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(共24张PPT)
第1课时 几何图形问题
25.3 实际问题与一元二次方程
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理（重点、难点）．
2．通过解决数字、几何图形等问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
1．解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2．列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数，③找等量关系，
④列方程，⑤解方程，⑥解答．
一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
数字问题与一元二次方程
分析：设这个数的个位数字为x，
则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．
再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．
解：设这个数的个位数为x，则十位数字为x－2．
由题意，得
10(x－2)＋x＝3(x－2)x．
解得x1＝ （舍去），x2＝4．
∴x－2＝2．
答：两位数为24．
解决这类问题关键要设出数位上的数字，并能准确地表示出原数．
数字问题常用解题技巧
（1）三个连续偶数（奇数）：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x－2，x＋2．
（2）两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b．
（3）三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则这个三位数可表示为100a＋10b＋c．
如图，要设计一本书的封面，封面长为27 cm，宽为21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
几何图形问题与一元二次方程
（1）根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21＝9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推．
设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
（2）设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算．
（3）如何求解？
可化为
根据题意，列出方程(27-18x)(21-14x)=×27×21.
（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？
符合实际意义．
当 时，
上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况．
（5）如果设中央矩形的长为9x，根据等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？
设中央矩形的长为9x cm．则宽为7x cm．
列方程得 ．即x2＝ ，
解得 （舍去）．
∴上、下边衬的宽为 （cm），
左、右边衬的宽为 （cm）．
（6）练习：要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框所占面积为照片面积的四分之一，边框的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
设边框宽度为x cm，根据题意，得 ．
整理得，8x2＋204x－319＝0，解得 ．
∴x1＝ ，x2＝ （不合题意，舍去）．
∴x＝ ≈1.5．
答：边框的宽度约为1.5 cm．
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x,x+1,x+2,其中x为正整数.由勾股定理，得
x +(x+1) =(x+2) .
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形 如果存在，这样的三角形有多少个
解方程，得x1＝3，x2＝-1(不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.
方法总结
解决此类问题核心是结合勾股定理与连续整数特征，通过方程思想建模求解，具体如下：
（1）设未知数，表达三边；
（2）列方程（勾股定理建模）；
（3）解方程并筛选；
（4）验证并得出结论.
例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m 的矩形区域 如果能围成，这样的矩形是否唯一
解：设矩形的一边长为x m,由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为(20－x)m;再由矩形的面积为96 m ,得x(20－x)=96.
解方程，得x1＝12，x2＝8．
因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m,12 m.
方法总结
已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解．
20
32
x
x
解：设道路的宽为x m．可列方程
例3 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？
还有其他列方程的方法吗？
方法一：
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝2，x2＝50．
当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．
∴x＝2．
答：道路的宽为2 m．
解：设道路的宽为x m．
可列方程(32－x)(20－x)＝540，
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝2，x2＝50．
当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．
∴x＝2．
答：道路的宽为2 m．
方法二：
20
32
x
x
20－x
32－x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出道路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
1．在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）
A．x2＋130x－1 400＝0
B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0
D．x2－65x－350＝0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
2．一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3 000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm，则长为2x cm．
列方程，得5(2x－10)(x－10)＝3 000，
整理，得x2－15x－250＝0．
解得x1＝25，x2＝－10（舍去），
∴2x＝50．
答：铁板的长为50 cm，宽为25 cm．
3．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2 296，则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x，则个位数字为10－x．
原数为10x＋(10－x)＝9x＋10．
对调后得到的数为10(10－x)＋x＝100－9x．
依题意(9x＋10)(100－9x)＝2 296．
解得x1＝8，x2＝2．
当x＝8时，这个两位数是82；当x＝2时，这个两位数是28．
答：这个两位数是82或28．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm．点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm ？
根据题意得AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm．
解：设点P，Q出发x s后△PCQ的面积为9 cm ．
解得x1＝x2＝3．经检验，符合题意．
答：点P，Q出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm ．
整理，得
则有
实际问题与一元二次方程
几何图形问题
运用常见几何图形的
面积公式构建等量关系
数字问题
与列一元一次方程解决实际问题基本相同，不同在于要检验根的合理性
步骤

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