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第二十五章　一元二次方程
25.2.1　降次——解一元二次方程
第1课时　直接开平方法
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
问题1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
平方根
问题2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
问题3.如果 x2=64 ,则x= .
±8
问题4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
【探究1】 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程
【操作尝试】
探究与应用
(3)x2+1=0.
解:整理,得x2=-1,∵负数没有平方根,∴原方程无实数根.
问题1:解下列方程:
(1)x2=4;
(2)9x2-6=3;
解:根据平方根的意义,得x1=2,x2=-2.
解:移项,并将二次项系数化为1,得x2=1.
根据平方根的意义,得x1=1,x2=-1.
【探究1】 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程
探究与应用
【概括新知】
一般地,对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为x2=p的形式,再利用直接开平方法求解,其中,当p>0时,方程有两个不等的实数根x1= ,x2= ;当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;当p<0时,方程无实数根.
【理解应用】
探究与应用
例1 解下列方程:
(1)x2-900=0;　(2)2x2-8=0;　(3)4x2-3=0.
方法点拨:通过移项把方程化为x2=p的形式,然后直接开平方求解即可.
解:(1)移项,得x2=900.
直接开平方,得x=±30,即x1=30,x2=-30.
解:(2)移项,并将系数化为1,得x2=4.
由此可得x=±2,即x1=2,x2=-2.
解:(3)移项,并将二次项系数化为1,得x2= .
由此可得x=± ,即x1= ,x2=- .
【尝试交流】
探究与应用
方程(3x+1)2=2呢 试一试.
【探究2】 解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程
问题2:(1)
由方程x2=25得x=±5，因此想到：
由（x+3）2=25 ，
得
即
一元二次方程x2=25与(x+3)2=25有何区别和联系
类比方程x2=25的求解方法,你能解方程(x+3)2=25吗
x+3= ±5 ，
x+3= 5 ，x+3= -5
【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程
【尝试交流】
探究与应用
(2)对于(nx+m)2=p型的方程，你能说说它的基本解法吗
【概括新知】
运用直接开平方法可以解形如x2=p或(nx+m)2=p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思想”.
开平方
降次转化
二次变一次
【理解应用】
探究与应用
例2 解下列方程:
(1) (x+2)2－9 = 0 ； (2)3(x+1)2－27 = 0.
解：移项，得
(x+2)2=9.
直接开平方，得
x+2=±3.
∴x1=1, x2=－5.
即x1=2，x2=-4.
解：移项，得3(x+1)2=27.
系数化为1，得(x+1)2=9.
直接开平方，得
x+1=±3.
【探究2】解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程
【概括新知】
探究与应用
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
开方
求解
变形
将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；
利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；
解一元一次方程，得出方程的根．
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
A
例3　已知x1、x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解，且x1下列说法正确的是 ( )
A.x1小于-1，x2大于3 　 B.x1小于-2，x2大于3
C.x1、x2在-1和3之间 　　D.x1、x2都小于3
【小结】
课堂小结与检测
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
【检测】
课堂小结与检测
(C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ;
x2=
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1；x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A) x2=-2,解方程，得x=±
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2，x=4
D
【 检测】
课堂小结与检测
2.已知关于x的一元二次方程x2=m-1.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m______；
(2)若方程有两个相等的实数根，则m_____；
(3)若方程无实数根，则m_____．
＞1
＝1
＜1
【 检测】
课堂小结与检测
3.解下列方程：
(1)2x2+3=5 (2)(x ＋ 6) －9=0 (3) 4(x－1) －16=0
解：(1)2x2+3=5，整理，得x2=1，所以方程的两个根为x1=1，x2=-1.
(2)(x＋6)2－9＝0，整理，得(x＋6)2＝9，x＋6＝3或x＋6＝－3，
所以方程的两个根为x1＝－3，x2＝－9.
(3)4(x－1)2－16＝0，整理，得(x－1)2＝4，即x－1＝2 或x－1＝-2，
所以方程的两个根为x1＝3，x2＝-1.
【 检测】
课堂小结与检测
4.某市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米,这块绿地的边长增加了多少米(结果保留一位小数)
答案：这块绿地的边长增加了约2.3米
解：设这块绿地的边长增加了x米
根据题意，得（15+x)2=300
15+x=±10
x1=-15+10，x2=-15-10（不合题意设去），

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