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第二十五章　一元二次方程
25.2.2　公式法
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
问题1: 用配方法解一元二次方程的步骤有哪些
知识关联
(1)移项.
(2)二次项系数化为1.
(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方).
(4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式.
(5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数,
那么一元二次方程无解.
(6)定解.
问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解
当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可.
知识关联
【情境问题】
张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0，大家才动笔，小强突然站起来说这个方程无实数解，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速作出判断的吗
【探究1】 根据判别式判断方程根的情况
【操作尝试】
探究与应用
点拨:不妨把a、b、c也当成一个具体的数字，根据配方法的解题步骤 一步步推下去.
问题1: 利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？
二次项系数化为1，得
解:
移项，得
配方，得
即
因为a ≠0,所以4a2>0．
当b2-4ac>0时,得
即
当b2-4ac=0时，得
当b2-4ac<0时，方程无实数根．
探究与应用
　 发现式子b2-4ac可以判别一元二次方程的根的情况,
因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,
通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.　
【探究1】 根据判别式判断方程根的情况
归纳总结：
当 > 0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
当 ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
当 < 0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
【概括新知】
通过上面的计算，你发现了什么？
【理解应用】
探究与应用
例1 利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况:
(1)2x2-3x- =0; (2)16x2-24x+9=0;
解：(1)∵a＝2，b＝-3，c＝- ，
∴Δ＝b2－4ac
＝（-3）2－4×2×(- )
＝9＋12＝21＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
解：(2)∵a＝16，b＝-24，c＝9 ，
∴Δ＝b2－4ac
＝(-24)2－4×16×9
＝576 - 576＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
【理解应用】
探究与应用
(3)x2- x+9=0; (4)3x2+10=2x2+8x.
解：(3)∵a＝1，b＝- ，c＝9 ，
∴Δ＝b2－4ac
＝(- )2－4×1×9
＝32 - 36＝-4 < 0，
∴方程无实数根　．
解：原方程化成一般式为：
x2 -8x+10=0.
∵a＝1，b＝-8 ，c＝10 ，
∴Δ＝b2－4ac
＝(- 8 )2－4×1×10
＝64 - 40＝24 > 0，
∴原有两个不相等的实数根
【理解应用】
探究与应用
例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个
不相等的实数根？
分析：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出以k为未知数的不等式，求出k的取值范围．
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0.方程根的判别式.
Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.
由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0，
∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
【探究1】根据判别式判断方程根的情况
探究与应用
温馨提示：
利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意:
①考虑“二次项系数不为0”这一条件;
②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别.
【探究2】用公式法解一元二次方程
【概括新知】
探究与应用
利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法.
当 ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为
这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
【探究2】用公式法解一元二次方程
探究与应用
用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简.
方法点拨
公式法解一元二次方程的步骤:
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值.
②求出b2-4ac的值.
③若b2-4ac≥0，则代入求根公式计算；若b2-4ac<0,则原方程无实数根.
④写出方程的解.
【理解应用】
探究与应用
例1　用公式法解下列方程：
　 （1） x 2 - 4x - 7 = 0；
解：a＝1，b＝－4，c＝－7.
即
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.
方程有两个不等的实数根
【理解应用】
探究与应用
解：a＝2，b＝ ，c＝1.
Δ＝b2－4ac＝ －4×2×1＝0.
方程有两个相等的实数根
（2）　　　　　　　；
【理解应用】
探究与应用
（3） 5x2－3x＝x+1 ；
解：方程化为5x2-4x-1=0,此时a=5,b=-4,c=-1,
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.
方程有两个不等的实数根
即
【理解应用】
探究与应用
（4） x2＋17＝8x.
解：方程化为x2－8x＋17＝0.
a＝1，b＝－8，c＝17.
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.
∴方程无实数根．
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
例4　已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，当a为何非负整数时:
(1)方程只有一个实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程有两个不相等的实数根
(3)因为方程有两个不相等的实数根，
所以a-2≠0，4(a-1)2-4(a-2)(a+1)>0，
解得a<3且a≠2.
因为a为非负整数，所以a=0或1.
解：(1)因为方程只有一个实数根，所以a-2=0，-2(a-1)≠0，解得a=2.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以a-2≠0，4(a-1)2-4(a-2)(a+1)=0，解得a=3.
【小结】
课堂小结与检测
公式法解一元二次方程
根的判别式b2-4ac
判断一元二次方程根的情况
求根公式
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
步骤
【检测】
课堂小结与检测
1. 利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况: (1)2x2＋3x－4＝0；　　
解：∵a＝2，b＝3，c＝-4，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(-4)＝9＋32＝41＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)9y2＋16＝24y；
∵a=9,b=-24,c=16,∴Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
原方程化为9y2-24y+16=0.
【 检测】
课堂小结与检测
(3) 5(x2+1)-7x=0
解：原方程化为5x2-7x+5=0.
∵a=5,b=-7,c=5,
∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100=-51<0,
∴原方程无实数根.
【 检测】
课堂小结与检测
2.解下列方程
(1)x2-7x-18=0;
解：(1) a=1, b= -7, c= -18,
△=b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121>0,
方程有两个不等的实数根.
即 x1=9，x2=-2.
【 检测】
课堂小结与检测
解：方程化为
a=1, b= , c= 3,
△=b2 - 4ac=( )2 - 4×1×3=0,
方程有两个相等的实数根,
即
【 检测】
课堂小结与检测
（3）（x-2)(1-3x)=6
a=3, b= -7, c= 8,
△=b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
方程没有实数根.
解：方程化为：3x2-7x+8=0,
【 检测】
课堂小结与检测
3. 已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解：∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，
解得k＜2.

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