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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.4.1正方形的性质与判定（1）
一、选择题
1.当矩形的对角线互相垂直时，此矩形将变成(　 )
A.菱形 B.等腰梯形
C.正方形 D.无法确定
2.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A.∠D＝90° B.AB＝CD
C.AD＝BC D.BC＝CD
3.下列关于四边形的说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4.如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，点是的中点，过点作的平行线，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5..在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
6.在用手机拍照时，我们往往会打开九宫格辅助线功能，将拍照主体放置于交叉点处，避免居中呆板，更加美观．原理是：如图，在正方形中，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，与底边的延长线交于点，则矩形为黄金矩形，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7.如图，在 ABCD中，AC⊥BD于点O.若不添加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是　 　。
8.在 ABCD中，AC，BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么 ABCD一定是　　 。
9.已知矩形的对角线长为8，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为______。
三、解答题
10.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
11.如图，EG，FH都过正方形ABCD对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
12.如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1.C　 2. D 3.B 4.C 5.C 6.A
7.AC＝BD(答案不唯一) 8.正方形 9.16
10.证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC =∠DFC = 90°.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.
∵ AD 是∠CAB 的平分线，
∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.
∴ 四边形 CEDF 为正方形.
11.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°，
即∠COH＋∠BOH＝90°.
∵EG⊥FH，∴∠EOH＝90°，即∠BOE＋∠BOH＝90°.∴∠COH＝∠BOE.
在△CHO和△BEO中，∵
∴△CHO≌△BEO.∴OE＝OH.
同理可证：OE＝OF＝OG，∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴EG＝HF，四边形EFGH是平行四边形.
∴四边形EFGH是矩形.
又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是正方形.
12.(1)
(2)证明：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
(3)结论：．
证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由可知，即
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
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