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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3.1古算问题第五章二元一次方程组北师大版八年级上册5.3.1古算问题练习题知识点回顾：古算问题是二元一次方程组经典应用题，取材于我国古代数学典籍。解题核心：读懂古文题意，找出题目中的两个等量关系，设两个未知数，列二元一次方程组求解。通用步骤：①翻译古文、梳理已知条件；②设未知数；③根据两组等量关系列方程组；④用代入或加减消元法求解；⑤检验并作答。一、基础填空题（每题4分，共20分）1.解决古算问题的关键是找出题目中的________个等量关系。2.古算问题大多可通过设________个未知数，列二元一次方程组解答。3. “和、共、总计”对应等量关系多为两个量________。4. “差、多、少、余”对应等量关系多为两个量________。5.方程组求解后，需要结合实际问题，舍去________的解。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.古算问题列方程的核心依据是（）A.古文句式B.等量关系C.数字大小D.题目篇幅2.今有两数和为30，差为6，求两数，下列方程组正确的是（）A. $$\begin{cases}x+y=30\\x-y=6\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=6\\x-y=30\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}xy=30\\x-y=6\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=30\\xy=6\end{cases}$$3.古算题中“甲比乙多5”，对应的等量关系是（）A.甲+乙=5 B.甲-乙=5 C.乙-甲=5 D.甲÷乙=5三、基础古算解答题（每题10分，共30分）1.今有两数，和为28，差为4，求这两个数。2.古题：今有鸡兔同笼，头共20个，脚共56只，求鸡、兔各几只？3.甲乙两数，甲数的2倍与乙数的和为25，甲数与乙数的和为15，求甲乙两数。四、经典古算应用题（15分）《九章算术》古题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（译文：众人合伙买物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱。求人数和物品价格）五、拓展古算提升题（15分）古题：隔墙听得客分银，不知人数不知银。七两分之多四两，九两分之少半斤。（注：古代1斤=16两，半斤=8两）求人数和银两总数。参考答案与简要解析一、填空题1.两2.两3.相加求和4.相减求差5.不符合实际二、选择题1.B 2.A 3.B三、基础解答题1.设两数为x、y，列$$\begin{cases}x+y=28\\x-y=4\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=16\\y=12\end{cases}$$，两数为16和12。2.设鸡x只，兔y只，$$\begin{cases}x+y=20\\2x+4y=56\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=12\\y=8\end{cases}$$，鸡12只，兔8只。3.设甲x，乙y，$$\begin{cases}2x+y=25\\x+y=15\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=10\\y=5\end{cases}$$，甲数10，乙数5。四、经典古算题设人数x，物价y，$$\begin{cases}8x-y=3\\y-7x=4\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=7\\y=53\end{cases}$$。答：共7人，物价53钱。五、拓展古算题设人数x，银两y，$$\begin{cases}y-7x=4\\9x-y=8\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=6\\y=46\end{cases}$$。答：共6人，46两银。
02
复习旧知
1.解二元一次方程组的方法？
2.解方程组：
2x + 4y = 94
x + y = 35
3.甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两数分别是多少？
03
古题导入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
03
古题导入
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何
说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？
你能用小学学过的知识解决这个问题吗？
03
古题导入
假设全部是鸡，则：35×2=70，
94-70=24
4-2=2
兔子只数 24÷2=12，鸡的只数35-12=23
所以兔子12只，鸡23只。
假设全部是兔子，则：35×4=140，
140-94=46
4-2=2
鸡只数 46÷2=23，兔子只数35-23=12
所以兔子12只，鸡23只。
04
新知探究
探究一
应用二元一次方程组解古算题
等量关系：
鸡头+兔头=35,
鸡脚+兔脚=94.
足
头
总数
解：设笼中有鸡x只、兔y只
35
94
2x
x
y
4y
04
新知探究
解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组
x+y=35
2x+4y=94
解这个方程组，得
x=23
y=12
所以笼中有鸡23只、兔12只。
04
尝试与思考
列方程求解：
若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意大利数学家斐波那奇《计算之书》）
解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题意得
x+7=5（y-7）
5(x-5)=（y+5）
解得：x=8
y=10
答：甲原来有8第纳尔，乙原来有10第纳尔.
1. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？” 意思是：
“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材
的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”若设木材的
长为尺，绳子长为 尺，则根据题意列出的方程组是 ( )
C
A. B.
C. D.
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2. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众
客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”. 诗中后两句的
意思是如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9
人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、
丙三人的解题方案，其中正确的个数是 ( )
甲：设客房有间，则 ；
乙：设客人有人，则 ；
丙：设客房有间，客人有人，则
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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05
典例精析
例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙
余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙各怀钱几何？
（选自《张丘建算经》）
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的10钱，
那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，如果乙得甲的10钱，那么
两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？
数量关系：甲+10=6（乙-10）
甲-10=乙+10
05
典例精析
解：设：甲带的钱数是x, 乙带的钱数是y.依题意得
x+10=6(y-10)
x-10=y+10
解得 x=38
y=18
所以甲带的钱数是38钱, 乙带的钱数是18钱.
03
典例精析
例题2：以绳测井
若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
等量关系
03
典例精析
解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得
x
3
x
4
-y=5, ①
-y=1. ②
解得：
x=48,
y=11.
｛
答：绳长48尺，井深11尺.
03
典例精析
列方程组解古算题：
例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？”
题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各价值多少“金”？
5头牛钱＋2只羊钱＝10两
2头牛钱＋5只羊钱＝8两
等量关系
03
典例精析
解：设牛值x两，羊值y两,依题意得
5x＋2y＝10
2x+5y＝8
x=
y=
解得
答：羊值“金” 两，牛值“金” 两。
知识要点1
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
3.［2025成都青羊区一模］《九章算术》中记载这样一个问
题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，
损实二斗五升，当下禾五秉.”翻译后的大致意思：5捆上等稻
子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等
稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷.则上等
稻子1捆能结___升稻谷（1斗 升）.
5
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4.《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.下面是其卷中
记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，
盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？这段
话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3 400
钱；每人出300钱，会剩余100钱.求合伙人数、金价各是多少？
请解决上述问题.
【解】设共有人合伙买金，金价为 钱.
依题意得 解得
所以，合伙人数是33，金价为9 800钱.
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5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问
题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，
金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有
黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚
（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚
后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、
白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重 两，
根据题意可列方程组为_ _________________________.
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6.在《九章算术》中，二元一
次方程组是通过“算筹”摆放的，
如图①、图②中各行从左到右
列出的算筹数分别表示未知数， 的系数与相应的常数项.
如图①表示的方程组是
在图②所示的
算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程
组中 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为__.
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7.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水
壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭
壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭
尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小
时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为 .若开
始记录时是上午，则当箭尺读数为 时的时间为
______.
21:00
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8.［2025徐州月考］我国传统数学名著《九章算术》记载：
“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.
问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19
两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别
值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）每头牛、每只羊各值多少两银子？
【解】设每头牛值两银子，每只羊值 两银子.
根据题意，得解得
所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.
（2）若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有
羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出
所有的可能.
设该商人购买了头牛， 只羊，根据题意，得
，即 .
因为，均为正整数，所以 为2的倍数.
当时， ；
当时， ；
05
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
（1）审题，找两个等量关系；
（2）设两个未知数，
（3）根据等量关系列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.

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