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第二十五章　一元二次方程
25.2.1　降次——解一元二次方程
第2课时　配方法
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
问题2: 解下列方程:
(1)x2=3; (2)(x+3)2=5; (3)x2+6x+9=5.
知识关联
问题1：直接开平方法解一元二次方程的步骤
开方
求解
变形
知识关联
【情境问题】
根据方程x2+6x+9=5的求解思路，你能解一元二次方程x2+6x+4=0吗
大家都知道，任何一个能变形为x2=p或(ax+b)2=c形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解。
【探究1】 完全平方式
【操作尝试】
问题：什么是完全平方公式 根据完全平方式的特点完成下列填空.
探究与应用
思考:要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式,常数项该如何变化
（1）x2 - 18x + = ( x - )2
（2）x2 - x + = ( x - )2
（3）x2 + x + = ( x + )2
81
9
常数项是一次项系数一半的平方
【理解应用】
探究与应用
例1
填上适当的数，使下列等式成立
（1） x2+12 x+ = (x+6)2
（2）x2-6 x+ = (x-3)2
（3）x2-4 x+ =(x - )2
（4） x2+8 x+ =(x+ )2
36
9
4
2
16
4
【尝试交流】
探究与应用
【探究2】 解二次项系数为1的一元二次方程
（1） 探究：解一元二次方程x2+6x+4=0？
观察方程x2+6x+4=0与(x+3)2=5的区别和联系
方程(x+3)2=5可转换为x2+6x+4=0，根据两个方程之间的联系把方程x2+6x+4=0转化为方程(x+3)2=5,可解.
解: 移项,得x2+6x=-4.(移项要变号)
配方,得x2+6x+9=-4+9,(思考:为什么方程两边加9,添加:一次
项系数一半的平方)
整理,得(x+3)2=5.(方程左边写成完全平方形式)
开方,得x+3=± ,(利用直接开平方法解方程)
∴x1= , x2= .
【探究2】解二次项系数为1的一元二次方程
探究与应用
2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤.
【概括新知】
一、移项，常数项移到等号右边；
二、配方，写成（x+n)2=p(p≥0)；
三、直接开平方；
四、解一次方程.
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
1.配方法的定义
【理解应用】
探究与应用
例2 用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方正确的是 ( )
A.(x+2)2=2　　　　　B.(x+1)2=2
C.(x+2)2=3 D.(x+1)2=3
B
【探究3】解二次项系数不为1的一元二次方程
【思考交流】
你能总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗
探究与应用
观察方程3x2+8x-3=0,它与上面我们所解的方程有什么不同 你有什么想法
移项，二次项系数化为1，配方，开方，降次求解.
练习: 一元二次方程2x2-4x+1=0可配方成　 　后求解.
二次项系数不是1，而是3
方程两边同时除以3，就化成了二次项系数为1的形式
【探究3】解二次项系数不为1的一元二次方程
探究与应用
归纳总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p的形式，
那么就有：
①当p>0时，方程有两个不等的实数根
②当p=0时，方程有两个相等的实数根
x1=x2=-n
③当p<0时，方程无实数根.
【理解应用】
探究与应用
例3 解下列方程．
(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(3)3x2－6x＋4＝0.
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，方程的两边都除以2.
(3)与(2)类似，方程两边都除以3后再配方
解： 移项，得x2－8x＝－1
　　 　配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，
　　　　　　　(x－4)2＝15.
　　　 由此可得
　　　　　
　　
　　　　
【理解应用】
探究与应用
(2)2x2＋1＝3x；
解：移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得　　　　　　　　　　
【理解应用】
探究与应用
解 移项，得 3x2－6x＝－4
二次项系数化为1，得
配方，得
∵实数的平方不会是负数，∴ x取任何实数时， (x－1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根．　　　　
x2－2x＝ .
x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12.
(x－1)2＝ .
(3)3x2－6x＋4＝0.
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
例4　用配方法求解下列问题.
(1)求2x2-7x+2的最小值; (2)求-3x2+5x+1的最大值.
解：
解：
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
例5　已知:x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值.
解：
【小结】
课堂小结与检测
配方法解一元二次方程
完全平方公式
方法
添加一次项系数一半的平方
(1) a2+2ab+b2=( a+b )2；
(2) a2-2ab+b2=( a-b )2.
步骤
一、移项；
二、系数化为1；
三、配方，写成（x+n)2=p(p≥0)；
四、降次
五、解一次方程.
【检测】
C
课堂小结与检测
1.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是 ( )
A.3　　B.-3　　　C.±3　　D.以上都不对
2.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是 ( )
A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1
C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1
A
【 检测】
课堂小结与检测
3. 用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是(　　)
A．(x＋4)2＝－9 B． (x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D． (x＋4)2＝7
D
【 检测】
课堂小结与检测
（1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0；
（2）x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
4.解下列方程：
（3）x2+4x-9=2x-11；（4）x(x+4)=8x+12.
（3）x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
（4）x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2.

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