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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.6.1离差平方和、方差与标准差第六章数据的分析北师大版八年级上册6.1离差平方和、方差与标准差练习题知识点回顾设一组数据：$$x_1,x_2,\dots,x_n$$，平均数为$$\overline{x}$$1.离差：每个数据与平均数的差$$x_i-\overline{x}$$，反映单个数据偏离平均水平的程度。2.离差平方和：$$S=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$$，整体反映数据波动大小。3.方差：离差平方和的平均数$$s^2=\dfrac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$$。4.标准差：方差的算术平方根$$s=\sqrt{s^2}$$。5.规律：方差、标准差越小，数据波动越小，数据越稳定；反之波动越大，数据越不稳定。一、基础填空题（每题4分，共20分）1.数据中每个数与平均数的差叫做________。2.所有离差的平方相加的结果叫做________。3.方差是离差平方和的________。4.标准差是________的算术平方根。5.方差越小，数据波动越________，数据越________。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列统计量可以反映数据波动大小的是（）A.平均数B.中位数C.方差D.众数2.甲、乙两组数据，$$s^2_甲=0.5$$，$$s^2_乙=1.2$$，则（）A.甲组更稳定B.乙组更稳定C.两组一样D.无法判断3.一组数据的方差为9，则标准差为（）A. 3 B. 9 C. 81 D. 18三、基础计算题（每题10分，共30分）1.求数据：2，4，6的平均数和离差平方和。2.求数据：1，3，5，7的方差。3.已知一组数据方差为4，求这组数据的标准差。四、标准应用题（15分）甲乙两名同学5次数学小测成绩：甲：85，87，84，85，89乙：82，88，86，85，89分别求出两人成绩的方差，判断谁的成绩更稳定。五、拓展提升题（15分）已知一组数据：3，3，4，5，5，求这组数据的离差平方和、方差、标准差。参考答案与简要解析一、填空题1.离差2.离差平方和3.平均数4.方差5.小、稳定二、选择题1.C 2.A 3.A三、基础计算题1.平均数：$$\overline{x}=\dfrac{2+4+6}{3}=4$$离差平方和：$$(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2=4+0+4=8$$2.平均数：$$\overline{x}=\dfrac{1+3+5+7}{4}=4$$方差：$$s^2=\dfrac{1}{4}[(1-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(7-4)^2]=\dfrac{1}{4}(9+1+1+9)=5$$3.标准差：$$s=\sqrt{4}=2$$四、标准应用题甲平均数：$$\overline{x}_甲=86$$，方差：$$s^2_甲=3.2$$乙平均数：$$\overline{x}_乙=86$$，方差：$$s^2_乙=6.8$$因为$$3.2<6.8$$，甲的成绩更稳定。五、拓展提升题平均数：$$\overline{x}=\dfrac{3+3+4+5+5}{5}=4$$离差平方和：$$(3-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(5-4)^2=1+1+0+1+1=4$$方差：$$s^2=\dfrac{4}{5}=0.8$$标准差：$$s=\sqrt{0.8}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$$
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知识再现
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
一组数据按从小到大（从大到小）顺序排列中间位置的数叫中位数；如果这组数据有偶数个则中间两个的平均数是这组数据的中位数
学过的几个数据分析的统计量
02
知识再现
学过的几个数据分析的统计量
一般地，对于 n 个数 x1，x2，…，xn，我们把 ( x1+x2+…+xn )÷n 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数。记为 。
一般地,如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,…… xk出现fk次，那么这n个数的加权平均数为
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问题引入
在本章一开始的射击问题中，甲、丁每次射击的成绩如下图，它们的平均成绩都是8环，两人的射击表现一样吗？你如何对两位选手进行评价？
03
问题引入
在实际生活中，除了关注数据的集中趋势外，往往还需要关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。
在统计学中数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画
03
新知探究
离差平方和，方差、标准差
1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。即
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）
离差平方和是
03
新知探究
2．方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差，这个量是用来衡量这组数据的波动大小的．即，一组数据x1，x2，…，xn中，平均数为x，方差为
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）
方差是
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新知探究
3．标准差：一组数据的方差的算术平方根叫标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量．
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是（6+7×3+8×5+9×3+10）÷13=8（环）
标准差是
1. ［2025南京四中月考］某篮球兴趣小组9名学生参加投篮
比赛，每人投10个，投中的个数分别为5，8，5，7，5，8，
6，5，8，则这组数据的众数为( )
D
A. 8 B. 6 C. 7 D. 5
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2. 教材P147随堂练习 巴黎奥运会女子双人10米跳
台跳水金牌赛，中国组合五次跳水的成绩（单位：分）分别
是，，，， ，则她们跳水的平均成绩
是( )
B
A. 70.82分 B. 71.82分 C. 72.05分 D. 75.12分
3. 若一组数据2，3，5， ，7的平均数是4，
则 的值为( )
B
A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
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知识要点1
（1）计算这组数据的平均数.
（2）计算这组数据的方差.
（3）计算这组数据的标准差.
计算标准差的步骤
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探究新知
探究方差对数据稳定性的影响
丁的射击成绩是（单位环）6、6、6、6、7、7、9、9、10、10、10、10。
平均数是（6×4+7×2+9×2+10×4）÷12=8（环）
方差是
比较甲、丁的射击成绩平均数都是8，甲的方差是 ，丁的方差是3
结论：方差越小，数据越稳定
03
新知讲解
某日,A、B两地的气温情况如下图
不计算，说一说两地气温特点。
通过计算A、B两地气温的方差，验证说法的合理性。（可以用计算机计算）
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探究新知
离差平方和最小值
引入：10个苹果的直径如下图
如果把10个苹果分成2组，使它们的“个头”差距不大，该这样分？
03
探究新知
例题：按照“组内离差平方和最小”的分组方法，把10个苹果分成2组。
将10个苹果从小到大排列：
60，69，70，75，76，76，78，80，80，81
10个苹果分成2组有9种方法：第一种1个和9个；第二种2个和8个；
第三种3个和7个；第四种4个和6个；第五种5个和5个；第六种6个和4个；
第七种7个和3个；第八种8个和2个；第九种9个和1个。
分别计算9种情况的离差平方和（第一组离差平方和+第二组离差平方和）填写下表
03
探究新知
分组情况 组内离差平方和
第一种1个和9个
第二种2个和8个
第三种3个和7个
第四种4个和6个
第五种5个和5个
第六种6个和4个
第七种7个和3个
第八种8个和2个
第九种9个和1个
146.899
98
48
74.25
98
107.583
136.095
182.375
218
计算结果表明将10个苹果分成2组离差平方和最小值是48，分为第一组：65，69，70；
第二组：75，76，76，78，80，80，81.
知识要点2
组内离差平方和最小分组方法：
（1）组内数据相差不大，
（2）组与组之间数据相差明显。
4. 教材P147操作·思考
立夏是二十四节气中的第七个
节气，是夏季的第一个节气.如
图是某地立夏后某一周的每日
最高气温折线统计图，则这一
B
A. B. C. D. 没有众数
周每日最高气温的众数是 ( )
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5. 小杭同学将自己前7次体育模拟测试成绩统计如表，第8次
测试的成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则 的值
为( )
次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次
成绩/分 27 28 30 28 29 29 28
C
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
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6. 若,,的平均数是6，则，， 的平均数
是( )
D
A. 6 B. 30 C. 33 D. 32
【点拨】因为,,的平均数是6，所以.所以 .
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7.随机抽取某理发店一周的日营业额如下表（单位：元）：
星期一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计
540 680 760 640 960 2 200 1 780 7 560
如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的
营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果
不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）
的营业总额.
【解】不合理.
用该店本周星期一到星期日的日平均营业额估计当月的营业
总额.
（元）.
所以估计该店当月（按30天计算）的营业总额为32 400元.
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8. 若,, ,的平均数为；,, ,
的平均数为.则,, , 的平均数为( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】因为,, ,的平均数为；,, , 的平均
数为，所以 ，
.所以
.所以
.所以,, , 的
平均数是 .
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9. ［2025宁波鄞州区期末］游泳池的水质要求是三次检测的
的平均值不小于 ，且不大于7.8. 已知某游泳池第一次
检测值为，第二次检测值在7.0至7.9之间
包含7.0和，若该游泳池的水质检测合格，则第三次检测值 的范围是( )
A
A. B.
C. D.
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10. 两组数据：3，，，5与，6， 的平均
数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：3，， ，
5，，6， ，则这组新数据的众数为___.
8
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05
课堂小结
离差平方和
方差
标准差

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