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山西省阳泉市 2025-2026 学年高二下学期期末教学质量监测
数学试卷
一、选择题
1．下列函数中，在定义域内单调递增且值域为 0, 的是( )
A. y x2 B. y x 1 C. y 3x 1 D. y log2x
2．设集合M x x2 x 0 ，N x 2 x 2 ，则( )
A.M N B.M N M C.M N M D.M N R
4
3 1 ． 2 2x 的展开式中 x 的系数是( )
x
A.8 B.-8 C.32 D.-32
4．从 6名男生和 4名女生中选出 4人参加一项创新大赛，如果 4人中必须既有男生又
有女生，那么不同的选法种数为( )
A.210 B.195 C.194 D.184
5．有 6件产品，其中 2件次品，从中有放回地取 3次（每次 1件），若 X表示取得次
品的次数，则P X 2 ( )
7 4 3 2
A. B. C. D.
10 9 10 9
6．近年来，阳泉市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出
跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升.经统计发现，游客
7 11
选择百团大战纪念碑的概率为 ，选择中共创建第一城景区的概率为 .两个景点都
15 15
1
不选的概率为 5，则两个景点都选的概率为( )
2 4 18 77
A. B. C. D.
5 5 225 225
log x, x 0
7．已知函数 f (x) 3 x ，若 f ( f (a)) log3 f (a)x ，则 a的取值范围是( ) 3 , 0
A. ( ,1) B. ( ,1]
C. ( ,0) (1, ) D. ( , 0] (1, )
2
8．甲、乙两人进行 3局 2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概
3
1
率为 ，每局比赛结果相互独立，记“甲以 2 :1获胜”为事件 A，“乙获胜”为事件 B，则
3
P B A ( )
7 8 7 8
A. B. C. D.
19 19 27 27
二、多项选择题
9．某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的
体育成绩 X ~ N (70,100)，则下列说法正确的是( )
参考数据：若随机变量 ~ N ( , 2)，则P( ) 0.6827，
P( 2 2 ) 0.9545，P( 3 3 ) 0.9973 .
A.E(X ) 70 B.D(X ) 100
C. P(X 60) P(X 90) D. P(X 60) 0.85
10．已知a 0，b 0，若 a 2b 1，则( )
1 1
A. ab的最大值为 B. a2 b2 的最小值为
8 4
2 1
C. 的最小值为 8 D.
a b 2
a 4b 的最小值为2 2
11．已知定义域均为 R 的函数 f x ， g x 满足 f 2 x f x 2，
g 4 x g x ， g 2 3，若 f x g 2 x 4，则下列说法正确的是( )
A. f x 的图象关于 y轴对称 B.4为 f x 的一个周期
26
C. f 2026 1 D. f k 20
k 1
三、填空题
x 112．已知函数 f (x) 4 log 2 x，则 f ____________. 2
13．若 f x ， g x 1 4满足 f x 2 f 3x ，且 f x g x 2x 6，则
x x
f 2 g 1 ____________.
14．已知函数 f (x) x2 2x， g(x) ln(x 1) a，若存在 x1, x2 0,2 ，使得
f (x1) g(x2 )，则实数 a的取值范围是________.
四、解答题
15．已知集合 A x | 2 x 6 ，集合B x | 2m x 2 m .
(1)当m 2时，求 A B和 A B；
(2)若 A B ，求实数 m的取值范围.
16．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情
况进行抽样调查，统计数据如表：
偶尔应用或者不应
经常应用 总计
用
农村 40
城市 60
总计 100 30 160
1
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 .
4
(1)补全2 2列联表，根据小概率值 0.005的独立性检验能否认为智慧课堂的应用与
区域有关；
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取 5个学校进行分析，然
后再从这 5个学校中随机抽取 2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有 X
个，求 X的分布列和数学期望.
2
附： 2
n ad bc

a b c d a c b d
P 2 k 0.500 0.050 0.005
k 0.445 3.841 7.879
17．设函数 f x 的定义域为 I，如果 x I，都有2a x I，且满足
f 2a x f x ，那么函数 f x 的图象称为关于点 A a,0 的中心对称图形，点
A a,0 就是其对称中心.如果 x0 I，且 x0 a，使得2a x0 I ，
f 2a x0 f x0 ，那么函数 f x 的图象称为关于点 A a,0 的弱中心对称图形，点
A a,0 就是其弱对称中心.
(1)若函数 f x x 1 3 x m的图象是关于点 A 1,0 的中心对称图形，求实数 m的
值；
x2 mx, x 2
(2)若函数 f x ，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为 1,0 ，
x 1, x 2
求实数 m的取值范围.
18．某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了 2025年
10月至 2026年 2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：
月份 2025年 10月2025年 11月2025年 12月 2026年 1月 2026年 2月
月份代码 x 1 2 3 4 5
月销量 y
（单位：千 8 10 13 20 24
台）
(1)求出 y与 x的相关系数 r（保留三位小数），并根据 r判断该款迎宾机器人月销量 y
与月份代码 x是否有较强的相关关系；（当 r 0.75,1 时，相关性较强，当
r 0.3,0.75 时，相关性一般）
(2)求出 y关于 x的经验回归方程 y b x a ，并估计 2026年 7月该款迎宾机器人的销
量；
(3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放 2000元/个的补贴.已知甲、乙两
家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为 p，
3p 1 1 2 p ，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过 3000元，求 p的取值
3 3
范围.
n n
xi x yi y xi x yi y
r i 1参考公式：相关系数 ，b i 1 ， a y b n n n x .
x 2 2i x yi y xi x
2
i 1 i 1 i 1
5 5 5
参考数据： xi x yi y 42， xi x 2 10， y y 2i 184，
i 1 i 1 i 1
115 10.724 .
19．已知函数 f x log 4x2 a x是偶函数，
(1)求 a的值.
(2) f x 令 g x 2 ， x 0,2 ，
(ⅰ)求 g x 的值域.

(ⅱ)若不等式m 4
x 1 x 2mg x 3 0对任意 x 0,2 恒成立，求 m的取值范围. 4
参考答案
1．答案：B
解析：A选项， y x2在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，且值域为
0, ，故 A错误；
B选项， y x 1在 1, 上单调递增，且值域为 0, ，故 B正确；
C选项， y 3x 1在 R 上单调递增，且值域为 0, ，故 C错误；
D选项， y log2 x在 0, 上单调递增，且值域为 R，故 D错误.
2．答案：B
解析：因为 x2 x 0，所以 x x 1 0，解得：0 x 1，
所以M x 0 x 1 ， N x 2 x 2 ，
对于 A、B，M N x 0 x 1 ，故 A错误，B正确；
对于 C、D，M N N，故 CD错误；
故选：B.
3．答案：D
1 4 r
解析： 2x
1
4 r r 的展开式的通项Tr 1 C
r 4 r r 4 2r
x 4
2x 1 2 C4x ，
x
∴ r 1时， x2
1
的系数为 1 23C14 32 .
4．答案：C
解析：用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况，
C4 4 410 C6 C4 210 16 194 .
故选：C.
5．答案：D
2 1
解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率相同，均为 ，
6 3
1
从中取 3次（每次 1件），设 X为取得次品的次数，则 X B 3, ，
3
2
1 2 2
由独立重复实验的概率计算公式可得， P X 2 C23 .
3 3 9
另解：从中有放回地取 3次共有63 216 2 2种，其中取得 2件次品有C32 4 48种，
则 P X 48 2 2 .
216 9
6．答案：A
解析：记事件 A为游客选择百团大战纪念碑，事件 B为游客选择中共创建第一城景
区，
则事件 A B为“两个景点都不选”，事件 A B为“A，B两个景点都选”.
7 11 1
由题意得，P A ，P B ， P A B ，15 15 5
P A B 1 P A B 1 1 4 ，5 5
由P A B P A P B P A B 4 7 11得， P A B ，
5 15 15
∴ P A B 2 .
5
7．答案：D
解析：令 t f a ，则 f t log3 t，故 t 0，故 f a 0，
a 0 a 0
所以 a 或 a ， 3 0 log3 0
故 a ( , 0] (1, ) .
8．答案：A
解析：甲以2 :1获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情
况有C12 2种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以 2 :1获胜的概率为
P(A) 2 2 1 2 8 .
3 3 3 27
8 19
由对立事件概率公式可得 P(A) 1 P(A) 1 .
27 27
事件 AB表示甲没有以2 :1获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况：
1 1 1
情况一：乙以2 :0获胜，其概率为 .
3 3 9
情况二：乙以2 :1 1
1 2 1 4
获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为C2 .3 3 3 27
1 4 7
根据互斥事件概率加法公式可得 P(AB) .
9 27 27
7
P AB
P B A 27 7
P A 19 .19
27
9．答案：ABD
解析：由题意知，学生的体育成绩 X ~ N 70,100 ，
可得期望 70，方差 2 100，
即D X 100，E X 70，故 A、B正确；
由 P(X 70) 0.5， P(60 X 80) P( X ) 0.6827，
P(50 X 90) P( 2 X 2 ) 0.9545，
所以 P(X 60) P(60 X 70) P(X 70) 0.34135 0.5 0.84135 85%，故 D正
确；
因为P(X 60) 1 P X 60 1 0.84135 0.15865，
所以 P(X 90) P(X 70) P(70 X 90) 0.5
0.9545
0.02275，
2
即P(X 60) P X 90 ，故 C错误.
10．答案：ACD
2
解析：对于 A，由于a 0，b
1
0，则 2ab a 2b a 2b 1 ，即 ab ，
2 4 8
1 1
当且仅当a 2b，且 a 2b 1，即 a ，b 时，取等号，所以 A正确；
2 4
2
对于 B，因为 a2 b2 (1 2b)2 b2 5b2 4b 1 5 b 2 1 ，
5 5
b 2 1当且仅当 时， 2
5 a b
2 取到最小值 5，所以 B错误；
对于 C，因为a 0，b 0，所以
2 1
a 2b 2 1 4 4b a 4 2 4b a 8 ，a b a b a b a b
4b a 1 1
当且仅当 ，且 a 2b 1，即a ，b 时，取等号，所以 C正确；
a b 2 4
对于 D， 2a 4b 2 2a 4b 2 2a 2b 2 2 ，当且仅当a 2b，且 a 2b 1，
a 1 1即 ，b 时，取等号，所以 D正确.
2 4
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：对于 A：因为 g 4 x g x ，所以 g 2 x g 2 x ，
由 f x g 2 x 4可得 g 2 x f x 4， g 2 x f x 4，
所以 f x 4 f x 4，即 f x f x ，即 f x 是偶函数，
故 f x 的图象关于 y轴对称，A正确；
对于 B：由 f 2 x f x 2，可得 f x 2 f 2 x ，
所以 f x 2 f 2 x ，又 f x f x ，所以 f x 2 f 2 x ，
则 f 2 x 2 f 4 x ，所以 f x f 4 x ，即 f x 的一个周期为 4，B正确；
对于 C：因为 f x 的周期为 4，所以 f 2026 f 2 .
由 f 2 x f x 2，令 x 2可得 f 0 f 2 2，
由 f x g 2 x 4，令 x 0，则 f 0 g 2 4，又 g 2 3，所以 f 0 7，
故 f 2 5，则 f 2026 5，C错误；
对于 D：由 f 2 x f x 2，令 x 1，则2 f 1 2，即 f 1 1；
令 x 1，则 f 3 f 1 2，
又 f x 是偶函数，则 f 1 f 1 1，所以 f 3 1，
因 f 4 f 0 7，故 f 1 f 2 f 3 f 4 1 5 1 7 4 .
k 1
f k 6 f 1 f 2 f 3 f 4 f 25 f 26 6 4 f 1 f 2 20，D正26
确.
12．答案：1
1
解析：函数 f (x) 4x log2 x，所以 f (
1) 4 2 log 12 2 1 1 .2 2
故答案为：1
13．答案：8
f x 2 f 1 4 1 3解析：由 3x

，得 f 2 f x 4x，
x x x x
5x 2 10 1
联立上述两式解得 f x ， x 0，即 f 2 3，
3 3x 3 3
而 f x g x 2x 6，
g x 2x 6 5x 2 x 2 1 2则 6，即 g 1 6 5，
3 3x 3 3x 3 3
所以 f 2 g 1 3 5 8 .
14．答案： 8,
解析：问题可转化为 f (x)max g(x)min ， x 0,2 ，
f (x) x2 2x的对称轴为 x 1，
所以 f (x)在 0,2 上单调递增，
2
所以 f (x)max f (2) 2 4 8，
y x 1， y ln x都为增函数，所以 g(x) ln(x 1) a在 0,2 上单调递增，
所以 g(x)min g(0) a，
所以8 a，解得 a 8，即实数 a的取值范围是 8, .
故答案为： 8, .
15．答案：(1) A B {x | 4 x 6}， A B {x | 2 x 4}
(2) m m 0
解析：(1)当m 2时， B {x | 4 x 4}，又 A x | 2 x 6 ，
A B {x | 4 x 6}， A B {x | 2 x 4} .
(2)由 A B ，
2
若B ，则2m 2 m，解得m ；
3
2m 2 m 2m 2 m 2
若 B ，则 m 或 m ，解得
0 m .
2 2 2 6 3
综上所述，实数 m的取值范围为 m m 0 .
16．答案：(1)列联表见解析，有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关，
理由见解析
4
(2)X分布列见解析，数学期望为
5
解析：(1)设城市学校共有 x所，
1
因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 ，
4
x 60 1
所以 ，所以 x 80，即城市学校有 80所，
x 4
补全列联表如下：
偶尔应用或者不应
经常应用 总计
用
农村 40 40 80
城市 60 20 80
总计 100 60 160
零假设H 0为智慧课堂的应用与区域独立，
2 n(ad bc)
2
160(20 40 40 60)
2 32
10.667 7.879a b c d a c b d ， 100 60 80 80 3
所以根据小概率值 0.005的独立性检验可以认为智慧课堂的应用与区域有关.
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是 2 : 3，所以抽取的 5个样本有
2个是农村学校，3个是城市学校，抽取 2个，则 X可能取值为 0，1，2.
0 2 1 1 2
P X 0 C 2C3 32 ， P X 1
C2C3 6 2 ， P X 2
C 1
22 .C5 10 C5 10 C5 10
所以 X的分布列为：
X 0 1 2
P 3
3 1
10 5 10
E X 0 3 6X的数学期望 1 2 1 4 .
10 10 10 5
4
所以 X的数学期望为： .
5
17．答案：(1)-1
5
(2) ,
2
(1) f 1 1 1 3解析： 由 1 m 0，解得m 1.
3
当m 1时， f x x 1 x 1，
对于任意的 x，都有
f 2 x 2 x 1 3 2 x 1 1 x 3 x 1 x 1
3 x 1 f x ，
3
所以函数 f x x 1 x 1的图象是关于点 A 1,0 的中心对称图形，
故m 1.
(2)由题意可知，存在 x0 R ，且 x0 1，使得 f 2 x0 f x0 ，
当 x0 2时， 2 x0 0，则 2 x0 1 x20 mx0 ，
x2m 0 x0 3 x 3所以 0 1，x0 x0
又知对勾函数 h x 3 x 1在 2, 上单调递增，
x
h x h 2 2 3 1 5 5所以 min ，所以m ；2 2 2
当0 x0 2时，0 2 x0 2，则2 x0 1 x0 1 不成立；
当 x0 0时， 2 x0 2，则 2 x 20 m 2 x0 x0 1 ，
m 2 x x0 1 2 x 3所以 0 0 12 x0 2 x
，
0
t 2 x t 2 m t 3 3 5令 0， ，易得 1在 2, 上单调递增，所以m 2 1 .t 2 2
5
综上可知，实数 m的取值范围为 , 2
.

18．答案：(1)0.979，y与 x有较强的相关关系
(2) y 4.2x 2.4，4.44万台
1 , 5 (3)
3 8
5 5 5
x x y y 42 x x 2 2解析：(1) i i ， i 10， yi y 184，则
i 1 i 1 i 1
r 42 42 42 0.979 0.75，
10 184 4 115 42.896
故 y与 x有较强的相关关系；
5
xi x yi y
(2)b
42
i 1 5 4.2，
x 2 10i x
i 1
x 1又 1 2 3 1 4 5 3， y 8 10 13 20 24 15，
5 5
所以 a y b x 15 4.2 3 2.4，
故经验回归方程为 y 4.2x 2.4，
2026年 7月对应的 x值为 10，
当 x 10时， y 4.2 10 2.4 44.4，
故可估计 2026年 7月该款迎宾机器人的月销量为 4.44万台；
(3)设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为 X，
则 X的所有可能取值为 0，1，2，
P X 0 1 p 2 3p 3p2 5p 2，
P X 1 1 p 3p 1 p 2 3p 6p2 6p 1，
P X 2 p 3p 1 3p2 p，
2 2 2
所以 E X 0 3p 5p 2 1 6p 6p 1 2 3p p 4p 1，
依题意有 4p 1 2000 3000 1 p 2 1 5，且 ，得 p ，
3 3 3 8
1 , 5故 p 的取值范围为
3 8
.

19．答案：(1)1

(2)(ⅰ) 2,
17 48 3
(ⅱ) , 4 121 2
解析：(1) f x 是偶函数 f x f x ，
x x
即 log2 4 a x log2 4 a x
x
2x log2 4x a log 4 x2 a 4 a， x 22x 4x，4 a
4x a 1 a 4x， a 1.
x
(2)(ⅰ)由(1)可得 f x log2 4x 1 x 4 1 1 log log 2x 2 .2x 2 2x
log 2 2
x 1
g x 2 2x 2x 1 ，
2x
1
令u 2x，则 y u .
u
x 0,2 ， u 1,4 .
y u 1
1 17
在 1,4 上单调递增 y u 2, ，
u u 4
g x 的值域为 2,
17
.
4
t 2x 1 17
2
(ⅱ)令 t 2, 4x 1 1 2x ，则 ， 2 t 2
2x 4 4x
2 .
2x
x 1 2
不等式m 4 x 2mg x 3 0，可化为m t 2 2mt 3 0，即 4
17
mt 2 2mt 2m 3 0对任意 t 2,
4
恒成立.

令h t mt2 2mt 2m 3，h t 的对称轴为 t 1，只需 h(t)min 0 .
当m 0时，h t 3 0恒成立.
当m 0时，h t 17 在 2, 单调递增，h(t)min h 2 2m 3 0
3
，解得0 m .
4 2
17 17 121
当m 0时，h t 在 2, 4 单调递减，
h(t)min h m 3 0，解得
4 16
48
m 0 .
121
48
综上所述，m的取值范围是 ,
3
.
121 2 山西省阳泉市2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测
数学试卷
一、选择题
1．下列函数中，在定义域内单调递增且值域为的是( )
A. B. C. D.
2．设集合，，则( )
A. B. C. D.
3．的展开式中的系数是( )
A.8 B.-8 C.32 D.-32
4．从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为( )
A.210 B.195 C.194 D.184
5．有6件产品，其中2件次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则( )
A. B. C. D.
6．近年来，阳泉市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升.经统计发现，游客选择百团大战纪念碑的概率为，选择中共创建第一城景区的概率为.两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为( )
A. B. C. D.
7．已知函数，若，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是( )
参考数据：若随机变量，则，，.
A. B.
C. D.
10．已知，，若，则( )
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最小值为8 D.的最小值为
11．已知定义域均为R的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是( )
A.的图象关于y轴对称 B.4为的一个周期
C. D.
三、填空题
12．已知函数，则____________.
13．若，满足，且，则____________.
14．已知函数，，若存在，使得，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
15．已知集合，集合.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数m的取值范围.
16．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村 40
城市 60
总计 100 30 160
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
(1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验能否认为智慧课堂的应用与区域有关；
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.
附：
0.500 0.050 0.005
k 0.445 3.841 7.879
17．设函数的定义域为I，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心.如果，且，使得，，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心.
(1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数m的值；
(2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数m的取值范围.
18．某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：
月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月
月份代码x 1 2 3 4 5
月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24
(1)求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般）
(2)求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量；
(3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴.已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为p，，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，，.
参考数据：，，，.
19．已知函数是偶函数，
(1)求a的值.
(2)令，，
(ⅰ)求的值域.
(ⅱ)若不等式对任意恒成立，求m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：A选项，在上单调递减，在上单调递增，且值域为，故A错误；
B选项，在上单调递增，且值域为，故B正确；
C选项，在R上单调递增，且值域为，故C错误；
D选项，在上单调递增，且值域为R，故D错误.
2．答案：B
解析：因为，所以，解得：，
所以，，
对于A、B，，故A错误，B正确；
对于C、D，，故CD错误；
故选：B.
3．答案：D
解析：的展开式的通项，
∴时，的系数为.
4．答案：C
解析：用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况，
.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率相同，均为，
从中取3次（每次1件），设X为取得次品的次数，则，
由独立重复实验的概率计算公式可得， .
另解：从中有放回地取3次共有种，其中取得2件次品有种，
则.
6．答案：A
解析：记事件A为游客选择百团大战纪念碑，事件B为游客选择中共创建第一城景区，
则事件为“两个景点都不选”，事件为“A，B两个景点都选”.
由题意得，，，，
，
由得，，
∴.
7．答案：D
解析：令，则，故，故，
所以或，
故.
8．答案：A
解析：甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为.
由对立事件概率公式可得.
事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况：
情况一：乙以获胜，其概率为.
情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为.
根据互斥事件概率加法公式可得.
.
9．答案：ABD
解析：由题意知，学生的体育成绩，
可得期望，方差，
即，，故A、B正确；
由，，
，
所以，故D正确；
因为，
所以，
即，故C错误.
10．答案：ACD
解析：对于A，由于，，则，即，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以A正确；
对于B，因为，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于D，，当且仅当，且，
即，时，取等号，所以D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A：因为，所以，
由可得，，
所以，即，即是偶函数，
故的图象关于y轴对称，A正确；
对于B：由，可得，
所以，又，所以，
则，所以，即的一个周期为4，B正确；
对于C：因为的周期为4，所以.
由，令可得，
由，令，则，又，所以，
故，则，C错误；
对于D：由，令，则，即；
令，则，
又是偶函数，则，所以，
因，故.
，D正确.
12．答案：1
解析：函数，所以.
故答案为：1
13．答案：8
解析：由，得，
联立上述两式解得，，即，
而，
则，即，
所以.
14．答案：
解析：问题可转化为，，
的对称轴为，
所以在上单调递增，
所以，
，都为增函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：(1)，
(2)
解析：(1)当时，，又，
，.
(2)由，
若，则，解得；
若，则或，解得.
综上所述，实数m的取值范围为.
16．答案：(1)列联表见解析，有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关，理由见解析
(2)X分布列见解析，数学期望为
解析：(1)设城市学校共有x所，
因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是，
所以，所以，即城市学校有80所，
补全列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村 40 40 80
城市 60 20 80
总计 100 60 160
零假设为智慧课堂的应用与区域独立，
，
所以根据小概率值的独立性检验可以认为智慧课堂的应用与区域有关.
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的5个样本有2个是农村学校，3个是城市学校，抽取2个，则X可能取值为0，1，2.
，，.
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的数学期望
所以X的数学期望为：.
17．答案：(1)-1
(2)
解析：(1)由，解得.
当时，，
对于任意的x，都有，
所以函数的图象是关于点的中心对称图形，
故.
(2)由题意可知，存在，且，使得，
当时，，则，
所以，
又知对勾函数在上单调递增，
所以，所以；
当时，，则不成立；
当时，，则，
所以，
令，，易得在上单调递增，所以.
综上可知，实数m的取值范围为.
18．答案：(1)0.979，y与x有较强的相关关系
(2)，4.44万台
(3)
解析：(1)，，，则，
故y与x有较强的相关关系；
(2)，
又，，
所以，
故经验回归方程为，
2026年7月对应的x值为10，
当时，，
故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台；
(3)设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以，
依题意有，且，得，
故p的取值范围为.
19．答案：(1)1
(2)(ⅰ)(ⅱ)
解析：(1)是偶函数，
即
，，
，.
(2)(ⅰ)由(1)可得.
，
令，则.
，.
在上单调递增，
的值域为.
(ⅱ)令，则，.
不等式，可化为，即对任意恒成立.
令，的对称轴为，只需.
当时，恒成立.
当时，在单调递增，，解得.
当时，在单调递减，，解得.
综上所述，m的取值范围是.

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