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第二十五章　一元二次方程
25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
问题1.一元二次方程的一般形式是什么？
问题4.一元二次方程的求根公式是什么？
问题3.当Δ>0、Δ=0、Δ<0时，一元二次方程根的情况如何
问题2.一元二次方程有实数根的条件是什么
Δ≥0
有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。
知识关联
【情境问题】
求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？
由一元二次方程的解法可知，当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根可由系数a、b、c确定。
由求根公式 可知，通过对系数a、b、c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根。
【探究】 根与系数的关系
探究与应用
方法一：整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号。这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁.
思考：观察求根公式 它有什么特点？由此考虑一元二次
方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发
由此得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与其系数a、b、c有如下关系:
探究与应用
反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，即ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2,
【探究】 根与系数的关系
方法二：
我们知道，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x1)(x-x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2。
由此可得-a(x1+x2)=b，ax1x2=c.
【探究】根与系数的关系
探究与应用
【概括新知】
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
【理解应用】
探究与应用
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0 ；(2) 3x2＋7x－9＝0；(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a、b、c的值，比较b2-4ac与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值.
【理解应用】
探究与应用
变式1　已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,
则x1x2的值为 ( )
C
A.-4　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.4
变式2　若x1、x2为方程x2-2x-1=0的两个实数根,求x1+x2-x1x2的值.
答案：
【理解应用】
探究与应用
变式3 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，
求它的另一个根及m的值.
由于x1·x2 = 1×5 =
得m = 15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2 = 1+x2 = 6 ，
解得x2 = 5.
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
解：根据根与系数的关系可知：
例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
【探究】根与系数的关系
探究与应用
常见的变形公式:
归纳总结
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
例3　已知关于x的一元二次方程x2- x+m=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的最大整数值;
(2)在(1)的条件下,方程的实数根是x1,x2,求代数式x12+x22-x1x2的值.
解:∵一元二次方程x2- x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=8-4m>0，解得m<2，
故整数m的最大值为1;
当m=1时，此一元二次方程为x2- x+1=0，
∴x1+x2= ，x1x2=1,
∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=8-3=5
【小结】
课堂小结与检测
一元二次方程根与系数的关系
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
注意
式子成立的前提条件是b2-4ac≥0.
【检测】
课堂小结与检测
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____.
-3
2x1x2
2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
(1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _______，
(2) x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ______,
(3) (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______.
4
1
14
12
x1+x2
【 检测】
课堂小结与检测
3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
【 检测】
课堂小结与检测
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
【 检测】
课堂小结与检测
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得k=-7.
（2）因为k=-7,所以
则

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