某钓鱼者想看看
鱼钩上的情况，把鱼竿转动到 的位置，
此时露在水面上的鱼线的长度为 ，
若，，三点在同一直线上，则 的
长为( )
C
A. B. C. D.
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（第6题）
6. 一辆装满货物、宽为1.6米的卡车，欲通过
如图所示的隧道（隧道上半部分是以 为直
径的半圆），则卡车的高度必须低于( )
B
A. 3.0米 B. 2.9米 C. 2.8米 D. 2.7米
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7.［2025盐城期中］第二十四届国际数学家大会
会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家
赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角
40
形 和中间一个小正方形
拼成的大正方形中，连接，.若 的面
积是面积的9倍，小正方形 的面积是16，则大正
方形 的面积为____.
05
课堂小结
1.验证勾股定理的方法:
2.勾股定理的初步应用
等面积，两算法
找准斜边，直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方。

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