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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3.2应用二元一次方程组——增收节支第五章二元一次方程组北师大版八年级上册5.3.2应用二元一次方程组——增收节支练习题知识点回顾：增收节支问题是二元一次方程组经典应用题，主要解决收入增长、支出减少、利润变化、增长率、节约率问题。核心公式：①现收入=原收入×(1+增长率)；②现支出=原支出×(1-降低率)；③利润=收入-支出。解题套路：设去年（原来）的收入、支出为未知数，根据“去年利润”和“今年利润”列两个等量关系，列方程组求解。一、基础填空题（每题4分，共20分）1.利润=________－________。2.若收入增长20%，原收入为x，则现收入为________。3.若支出减少10%，原支出为y，则现支出为________。4.增收节支问题通常设________的收入和支出为未知数。5.今年利润由今年________和今年________作差得到。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.某公司去年收入为a，今年增收15%，今年收入是（）A. $$a+15\%$$ B. $$0.85a$$ C. $$1.15a$$ D. $$15\%a$$2.某开支去年为b，今年节约5%，今年开支为（）A. $$1.05b$$ B. $$0.95b$$ C. $$b-5$$ D.$$5\%b$$3.解决增收节支问题列方程组的依据是（）A.一组数量关系B.去年、今年两组利润关系C.单一增长率D.随意列式三、基础列式题（每题10分，共30分）1.设去年收入x万元，支出y万元，去年利润30万元，写出方程。2.在第1题基础上，今年收入增加10%，支出减少20%，写出今年收入、今年支出的代数式。3.若今年利润为56万元，结合上题条件列出第二个方程。四、经典真题应用题（15分）某工厂去年利润为100万元。今年总收入比去年增加10%，总支出比去年减少5%，今年利润为140万元。求去年的总收入、总支出各多少万元？五、拓展提升题（15分）某校办学经费去年收入、支出共计80万元，今年收入上涨8%，支出下降10%，今年总收入与总支出共计81.2万元。求去年收入、支出各多少万元？参考答案与简要解析一、填空题1.收入、支出2. $$1.2x$$ 3. $$0.9y$$ 4.去年（原来）5.收入、支出二、选择题1.C 2.B 3.B三、基础列式题1. $$x-y=30$$2.今年收入：$$1.1x$$，今年支出：$$0.8y$$3. $$1.1x-0.8y=56$$四、经典真题应用题解：设去年总收入x万元，总支出y万元。$$\begin{cases}x-y=100\\1.1x-0.95y=140\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=300\\y=200\end{cases}$$答：去年总收入300万元，总支出200万元。五、拓展提升题解：设去年收入x万元，支出y万元。$$\begin{cases}x+y=80\\1.08x+0.9y=81.2\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=40\\y=40\end{cases}$$答：去年收入40万元，支出40万元。
02
预习交流
1、利息、本金、利率之间的关系
2、某人按定期一年存入银行10000元，若年利率为2.25%，则一年后可得利息_______元；本息和为_________元（不考虑利息税）.
利息=本金×利率×期数， 本息=本金+利息
225
10225
3、利润、利润率公式。
利润=进价×利润率=售价-进价
03
预习交流
4、某商品进价为2000元，卖出后可获利50%，则利润为 元，该商品的售价为 元。
1000
3000
5、增长率公式
增长率=增长数÷原来量=增长后数量÷增长前数量-1
6、某人去年每个月的工资是6000元，今年比去年增长了10%，则今年的工资为 元。如果要扣除5%的税，则还剩 元。
6600
6270
03
情境导入
某公司去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
分 析：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年
(1+20%)x
(1-10%)y
780
03
情境导入
关键:找出等量关系.
去年的总收入—去年的总支出=200万元，
今年的总收入—今年的总支出=780万元 ．
解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，依题意得
整理得 解得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
03
新知探究
探究一
二元一次方程组的应用（增收节支）
例1: 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
分析:设每餐甲、乙原料各x，y克. 则有下表:
甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
0.7y
35
x
0.4y
40
03
新知讲解
想一想：等量关系是什么？
甲原料蛋白质含量+乙原料蛋白质含量=蛋白质总含量
甲原料铁质含量+乙原料铁含量=铁质总含量．
解:设每餐甲、乙原料各x克，y克.依题意得
化简得
解得：
答：每餐需甲原料28克、乙原料30克.
1. ［2025西安经开区月考］小明家种植水果，去年收支相抵后，结余
1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年
增加，支出比去年减少 ，今年比去年多结余1 140元.设小明家
去年收入元，支出 元，则下列方程组正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
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03
新知讲解
例题2：有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由酒精3升,水2升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两种溶液应各取几升
若设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升
溶液(升) 浓度 酒精含量(升)
配制前 甲溶液
乙溶液
配制后
x
25%
25% x
y
60%
60% y
7
50%
50%×7
甲种溶液的浓度是 1÷(1+3)=25%
乙种溶液的浓度是 3÷(3+2)=60%
03
新知讲解
解：设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，依题意得：
x + y=7
25%X + 60%y=50%×7
化简得: 解得：
x + y=7
5x + 12y=70
y =5
x=2
答:甲种溶液需2升,乙种溶液需5升
等量关系式：甲溶液升数+乙溶液升数=配制溶液总升数。
甲溶液酒精含量+乙溶液酒精含量=配制后酒精的含量
知识要点1
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
列方程解应用题步骤
1．二元一次方程组解决增收节支问题的过程
　　　　 分析　　　　　　求解
　　问题　　　　方程（组）　　　解答
　　　　　抽象　　　　　　检验
2．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
知识要点2
2. 2025年亚冬会期间，某工艺厂准备生产
亚冬会标志“超越”和亚冬会吉祥物“滨滨”“妮妮”.该厂主要用
甲、乙两种原料，已知生产一套亚冬会标志需要甲原料和乙
原料分别为4盒和3盒，生产一套亚冬会吉祥物需要甲原料和
乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为
20 000盒和30 000盒，如果所进原料全部用完，则该厂能生
产亚冬会吉祥物_______套.
2 400
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3.学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖的同学，计划购买甲、
乙两种奖品共40件，已知购买甲奖品1件和乙奖品4件需花费
240元，购买甲奖品2件和乙奖品1件需花费165元，如果学校
购买甲、乙两种奖品共花费2 130元，那么学校购买了____
件乙奖品.
18
【点拨】设每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是
元，根据题意得解得设购买 件乙奖
品，则购买 件甲奖品，根据题意得
，解得 .所以学校购买了
18件乙奖品.
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4. 一辆汽车从地驶往 地，前三分之一路段
为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行
驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为 .
汽车从地到地共行驶了 .请你根据以上信息，就该汽
车行驶的“路程”或“时间”，提出一个问题：____？
并求解.
【解】（答案不唯一）地到 地的路程是多少千米
设地到地的普通公路长为，高速公路长为 ，
根据题意得解得
所以 .
所以地到地的路程是 .
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5.某种合金是由， 两种金属熔炼而成，根据不同用途的需
要，两种金属原材料所选的比例也不相同.如果， 两种原
料按配料，则该合金材料价格为5 000元/吨；如果 种原
料占合金的，则该合金材料价格为4 860元/吨.则 种金
属每吨的价格是_______元 .
3 600
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6.［2025北京大兴区一模］某公园门票价格如下表，某学校
组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数
分别为和 .若两社团分别以各自社团为单位购票，
共需1 560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需
1 170元，那么这两个社团的人数为____， ____.
购票人数 80以上
门票价格 20元/人 16元/人 13元/人
60
30
7.甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并
快速出售玩具，决定将甲玩具按 的利润率标价出售，乙
玩具按 的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，
两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元.
（1）若甲玩具的成本为 元，则甲玩具的标价是_____元，
甲玩具的售价是______元；若乙玩具的成本是 元，则乙玩
具的标价是_____元，乙玩具的售价是______元.（用含, 的
式子填空）
（2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元.
【解】依题意，得
解得
所以甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元.
（3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这
两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么
可以怎样安排进货？
设购进个甲玩具， 个乙玩具，
依题意，得，化简得 .
又因为， 均为正整数，
所以或或或
所以共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；
方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩
具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具.
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05
课堂小结
1．二元一次方程组解决增收节支问题的过程：
　　　　 分析　　　　　　求解
　　问题　　　　方程（组）　　　解答
　　　　　抽象　　　　　　检验
2．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．

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