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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.7.2.2定理与证明第七章证明北师大版八年级上册7.2.2定理与证明练习题知识点回顾1.基本概念公理（基本事实）：公认的、不需要证明的真命题，作为推理的原始依据。定理：经过推理证实的真命题，可以作为判断其他命题真假的依据。证明：从已知条件出发，依据公理、定理、定义，一步步推理得出结论的完整逻辑过程。2.核心区别公理：无需证明，直接公认；定理：必须经过证明；两者都是真命题。3.证明书写规范①每一步推理要有依据（定义、公理、定理）；②逻辑严谨、步步有据；③格式规范：已知→求证→证明。4.常用公理：两点确定一条直线、两点之间线段最短、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等。一、基础填空题（每题4分，共20分）1.不需要证明、公认正确的真命题叫做________。2.经过推理证明正确的真命题叫做________。3.推理证实命题正确性的完整过程叫做________。4.证明的每一步推理都要有________，不能凭空得出结论。5.公理和定理都是________命题。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.公理需要证明B.定理无需证明C.定理一定是真命题D.真命题都是定理2. “两点之间线段最短”是（）A.定义B.公理C.定理D.假命题3.证明几何命题的推理依据不能是（）A.个人观察B.定义C.公理D.定理三、判断正误题（每题4分，共24分）1.公理是不需要证明的真命题。（）2.定理是经过证明的真命题。（）3.所有真命题都是定理。（）4.证明过程可以没有推理依据。（）5.假命题一定不是定理。（）6. “对顶角相等”是定理。（）四、基础证明填空题（每空3分，共18分）已知：∠1和∠2是对顶角，求证：∠1=∠2。证明：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°（________）∴∠1=∠2（________）五、规范证明题（18分）已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠3=∠4。（基础平行线证明，按规范步骤书写）六、拓展辨析题（2分）简述：公理和定理的最大区别是什么？参考答案与简要解析一、填空题1.公理（基本事实）2.定理3.证明4.依据5.真二、选择题1.C 2.B 3.A三、判断正误题1.√ 2.√ 3.×4.×5.√ 6.√解析：真命题范围更大，只有经过证明、可作为推理依据的真命题才是定理。四、基础证明填空题邻补角的定义；同角的补角相等（定理）五、规范证明题（标准满分步骤）证明：∵ AB∥CD（已知）∴ ∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）又∵ ∠1=∠2（已知）∴ ∠3=∠4（等式性质）六、拓展辨析题区别：公理是无需证明、直接公认的基本事实；定理是需要经过逻辑推理证明后成立的真命题。
02
温故知新
1、定义:
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义
2、命题:
判断一件事情的句子,叫做命题.
3、命题的结构:
每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
4、命题的特征:
一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
5、命题的分类:
真命题和假命题
03
课前检测
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题则举一个反例加以说明.
(1)一个钝角、一个锐角的和必为一个平角；
假命题，92°+ 30° ≠ 180°
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
假命题，只有两条直线平行时才对
（3）两个锐角的和等于直角；
假命题. 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90°
（4）有三条边对应相等的两个三角形全等；
真命题
04
新知探究
探究：公理与定理
公理 ：
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
定理 ：
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
04
新知探究
数与式的运算定律和运算法则都可以看作公理
等式和不等式的有关性质都可以看作公理
在等式中,一个量可以用它相等的量来代替.
例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质也可看作公理,称为“等量代换”.
又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性质也可看作公理。
常用的公理
04
新知探究
1.两点确定一条直线;
2.两点之间线段最短;
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
8.三边分别相等的两个三角形全等.
下列的真命题作为定理：（课本186页)
04
新知探究
定理 同角(等角)的补角相等
定理 同角(等角)的余角相等
定理 对顶角相等
定理 三角形的任意两边之和大于第三边
从这些公理出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理;
知识点1
命题
真命题
假命题
公理（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
1. 下列关于公理和定理的说法正确的是( )
C
A. 公理是真命题，但定理不是
B. 公理就是定理，定理也是公理
C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据
D. 公理和定理都应经过证明后才能使用
2. “过平面上两点，有且只有一条直线”属于( )
C
A. 定义 B. 定理
C. 公理 D. 以上答案都不对
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3. 如图，某镇计划把河中的水引到水池 中，
可以先过点作，垂足为，然后沿 开渠，则能
使所开的渠最短，这种设计方案的根据是________________
_____________________________________.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
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05
典例精析
证明定理 同角的补角相等
已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的补角
( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝180°
( 补角定义 )
∴ ∠2＝180°-∠1
（等式性质）
同理，∠3=180°-∠1
∴ ∠2=∠3
( 等量代换 )
05
典例精析
证明定理 同角的余角相等
已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的余角
( 已知 )
∴ ∠2＋∠1＝90°
( 余角定义 )
∴ ∠2＝90°-∠1
（等式性质）
同理，∠3=90°-∠1
∴ ∠2=∠3
( 等量代换 )
05
典例精析
证明定理 对顶角相等
已知：如图，直线AB与直线CD相交于
点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∵直线AB与直线CD相交于点O
（已知）
∴ ∠AOB与∠COD都是平角
（平角的定义）
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°
( 补角定义)
同理∠COB=180°-∠AOC
∠AOD=180°-∠AOC
( 等式性质)
∴ ∠AOC =∠BOD
( 等量代换 )
05
典例精析
证明定理 三角形任意两边之和大于第三边。
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：根据几何公理“两点之间线段最短”，在
三角形ABC中： 从点B到点C的最短路径是线段 BC，而路径B →A → C 的长度为 BA+AC。由于线段 BC是两点间的最短路径，因此有 BA+ AC>BC 。 同理，可得 AB+BC> AC和 AC+BC >AB 。
证法1
05
典例精析
证明定理 三角形任意两边之和大于第三边。
已知：三角形ABC
求证：AB+AC＞BC
证明：假设存在三角形ABC,AB+AC BC,
根据几何公理， 若AB+AC=BC,则A点在线段BC上，A，B、C
三点共线，此时无法构成三角形。如图1
若AB+AC＜BC,则与公理“两点之间线段最短”
矛盾，因此假设不成立。故原命题成立。如图2
证法2(反证法）
4.［2025厦门月考］卡钳是一个测量工件内槽宽的工具.如图，
师傅通常把两根钢条， 的中点连在一起，就可以做成
一个简易卡钳.只要量得的长度，就可知工件的内径 是
否符合标准.请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，
并完成证明.
【解】已知：，为, 的中点.
求证： .
证明：，为, 的中点，
， .
又 ，
.
.
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5. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中
是定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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6.求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距
离相等.（解题要求：补全已知、求证，写出证明）
已知：如图，在中，是 边上的
中线，________________________________
______________________.
求证：_________.
分别过点，作的垂线，交的延长线和于点，
【解】 证明：由题意可得：
，
是边上的中线， .
在和 中，
， .
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7. 用表示一个两位数，代表十位上的数，
代表个位上的数，即 .请观察下列运算规律：
，
，
， .
（1）根据阅读材料，可知： ________；
（2）猜想：____________ ；
（3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想；
【解】 ，
，
.
（4）如果 ，类比上述探究过程，请你用一个式子
表示速算 的方法，并证明你的结论.
；
证明： ，
.
，
.
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07
课堂小结
公理：
不需要推理证实的真命题；
定理
定理都是真命题
都可以作为推理论证其他命题的依据.
证明的一般步骤：
(1）根据题意分析题中的条件和问题，几何题画出图形.
(2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证.
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

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