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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第二章实数北师大版八年级上册第二章实数全章复习练习题一、全章核心知识点（必考背诵）2.1认识无理数1.有理数：整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数。2.无理数：无限不循环小数。常见无理数三类：①开方开不尽的数：$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}$$等；②特殊常数：$$\pi$$；③无限不循环小数：0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）。3.实数定义：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点一一对应。2.2平方根1.算术平方根若$$x^2=a(a\geq0)$$且$$x\geq0$$，则$$x$$是$$a$$的算术平方根，记作$$\sqrt{a}$$。性质：$$\sqrt{a}\geq0(a\geq0)$$，双重非负性；0的算术平方根是0。2.平方根若$$x^2=a(a\geq0)$$，则$$x$$是$$a$$的平方根，记作$$\pm\sqrt{a}$$。核心性质：①正数有两个互为相反数的平方根；②0的平方根是0；③负数没有平方根（不能开平方）。2.3立方根1.定义：若$$x^3=a$$，则$$x$$是$$a$$的立方根，记作$$\sqrt[3]{a}$$。2.性质：任意实数都有唯一立方根；正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；公式：$$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$$。2.4二次根式1.定义：形如$$\sqrt{a}(a\geq0)$$的式子叫做二次根式。2.最简二次根式条件（必考）①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。3.核心公式$$(\sqrt{a})^2=a(a\geq0)$$$$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a &(a\geq0)\\-a &(a<0)\end{cases}$$2.5实数的运算与比较大小1.实数运算：有理数的运算法则、运算律对实数全部适用。2.大小比较：正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小；无理数比较：平方比较法、作差比较法。全章高频易错点1. $$\sqrt{16}=4$$（算术平方根只有一个正值），16的平方根是$$\pm4$$；2.负数没有平方根，但有立方根；3.无限小数不一定是无理数，无限不循环小数才是无理数；4.二次根式有意义的条件：被开方数非负（$$a\geq0$$）。---二、全章基础过关练习（100分）（一）填空题（每空3分，共30分）1.实数分为________和________。2. $$\sqrt{81}$$的算术平方根是________，平方根是________。3.实数中，________没有平方根，任意实数都有唯一的________。4.二次根式$$\sqrt{x-2}$$有意义的条件是________。5. $$\sqrt[3]{-8}=$$________，$$(\sqrt{5})^2=$$________。6.与数轴上的点一一对应的数是________。（二）选择题（每题4分，共20分）1.下列数中属于无理数的是（）A. $$3.14$$ B. $$\sqrt{4}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. $$\dfrac{1}{3}$$2.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数都是无限小数D.整数都是无理数3.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. $$\sqrt{12}$$ B. $$\sqrt{5}$$ C. $$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$$ D. $$\sqrt{0.4}$$4.若$$\sqrt{a^2}=-a$$，则a的取值范围是（）A. $$a>0$$ B. $$a<0$$ C. $$a\geq0$$ D. $$a\leq0$$5.比较大小：$$\sqrt{10}$$、3、$$\pi$$，最大的数是（）A. $$\sqrt{10}$$ B. 3 C. $$\pi$$ D.无法比较（三）计算题（每题6分，共30分）1. $$\sqrt{36}-\sqrt[3]{27}$$2. $$(\sqrt{6})^2-\sqrt{16}$$3. $$\sqrt{(-5)^2}+\sqrt[3]{-64}$$4. $$\sqrt{18}-\sqrt{8}$$5. $$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}$$（四）取值范围题（10分）求二次根式$$\sqrt{3x-6}$$有意义的x的取值范围。（五）综合应用题（10分）已知一个正数的两个平方根分别是$$2a-1$$和$$a-5$$，求这个正数。---三、全章参考答案与解析（一）填空题1.有理数、无理数2. 3、$$\pm3$$ 3.负数、立方根4. $$x\geq2$$ 5. -2、5 6.实数（二）选择题1.C 2.C 3.B 4.D 5.A解析：$$\sqrt{10}\approx3.16$$，$$\pi\approx3.14$$，故$$\sqrt{10}$$最大。（三）计算题1.原式$$=6-3=3$$2.原式$$=6-4=2$$3.原式$$=5-4=1$$4.原式$$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$$5.原式$$=5\sqrt{3}$$（四）取值范围题解：由二次根式有意义的条件得：$$3x-6\geq0$$解得：$$x\geq2$$。（五）综合应用题解：正数的两个平方根互为相反数，和为0，$$2a-1+a-5=0$$，解得$$3a=6$$，$$a=2$$。代入得平方根：$$2\times2-1=3$$，这个正数为：$$3^2=9$$。答：这个正数是9。
02
知识框架
平方根与立方根
二次根式
实数
平方根
算术平方根
定义：最简二次根式
性质：积（商）的算术平方根
运算：加、减、乘、除、乘方
立方根
概念与性质
定义
分类
03
知识梳理
实数相关概念
1.实数的分类
实数
有理数（有限或无限循环小数）
整数
分数
正整数（自然数）
零
负整数
正分数
负分数
无理数（无限不循环小数）
正无理数
负无理数
或 实数
正实数
零
负实数
03
真题再现
中无理数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1.下列各数
2.一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可
能是（ ）
A.整数， B. 分数 C.有理数 D.无理数
D
A
03
知识梳理
平方根与立方根
算术平方根的意义：
（a≥0）
算术平方根具有双重非负性
非负数
≥0
正数a的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根
0的算术平方根是0 ，即
知识梳理
平方根的定义：
若 ，则x叫a的平方根，即
类比
当 ，则x叫做什么呢？
x叫a的立方根
即：
知识梳理
开平方的定义
类比
开立方的定义
平方根的性质
立方根的性质
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根.
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数
知识梳理
二次根式
1、定义：
形如　　　　　的式子叫做二次根式，
2、二次根式乘除法计算法则
⑴积的算术平方根：
等于算术平方根的积；
⑵商的算术平方根：
等于算术平方根的商；
其中a叫做被开方数.
知识梳理
3、最简二次根式 ：
满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式 ：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；
⑵被开方数不能含有分母；
⑶分母不能含有根号.
注意：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式.
知识梳理
4、二次根式的运算 ：
⑴二次根式的加减：
类似合并同类项 ；
⑵二次根式的乘法 ：
⑶二次根式的除法 ：
(4)二次根式的乘方 ：
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
考点1 实数的相关概念及分类
1. 在中， ，，，则 的长
度是( )
B
A. 分数 B. 无理数 C. 有限小数 D. 整数
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2. 下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②负数没有立方根；
的平方根是，用式子表示是 ；
④若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则
这个数是0.
其中错误的有( )
C
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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3. 定义：不超过实数的最大整数称为 的整
数部分，记作.例如， .按此规定，
____.
【点拨】因为，所以 .所以
.所以 .所以
.
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4. 教材P49复习题 将下列各数填在相应的集合里.
, ,,, （每两个3之
间依次多1个0）,0,,,, .
有理数集合：{___________________________________…};
无理数集合：{_______________________________________
______________…};
,,,0,,,
, （每两个3之间依次多1个0）,,,
正实数集合：{_______________________________________
___________________________________________ …};
整数集合：{________________…}.
,
, ,,
（每两个3之间依次多1个0）,,,, ,
【解】有理数集合：,,,0, ,
,… .
无理数集合：{ , （每两个3之间依次多1
个0）,, ,…}.
正实数集合：, ,,
（每两个3之间依次多1个0）,,,,,… .
整数集合： .
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考点2 算术平方根、平方根、立方根
5. 下列说法正确的是( )
D
A. 负数的平方根是负数 B. 100的平方根是10
C. 的平方根是 D. 0的算术平方根是0
6. 若，则 的值为( )
A
A. 15 B. 5 C. D.
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7. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
C
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8.［2025深圳实验学校期末］一个正数 的两个不同的平方
根分别为和，则 的值为____.
9.根据下面表格中的数据求得 的平方根是_______.
81
… 15 15.1 15.2 15.3 …
… 225 228.01 231.04 234.09 …
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考点3 二次根式的相关概念及性质
10. 下列式子一定是二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
11. 下列各式化成最简二次根式正确的是( )
C
A. B.
C. D.
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12.［2024烟台］若代数式在实数范围内有意义，则 的
取值范围为______.
13.［2025上海徐汇区月考］已知，则
的取值范围是______.
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考点4 二次根式的运算
14. 下列计算中，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
15. 估计 的值在( )
C
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
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16.如图是添加了便签的台历示意图，正方形 为日历区，
正方形为备忘录区，长方形 为便签区，已知日历
区的面积为,备忘录区的面积为 ,则便签区的面
积为____________ .
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17.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） ；
.
（3） .
.
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18.已知， .
【解】 ，
.
（1）求 的值；
.
（2）求 的值.
因为 ，
所以 .
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思想1 数形结合思想
19.若实数 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简
的结果是___.
1
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思想2 方程思想
20.若，为有理数，，则
___， __.
3
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思想3 分类讨论思想
21.用字母表示一个实数，则， 一定是非负数，也就是
它们的值为正数或0，所以有最小值0，而 一定是非正
数，即它的值为负数或0，所以 有最大值0，根据这个结
论完成下列问题：
（1） 有最____（填“大”或“小”）值___；
（2） 有最____（填“大”或“小”）值___；
小
3
大
5

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