资源简介

(共29张PPT)
03
新知讲解
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
第一章 特殊平行四边形
1.4.2正方形的性质与判定（2 ）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1.探索并证明正方形的判定，并了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。
2.会利用正方形的判定进行相关计算。
02
新知导入
正方形的定义：
有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形。
类比平行四边形、矩形和菱形，正方形的定义也是判定正方形的一种方法。
邻边
直角
平行
03
新知探究
正方形的判定：
定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
∟
03
新知探究
问题1 满足什么条件的矩形是正方形
你能证明这两个猜想吗
A D
B C
O
平行四边形
四个角为90°
对角线相等
邻边相等（利用正方形的定义猜想）
对角线垂直（利用正方形的性质猜想）
猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
A D
B C
O
03
新知探究
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
A
B
C
D
∟
求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。
如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。
求证：四边形ABCD是正方形。
03
新知讲解
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。
如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，且AC⊥BD。
求证：四边形ABCD是正方形。
证明: ∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，OB=OD。
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD。
∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
03
新知讲解
提炼概念
正方形的判定定理
定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形。
定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
03
新知讲解
问题2 满足什么条件的菱形是正方形
你能证明这两个猜想吗
A
C
B
D
O
平行四边形
四边相等
对角线互相垂直
有一个角是直角（利用正方形的定义猜想）
对角线相等（利用正方形的性质猜想）
A D
B C
O
猜想：有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形。
03
新知讲解
求证:有一个角是直角的菱形是正方形。
如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。
求证:四边形ABCD是正方形。
证明: ∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
03
新知讲解
求证：对角线相等的菱形是正方形。
如图，已知菱形ABCD的对角线为AC，BD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是正方形。
证明: ∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是平行四边形，
AD=BC=AB，AD∥BC。
∵AB=BA，BD=AC，
∴△ABD≌△BAC，
∴∠DAB=∠CBA。
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠DAB=∠CBA=90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
03
新知讲解
正方形的判定定理
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。
几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形。
定理4：对角线相等的菱形是正方形。
几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
新课探究
例1
已知：如图，在矩形ABCD 中，BE平分∠ABC，CE 平分
∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形。
证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°。
又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB。
∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°。
∴∠EBC=∠ECB， ∴EB=EC，∴四边形BECF是菱形（菱形的定义）.
在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-2×45°=90°。
∴四边形BECF是正方形。
03
新知讲解
如图，四边形ABCD是正方形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想。如果四边形ABCD是矩形呢？
尝试·思考
连接正方形的对角线，可以构造三角形的中位线模型
新的四边形的四条边相等，四个角都是直角，所以新四边形是正方形。
顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形
03
新知讲解
当四边形ABCD是矩形时
A
B
D
C
矩形的中点四边形是菱形
其他特殊四边形的中点四边形是什么形状？
03
新知讲解
菱形的中点四边形是矩形
平行四边形的中点四边形是平行四边形
03
新知讲解
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
03
新知讲解
决定中点四边形形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系。
原四边形 对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且
垂直
中点四边形 形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
归纳总结
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学依据是（　　）
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.如图，在矩形 ABCD中，M，N分别是边 AD，BC 的中点，E，F分别是BM，CM的中点，当AB∶AD= 时，四边形MENF是正方形。
1∶2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.如图，在四边形 ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是正方形。
证明：∵E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF = AC，GH = AC，EH = BD，FG = BD，
EF ∥AC 且EH∥BD。
∵AC=BD，EF =FG =GH =HE，∴四边形EFGH 是菱形。又∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴EH⊥EF，即∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
A
B
C
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
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2.如图,在中, ，与 的平分线交
于点，于点,于点,则四边形 的形
状为________。
正方形
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图，在四边形ABCD中， AB=BC ，对角线BD平分 ABC ， P是BD上一点，过点P作PM AD ， PN CD ，垂足分别为M，N。
(1) 求证： ADB= CDB；
(2) 若 ADC=90 ，求证：四边形MPND是正方形。
证明： (1) ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB = BC，DB=DB，
∴△ABD≌△CBD (SAS)，∴∠ADB=∠CDB。
C
A
B
D
P
M
N
06
作业布置
【综合拓展类作业】
证明： (2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°。
又∵∠ADC=90°，
∴四边形NPMD是矩形。
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB=45°。∴∠MPD=45°，
∴∠ADB=∠MPD，
∴DM=PM。∴四边形NPMD是正方形。
Thanks!
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