资源简介

(共22张PPT)
25.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 传播问题与平均变化率问题
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理（重点、难点）．
2．通过解决传播、平均变化率等问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
1．审清题意
2．设未知数
3．列方程
4．解方程验根
5．作答
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
传播问题与一元二次方程
某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传
染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
第2轮
第1轮
…
1
2
x
…
1
2
x
…
1
2
x
…
1
2
x
第1轮传染后人数：
x＋1
第2轮传染后人数：
x(x＋1)＋x＋1
根据示意图，列表如下：
x1＝_____，x2＝_______
解方程，得
答：平均一个人传染了________个人．
10
－12
(不合题意，舍去)．
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
(1＋x)2＝121，
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验．
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1＋x＝(1＋x)1
1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)2
根据题意，得
按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人被传染
第2种做法：以第2轮传染后的121人为传染源，传染一次后就是：
121(1＋x)＝121(1＋10)＝1 331（人）．
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的
人数
(1＋x)1 (1＋x)2
分析：
第1种做法：以1人为传染源，3轮传染后的人数是：
(1＋x)3＝(1＋10)3＝1 331（人）．
(1＋x)3
（1）设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为(1＋x)n＝b；
（2）设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1＋x)n＝b．
传播类问题规律
平均变化率问题与一元二次方程
两年前生产1 t甲种药品的成本是10 000元，生产1 t乙种药品的成本是12 000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是6 000元，生产1 t乙种药品的成本是7 200元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为
(10 000－6 000)÷2＝2 000（元），
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．
乙种药品成本的年平均下降额为
(12 000－7 200)÷2＝2 400（元）．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为10 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为10000(1－x)2元，
于是有10 000(1－x)2＝6 000．
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．
解：设乙种药品的年平均下降率为y，
列方程得12 000(1－y)2＝7 200．
解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775．
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
综上所述，甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%．
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同；
成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大．
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率．
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干和小分支的总数是133，则每个支干长出多少小分支
解：设每个支干长出x个小分支，
则1＋x＋x2＝133，
即x2＋x－132＝0．
解得x1＝11，x2＝－12(不合题意，舍去)．
答：每个支干长出11个小分支．
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例2 某市教育局推出“中小学网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率．
解：设增长率为x，
根据题意，得20(1＋x)2＝24.2．
解得x1＝－2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
方法总结
求平均增长率(降低率)问题：一般列方程a(1±x)n=b.
其中a为原始数据，b为增长(降低)后的数据，n为变化次数，x为增长率(降低率).
1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为（　　）
A．500(1＋2x)＝720 　　　　　　　B．500(1＋x)2＝720
C．500(1＋x2)＝720　　　　　　　 D．720(1＋x)2＝500
B
2．某年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（　　）
A．10%　　　　　B．20%　　　　　C．19%　　　　　D．25%
A
3．在园林化城市建设期间，某市2023年绿化面积约为1 000万平方米，2025年绿化面积约为1 210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2026年绿化面积约为（　　）
A．1 221万平方米　　　　　　　　　　　　　B．1 331万平方米
C．1 231万平方米　　　　　　　　　　　　　D．1 323万平方米
B
4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
依题意1＋x＋(1＋x)x＝64，即(x＋1)2＝64，
解得x1＝7，x2＝－9（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
传播与平均变化率问题
增长率问题
降低率问题
a(1＋x)n＝b，其中a为增长前的量，x为增长率，n为增长次数，b为增长后的量
传播问题
a(1－x)n＝b，其中a为降低前的量，x为降低率，n为降低次数，b为降低后的量．注意：降低率不可为负，且不大于1
设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1＋x)n＝b．

展开更多......

收起↑