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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3.3几何问题与行程问题第五章二元一次方程组北师大版八年级上册5.3.3几何问题与行程问题练习题知识点回顾：本节利用二元一次方程组解决两类经典应用题。1.几何问题：依托长方形周长、边长关系、角度和差、图形拼接等几何性质找等量关系，常用周长公式、边长和差关系列方程组。2.行程问题：核心公式$$路程=速度\times时间$$，分为相遇问题（路程和=总路程）、追及问题（路程差=初始距离）、匀速往返问题，通过两个运动状态列二元一次方程组求解。一、基础填空题（每题4分，共20分）1.长方形周长公式：周长=________，可作为几何边长问题的等量关系。2.行程问题核心公式：路程=________×________。3.相遇问题中，两人行驶的路程________等于总路程。4.追及问题中，快者与慢者的路程________等于初始相距路程。5.一个长方形长比宽多3，设长为x，宽为y，可列等式________。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.长方形周长为40，长x、宽y，正确方程是（）A. $$x+y=40$$ B. $$2(x+y)=40$$ C. $$xy=40$$ D. $$x-y=40$$2.甲乙两人相向而行，该行程问题属于（）A.追及问题B.相遇问题C.往返问题D.变速问题3.甲速度大于乙速度，同向行驶追及，路程关系正确的是（）A.甲路程=乙路程B.甲路程-乙路程=初始距离C.甲路程+乙路程=初始距离D.无等量关系三、基础解答题（每题10分，共30分）1.长方形长和宽之和为15，长比宽多5，求长方形的长和宽。2.甲乙两车匀速行驶，1小时相遇，总路程120km，写出相遇问题的核心等量关系。3.已知两个角的和为90°，差为20°，求这两个角的度数。四、几何应用题（15分）已知一个长方形的周长是36cm，若长增加2cm，宽不变，周长变为40cm，求原长方形的长和宽。五、行程拓展题（15分）甲乙两人相距800米，同时同向出发，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，甲在后、乙在前，经过多久甲可以追上乙？（列方程组求解）参考答案与简要解析一、填空题1.$$2(长+宽)$$ 2.速度、时间3.和4.差5.$$x-y=3$$二、选择题1.B 2.B 3.B三、基础解答题1.设长x，宽y，列方程组$$\begin{cases}x+y=15\\x-y=5\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=10\\y=5\end{cases}$$，长为10，宽为5。2.甲1小时路程+乙1小时路程= 120km。3.设两角为x、y，列$$\begin{cases}x+y=90\\x-y=20\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=55^\circ\\y=35^\circ\end{cases}$$。四、几何应用题解：设原长方形长x cm，宽y cm。列方程组：$$\begin{cases}2(x+y)=36\\2(x+2+y)=40\end{cases}$$化简解得：$$\begin{cases}x=8\\y=10\end{cases}$$（长10cm，宽8cm）答：原长方形长10cm，宽8cm。五、行程拓展题解：设经过x分钟甲追上乙，追上时甲走$$y_1$$米，乙走$$y_2$$米。列方程组：$$\begin{cases}y_1=60x\\y_2=40x\\y_1-y_2=800\end{cases}$$，简化得$$60x-40x=800$$解得$$x=40$$。答：经过40分钟甲追上乙。
03
情境导入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在１２：００时看到的里程碑上的数吗？
03
情境导入
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 代数式
12:00
13:00
14:00
x
y
10x+y
y
x
10y+x
x
0
y
100x+y
(1)12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 　　　　　 　　　　；
(2) 13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 　　　　　　 　　 　；
(3)12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？ .
（10y+x）-（10x+y）
（100x+y）-（10y+x）
相等
03
情境导入
解：如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
解这个方程组，得
答：12:00时看到的里程碑上的数是16．
04
典例精析
用二元一次方程组解决问题
例1: 火车以40m/s的速度经过乙隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共有30s,其中火车整个车身在隧道的时间是20s,求隧道长和火车的长度。
画图分析
数量关系：
30s行驶的路程是隧道长+火车长
20s行驶的路程是隧道长-火车长
04
典例精析
解：隧道长xm,火车长ym.得方程组：
解这个方程组，得
答：隧道长1000m,火车长200m.．
x+y=40×30
x-y=40×20
x=1000
y=200
1. 在长方形 中，放入六个形状、大
小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设
小长方形长、宽分别为， ，则下
列方程组正确的是( )
A
A. B.
C. D.
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2. 滨德高速是连通滨州德州的重要路线，全长约 .一辆小汽车、一
辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇， 设
小汽车和货车的速度分别为
，.可以列出方程组为 则
“……”处省略的条件为( )
C
A. 相遇时货车比小汽车多行
B. 相遇45分钟后货车比小汽车多行
C. 相遇时小汽车比货车多行
D. 相遇45分钟后小汽车比货车多行
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04
典例精析
例2: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地相向而行，2小时后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度
分析: 1
甲
乙
相遇
2
甲
乙
追上
S甲+S乙=42
S乙- S甲=42
等量关系式：
04
典例精析
解:设甲乙二人的速度分别为每小时x千米,每小时y千米,根据题意得:
整理得
解得
答:甲乙二人的速度分别为9千米/小时, 12千米/小时.
04
典例精析
例3: 两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边接着写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数.
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y,
在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为____________________。
在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为_____________________。
100x+y
100y+x
04
典例精析
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
整理得
解得
答:这两个两位数分别是45和23.
知识要点1
1·审题 (找等量关系）2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答
列方程解应用题步骤
知识要点2
画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。
行程问题
数字问题：
一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。
3. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟
空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历
经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请你
欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千
里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的
意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风， 里只用了
4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为___
里/分钟.
50
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4. 古代中国是世界中心，
诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构就是其中最为
华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的
连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.
当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为 ，当9个木构
件紧密拼成一列时，总长度为 ，如图②所示，则图①
中的木构件长度为______.
【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为 ，
凸起部分的长度为，由题意得 解得
所以题图①中的木构件长度为 .
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5.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车
的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们
相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒.若动车组长度
为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是
____________，动车组的速度是___________.
90千米/时
180千米/时
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6.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一
汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟
后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时
行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时行驶40
千米，则甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、下坡路分
别是________________________.
30千米、16千米、28千米
【点拨】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到
下午6点48分共2.8小时.设甲地到乙地的行驶过程中平路是
千米，上坡路是千米，则下坡路是 千米，根据
题意，得整理，得 解
得所以 .所以甲地到
乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路
是28千米.
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7.［2025武汉江岸区期中］如图，从 至
，步行走粗线道 需要35分钟，
坐车走曲细线道 需要
22.5分钟，车行驶的路程是
25
至步行路程的3倍，车行驶的路程是至 步行路
程的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从至 步行，
再从 坐车所需要的总时间是____分钟.
课堂小结
画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。
行程问题
数字问题：
一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。

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