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第二十五章 一元二次方程
25.1　一元二次方程
第1课时 一元二次方程的概念
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
问题2: 一元一次方程的一般形式是　 .
若关于x的方程(m+1)x|m|+1=0是一元一次方程，则m=　 .
问题3: 什么是一元一次方程的解 如何判断一个数是不是一元一次方程的解
若已知x=1是方程ax+3=0的解，则a= 　　 .
一个未知数
未知数的次数是1
整式
问题1: 一元一次方程中的“一元”是指　　 ,“一次”是指
　　 , 一元一次方程左右两边都是　 　 的形式.
ax+b=0(a、b是常数，且a≠0)
1 　
-3
知识关联
【情境问题】
如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比,等于腰部以下与全身的身长比,可以增加视觉美感.如果某人体雕像的全身为5 m,按照上述比例,雕像腰部以下为多长
A
C
B
[分析] 雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系:AC∶BC=BC∶5，即BC2=5AC.
设雕像腰部以下的身长BC为x m,根据上述等量关系，就可以列出方程x2=5(5-x),整理得x2+5x-25=0.
与一元一次方程相比较,上述方程也只含一个未知数,但未知数的最高次数是2,这样的方程就是我们本章要学习的一元二次方程.
【探究1】 一元二次方程的定义以及一般形式
【操作尝试】
问题1：有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮
探究与应用
设各角切去的正方形铁皮的边长是x cm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm.
x
x
100cm
50cm
3600cm2
底面的长×宽=底面积
等量关系:　　
根据方盒的底面积为3600 cm2,可列得方程　　 .整理并化简得　　
.
(100-2x)(50-2x)=3600
x2-75x+350=0.
探究与应用
【探究1】 一元二次方程的定义以及一般形式
问题2：要组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,组织者应邀请多少支球队参加比赛
设应邀请x支球队参赛,每支球队要与其他　 　支球队各赛1场,∵甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,∴全部比赛共 　场,于是得到方程 　,整理并化简得　 　.
(x-1)
x2-x-56=0
=28
【探究1】一元二次方程的定义以及一般形式
探究与应用
讨论：以上两个方程是不是一元二次方程,它们与一元一次方程有什么区别与联系.
x2-75x+350=0.
x2-x-56=0.
特点:
①整式;
②一元;
③二次
问题:根据找出的一元二次方程的特征,你能给一元二次方程下个定义吗
类比一元一次方程的一般形式,给出一元二次方程的一般形式.
【探究1】一元二次方程的定义以及一般形式
探究与应用
【概括新知】
为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？
一般地,如果方程中含有一个未知数(一元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的最高次数是2(二次),这样的方程,叫作一元二次方程.
一元二次方程的概念
ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
ax2 是二次项， a 是二次项系数.
bx 是一次项， b 是一次项系数.
c 是常数项.
一元二次方程的一般形式是
指出方程各项的系数时要带上前面的符号.
【理解应用】
探究与应用
例1 将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
注意：系数包含前面的符号
【探究2】一元二次方程的根
【思考交流】
一元二次方程的根:
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
探究与应用
[问题] 类比一元一次方程的解的定义,你能给一元二次方程的根下定义吗
【理解应用】
探究与应用
例2　已知关于x的方程x2-2x+k2=0的一个根是1，那么k的
值是 　.
变式练习:
已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,
则a-b的值为　　 .
±1　
1
【探究3】用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
【尝试交流】
探究与应用
根据下列问题,列出一元二次方程,并将所列方程化为一元二次方程的一般形式:
(1)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长;
解:设矩形的宽为x,则矩形的长为x+2.
根据题意列出方程为(x+2)x=100,
整理并化简,得x2+2x-100=0.
(2)把长为1 m的木条分成两段,使较短一段的长与木条全长的积,等于较长一
段长的平方,求较短一段的长.
解:设较短一段的长为x,则较长的一段的长为1-x.
根据题意列出方程为x=(1-x)2,整理并化简,得x2-3x+1=0.
【理解应用】
探究与应用
例3 根据下列问题,列出一元二次方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(3)一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长为5,求较短直角边的长.
(1)一个圆的面积是2π,求半径r;
(2)一个直角三角形的两条直角边的长相差3,面积为9,求较长直角边的长x;
一般形式为x2-5=0
一般形式为r2 - 2=0
　一般形式为x2-3x-18=0
2π=πr2　
x(x-3)=9　
设较短的直角边的长为x,则较长直角边的长为2x.
根据题意列出方程为x2+(2x)2=52　
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
当a=2时,此方程为一元一次方程;
例4　已知关于x的方程(2a-4)x2-2x+a=0,在什么条件下,此方程为一元一次
方程 在什么条件下,此方程为一元二次方程
例5　已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,求a的值.
a=-1
当a≠2时,此方程为一元二次方程
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
证明:∵m2-8m+17=(m-4)2+1>0,
∴不论m取任何值，该方程都是一元二次方程.
例6　求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方
程都是一元二次方程.
【小结】
课堂小结与检测
一
元
二
次
方
程
一元二次方程的定义
1.整式方程
2.一个未知数
3.最高次数为2
一元二次方程的一般形式：a x +b x+ c =0（a,b,c为常数a≠0）
使方程两边相等的未知数的值
一元二次方程的根
根
据
数
量
关
系
列
方
程
【检测】
C
课堂小结与检测
1.若方程mx2-2x+m=0是关于x的一元二次方程,则 ( )
A.m为任意实数 B.m=0
C.m≠0 D.m=0或m=1
D
2.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(　　)
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0
【 检测】
课堂小结与检测
3. 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(　　)
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2
A
【 检测】
课堂小结与检测
4.已知x=2是关于x的方程x2-x+t=0的一个根，则t的值为 ．
-2
【 检测】
课堂小结与检测
5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)4x2+5x=81;　　 　(2)x =0
(3)(2x-2)(x-1)=0;　 (4)(3x-2)(x+1)=x(2x+1)
答案:(1)4x2+5x-81=0　它二次项系数为4、一次项系数为5,常数项为-81
(2)x2+ x=0　它的二次项系数为1、一次项系数为 ,常数项为0
(3)x2-2x+1=0　它的二次项系数为1、一次项系数为-2,常数项为1
(4)x2-2=0　二次项系数为1、一次项系数为0,常数项为-2

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