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第二十五章 一元二次方程
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，你知道这些雕像是怎么设计的吗？
25.1 一元二次方程的概念
1．理解一元二次方程的概念（重点）．
2．根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数．
3．能够灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题（难点）．
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC（腰以上）与下部 BC（腰以下）的高度比，等于下部 BC 与全部 AB（全身）的高度比，可以增加视觉美感． 按此比例，如果雕像的高 AB 为 2 m，下部
BC＝x m，请找出数量关系并列出方程．
A
C
B
(2 － x ) m
x m
A
C
B
(2 － x ) m
x m
如图，雕像的上部高度 AC 与下部高度 BC 应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即 BC2＝2AC．
设雕像下部高 x m，可得方程 x2＝2(2－x)，
整理，得
x2＋2x－4＝0．
如何解这类方程呢？
问题1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽
50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100 cm
50 cm
3 600 cm2
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100－2x)cm ，宽为(50－2x)cm．
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得
整理，得
(100－2x)(50－2x)＝3 600，
x2－75x＋350＝0．
x
100 cm
50 cm
3 600 cm2
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛共 场．
可列方程
整理，得
x2－x＝56．
方程 x2＋2x－4＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x＝56 有什么共同点？
3．只含有一个未知数．
2．未知数的最高次数是2．
1．等号的两边都是整式．
为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.．
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
ax2是二次项，a是二次项系数．
bx是一次项，b是一次项系数．
c是常数项．
一元二次方程的一般形式是
当 a＝0时，
bx＋c＝0
当a≠0，b＝0时，
ax2＋c＝0
当a≠0，c＝0时，
ax2＋bx＝0
当a≠0，b＝c＝0时，
ax2＝0
归纳：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数．
一元二次方程的一般形式
a x 2 ＋ b x ＋ c ＝ 0
（a≠0）
二次项系数
一次项系数
常数项
二次项
一次项
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根．
例1 判断下列关于x的方程是不是一元二次方程．
符合一元二次方程的概念．
含有两个未知数，不是一元．
不是整式方程．
a的取值不确定，若a＝0，则不是一元二次方程．
（1）
（2）
（3）
（4）．
方法总结
一个方程是一元二次方程必须同时满足三个条件：
(1)整式方程.
(2)只含有一个未知数.
(3)未知数的最高次数是2.
例2 若方程(m＋2)x|m| 3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m≠±2　　　B．m＝2　　　C．m＝ 2　　　D．m＝±2
B
解析：
一元二次方程的概念
m＋2≠0
未知数的最高次数是2
二次项系数不为0
m＝2
|m|＝2
方法总结
确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤
(1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2,二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组；
(2)解：解方程或不等式组；
(3)定：确定字母的值(或取值范围).
例3 (教材p3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得3x -3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x -8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
方法总结
化一元二次方程为一般形式的步骤
第1步：去分母；
第2步：去括号；
第3步：移项；
第4步：合并同类项.
例4 下列哪些数是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根？
－1， 0， 1， 3．
方法总结
1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法
(1)代：将已知数值代入一元二次方程.
(2)看：看方程左右两边是否相等.若左右两边相等，则这个数值是一元二次方程的根；若不相等，则这个数值不是一元二次方程的根.
2.已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值.
针对训练1 已知a是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式a2-3a+6的值是 ．
解：由条件可得a2-3a-1=0，即a2-3a=1，
∴代数式a2-3a+6=1+6=7．
7
例5 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A.x(x+1)=45 B.x(x-1)=45 C.x(x-1)=45 D.x(x+1)=45
解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），
∴共比赛了45场，∴x（x-1）=45.
B
方法总结
根据实际问题列一元二次方程的一般步骤
（1）审：阅读题干，弄清问题中已知量是什么,未知量是什么.
（2）找：找出题中包含已知量和未知量的等量关系.
（3）列：设未知数，根据等量关系，列出一元二次方程.
1．一元二次方程3x2＝5x的二次项系数和一次项系数是（　　）
A．3，5　　　　B．3，0　　　　C．3，－5　　　　D．5，0
2．下列哪些数是方程x2＋x－12＝0的根？
－4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4．
C
答：－4， 3是方程的根．
3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）3x2＋1＝6x； 　　　　 （2）4x2＝81－5x；
解：（1）一般形式：3x2－6x＋1＝0．
二次项系数：3．
一次项系数：－6．
常数项：1．
（2）一般形式：4x2＋5x－81＝0．
二次项系数：4．
一次项系数：5．
常数项：－81．
4． 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的长方形？
解：（1）设长方形的长为x m，则宽为(0.5－x)m．
根据题意，得x(0.5－x)＝0.06，
整理，得50x2－25x＋3＝0．
整理，得x2－x－20＝0．
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次聚会？
4． 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
解：（2）设有x人参加了这次聚会，
根据题意，得 x(x－1)＝10，
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
是整式方程
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
一元二次方程的概念

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