资源简介

(共21张PPT)
第二十五章　一元二次方程
25.2.3　因式分解法
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
问题1: 对于一元二次方程我们学习了哪些解法 一般步骤是什么
知识关联
问题2: 什么叫作因式分解 因式分解的方法有哪些 并把下列各式进行因式分解.
(1)x2-25; (2)x2-2x; (3)x2-6x+9; (4)4x(x+3)+3(x+3).
直接开平方法，配方法，公式法.
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式。
分解因式的方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法等
知识关联
【情境问题】
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度(单位：m)约为10-5x2.
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)
解析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0，
10x-5x2=0
尝试：请大家分别用配方法和公式法求解该方程.
即得方程　　　　　
是否有更简便的方法呢？
【探究1】 因式分解的理论依据
【操作尝试】
问题1: 当a、b分别取什么值时，等式ab=0成立
探究与应用
问题2: 依据问题1，你能解情境问题中的一元二次方程10x-5x2=0吗？对
配方法和公式法，这种解法有什么优点
若ab=0，则a=0或b=0.
将方程左边分解因式，得x(10-5x)=0.
于是x=0，或10-5x=0，解得x1=0，x2=2.
优点：方法更加简单、计算也简便了
【尝试交流】
探究与应用
【探究1】 因式分解的理论依据
思考：解方程10x-5x2=0时，二次方程是如何降为一次的
可以发现，在上述解法中，由10x-5x2=0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.
这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
【探究2】用因式分解法解一元二次方程
【应用探究】
探究与应用
(1)若(x+1)(x-2)=0，则x1=　　 ，x2=　 　;
-1
2
(2)若(2x-1)(3x+5)=0，则x1= 　 ， x2=　　 ;
(3)解方程x2-x=0时，方程可以变形为　　 =0,
则x1=　 　 ,x2=　　 ;
0
1
x(x-1)
(4x+3)(x+3)
(4)解方程4x(x+3)+3(x+3)=0时，方程可以变形为　 =0,
则x1=　 ,x2=　 　.
-3
【探究2】用因式分解法解一元二次方程
探究与应用
【概括新知】
一移——将方程的右边化为0;
二分——将方程的左边进行因式分解;
三化——令每个因式为0,得到两个一元一次方程;
四解——解一元一次方程,得到方程的解.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
简记口诀：
右化零，左分解，
两因式，各求解.
【理解应用】
探究与应用
例1 解下列方程：
解：左边分解因式，得
于是得
x－2＝0 或 x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(x－2)(x＋1)=0.
【理解应用】
探究与应用
解：移项、合并同类项，得
左边分解因式，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
【探究3】用合适的方法解一元二次方程
【尝试交流】
探究与应用
思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后,你能说说它们各自的特点吗
【探究2】用合适的方法解一元二次方程
【概括新知】
探究与应用
基本思路 将二次方程化为一次方程，即降次 基本方法
直接开平方法
用平方根的意义直接进行降次
适用于部分一元二次方程
配方法
先配方，再用直接开平方法降次
公式法
直接利用求根公式
适用于全部一元二次方程
因式分解法
先使方程一边化为两个一次因式乘积的形式，另一边为0，根据“若ab＝0，则a＝0或b＝0”来解
适用于部分一元二次方程
【理解应用】
探究与应用
例2　用适当的方法解下列方程:
(1)3x(x+5)=5(x+5);
(2)(5x+1)2=1;
解:移项，得3x(x+5)-5(x+5)=0.
左边分解因式，得 (3x -5) (x + 5) = 0.
于是3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解:根据平方根的意义,
得5x+1=±1,
即5x+1=1,或5x+1=-1,
即x1=0，x2= .
【理解应用】
探究与应用
(4)3x2=4x+1.
(3)x2-12x=4;
解:移项,得3x2-4x-1=0.
∵a=3,b=-4,c=-1,
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0.
方程有两个不等的实数根
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
(x - 6)2 = 40.
由此可得
【探究2】 用合适的方法解一元二次方程
探究与应用
【归纳:】
解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中直接开平方法和因式分解法较为简便，但是不适用于所有方程；配方法和公式法适用于所有方程。故在解一元二次方程时，先考虑用直接开平方法和因式分解法，再考虑用配方法和公式法.
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
例3　用因式分解法解下列方程:
(1)(x-1)2-2(x2-1)=0; (2)2(t-1)2+t=1.
注意：整体思想的运用
解:(x-1)2-2(x-1)(x+1)=0
(x-1)[(x-1)-2(x+1)] =0
(x-1)(-x-3)=0
x-1=0 -x-3=0
即 x1=1，x2=-3
解 : 2(t-1)2+t-1=0
(t-1)[2(t-1)+1] =0
(t-1)(2t-1)=0
t-1=0 2t-1=0
即 t1=1，t2=0.5
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
例4　我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)，那么x2-(a+b)x+ab=0就
可转化为(x-a)(x-b)=0，请你用上面的方法解下列方程:
(1)x2-3x-4=0; (2)x2-7x+6=0.
解:(x-4)(x+1)=0
x-4=0 x+1=0
即 x1=4，x2=-1
解:(x-1)(x-6)=0
x-1=0 x-6=0
即 x1=1，x2=6
【小结】
课堂小结与检测
因式分解法
概念
将方程左边因式分解，右边=0.
原理
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
步骤
简记口诀：右化零 左分解
两因式 各求解
【检测】
D
课堂小结与检测
1. 方程x(x-1)=x的根是 ( )
A.x=2　　　　　　　　　B.x=-2
C.x1=-2,x2=0 D.x1=2,x2=0
2.一元二次方程(x-2)2=x-2的根是　　 .
x1=2 , x2=3
3.方程x(x-1)=2(x-1)的根是　 .
x1=1 ,x2=2　
【 检测】
课堂小结与检测
4.用因式分解法解下列方程:
(1) x2－1＝2(x＋1)
解:移项，得(x+1)(x-1)-2(x+1)=0.
(x+1)(x-3)=0.
于是x+1=0，或x-3=0,
即x1=-1，x2=3.
(2)(x＋3)2＝(1－2x)2.
解:移项，得(x+3)2-(1-2x)2=0.
方程左边分解因式,
得(-x+4)(3x+2)=0.
于是-x+4=0，或3x+2=0,
即x1=4，x2= .
【 检测】
课堂小结与检测
5.用适当的方法解下列方程:
(1)(x－3)2－25＝0；
解：移项，得(x-3)2=25.
由此可得x-3=±5，
x-3=5，或x-3=-5,
即x1=8，x2=-2.
(2)x(x－2)＋x－2＝0；
解：左边分解因式,
得(x-2)(x+1)=0.
于是x-2=0，或x+1=0,
即x1=2，x2=-1.
【 检测】
课堂小结与检测
(3)x2＋8x＋15＝0.
解：移项，得 x2＋8x＝－15.
配方，得 x2＋8x＋42＝-15+42，
(x＋4)2＝1.
由此可得 x＋4＝±1，
x1＝－3，x2＝－5.

展开更多......

收起↑