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人教版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.16.3.1平方差公式第十六章整式的乘法人教版八年级上册16.3.1平方差公式同步练习题知识点核心：平方差公式推导、标准形式、公式特征、正用、逆用、简便运算、整体代值。核心公式：(a＋b)(a－b)＝a －b 。口诀：同平方、减反平方。适用条件：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列式子能直接用平方差公式计算的是（）A. (a＋b)(a＋b) B. (a－b)(b－a) C. (a＋b)(a－b) D. (a＋2)(b－2)2.计算(x＋5)(x－5)的结果是（）A. x －25 B. x ＋25 C. x －10x＋25 D. x ＋10x＋253.计算(2a－3)(2a＋3)的结果是（）A. 4a －9 B. 4a ＋9 C. 2a －9 D. 4a －64.下列计算正确的是（）A. (x＋1)(x－2)＝x －2 B. (3x－4)(3x＋4)＝9x －16 C. (2x＋3)(2x－3)＝2x －9 D. (a＋b)(－a＋b)＝a －b 5.计算99×101的简便结果是（）A. 9900 B. 10001 C. 9999 D. 10100二、填空题（每题4分，共20分）1.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________。2.计算：(m＋4)(m－4)＝________。3.计算：(3x－y)(3x＋y)＝________。4.化简：(－2a＋5)(2a＋5)＝________。5.若x －16＝(x＋4)(________)。三、解答题（共60分）1.（15分）利用平方差公式计算：（1）(x－6)(x＋6)（2）(4a＋1)(4a－1)（3）(5x－2y)(5x＋2y)2.（15分）简便运算：（1）98×102（2）2024 －2023×20253.（15分）化简：(x＋2)(x－2)－(x－1)(x＋1)4.（15分）先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)，其中x＝－2。参考答案与解析一、选择题：1.C 2.A 3.A 4.B 5.C解析：平方差公式只识别“一同一反”，相同项为a，相反项为b；结果一定是同项平方减去反项平方，严禁颠倒顺序、漏平方系数。二、填空题：1.a －b 2.m －16 3.9x －y 4.25－4a 5.x－4解析：公式可灵活变形，位置颠倒、符号互换不影响结果，做题优先找出“相同部分”和“相反部分”，再套公式。三、解答题：1.解：（1）原式＝x －6 ＝x －36；（2）原式＝(4a) －1 ＝16a －1；（3）原式＝(5x) －(2y) ＝25x －4y 。2.解：（1）原式＝(100－2)(100＋2)＝100 －2 ＝10000－4＝9996；（2）原式＝2024 －(2024－1)(2024＋1)＝2024 －(2024 －1)＝1。3.解：原式＝(x －4)－(x －1)＝x －4－x ＋1＝－3。4.解：原式＝4x －9－4x ＋4x＝4x－9，代入x＝－2，原式＝4×(－2)－9＝－8－9＝－17。
多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
记忆口诀
多乘多，来计算，
多项式各项都见面，
乘后结果要相加，
化简、排列才算完.
复习回顾
FU XI HUI GU
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（bb
a
a
b
a2 b2
剩余纸片的面积为
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
还有别的计算方法吗？
b
a
a
b
a
b
a-b
a2 b2
剩余纸片的面积为
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
还有别的计算方法吗？
b
a
a
b
剩余纸片的面积为
b
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
当堂练习
QING JING YIN RU
平方差公式
(a + b)(a b) =
a2 b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
1. (a – b)(a + b) = a2 – b2；
2. (b + a)(–b + a) = a2 – b2.
由于剩余纸片面积相等，于是有：
当堂练习
QING JING YIN RU
对平方差公式的理解
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
顺序可以不同，只关注相同的符号
可以合理加括号，只关注相反的符号
字母不对应
符号都是相反
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
判断下列式子是否可用平方差公式？
(1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b)
(3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2)
(5)
(6) (1-x)(-x-1)
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2)
常见的平方差公式及其变形
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
关注字母（或多项式）的符号
与顺序无关！
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
两个字母符号相同，
不能运用公式
公式运用错误
符号识别错误
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a + b)(a - b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
根据平方差公式填表：
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
(1)(a+3b)(a– 3b)；
=4p2–9；
=16x4–y2.
原式=(2p+3)(2p–3)
=a2–9b2 ；
=(2p)2–32
原式=(–4x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2p)(–3+2p)；
(3)(–4x2–y)(–4x2+y).
计算：
(4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
归纳总结
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，
另一项互为相反数；
(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
归纳总结
①位置变化
②符号变化
③系数变化
④指数变化
⑤增项变化
⑥连用公式变化
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
4. 若，则 的值为( )
D
A. 4 B. 2 C. D.
返回
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
观察是否满足使用平方差公式的条件
计算：
(1) (a+3b)(a － 3b);
(2) (3+2a)(－ 3+2a);
(3) 51 × 49;
(4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3).
(1) 原式=a2－9b2；
(2) 原式=4a2－9；
(3) 原式=(50+1)×(50-1)=502-12=2499；
(4) 原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7.
解：
可使用平方差公式快速计算
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：
(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
典例精析
DIAN LI JING XI
可以写成(2025－1)×(2025 + 1)
进而使用平方差公式
例3
(3) 20252－2024×2026;
解：
20252－2024×2026
= 20252－(2025－1)×(2025 + 1)
= 20252
－(20252－12 )
= 20252－20252 + 12
= 1.
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
观察：哪些代数式可以使用平方差公式简便运算？
解方程或不等式:
（1）(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1)
（2）求(x+5)(x+2)-(x+2)(x-2)<28的正整数解.
解:(1) 4x2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1
4x2-1+3x2-12= 7x2-6x-1
6x=12
x=2
(2) x2+7x+10-x2+4 <28
7x +14<28
x <2
因为x为正整数，
所以不等式的解取1.
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
(1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：
图①阴影部分面积为： ；
图②阴影部分面积为： ；
(2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式
为 .
a2－b2
(a+b)(a－b)
(a2－b2)=(a+b)(a－b)
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
思考哪些部分可以使用平方差公式
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝，y＝2.
原式＝5×2－5×22＝－10.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当 x＝，y＝2 时，
典例精析
DIAN LI JING XI
连续使用平方差公式
例7
果果同学在计算时，把3写成4-1，发现可以连续运用平方差公式计算：
=
=
=
请你借鉴果果同学的经验，
计算：
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
计算：
=
=
=
=
典例精析
DIAN LI JING XI
例8
某公园的环形绿化带的外圆半径为 a米，内圆半径为b米．
(1)用关于 a，b的代数式表示这个环形绿化带的面积；
(2)若 a=6.25，b=4.25（单位：米），求这个环形绿化带的面积．
解：(1)由题意得，环形绿化带的面
积为πa2-πb2（平方米）；
(2)当 a=6.25，b=4.25时，
πa2-πb2=π(a2-b2)=π(a+b)(a－b)
=(6.25+4.25)×(6.25-4.25)π=10.5×2π=21π（平方米），
答：这个环形绿化带的面积为21π平方米．
典例精析
DIAN LI JING XI
例9
已知 x≠1，计算：
(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，
(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4……
(1) 观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________
( n 为正整数)；
(2) 根据你的猜想计算：
① (1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______；
② 2＋22＋23＋…＋2n＝__________ (n 为正整数)；
③ (x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn+1
－63
2n＋1－2
x100－1
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：
① (a－b)(a＋b)＝_______；
② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
a2－b2　
a3－b3　
5. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
6.若，则， 的值分别为
_________.
，
返回
7. 教材P117习题 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8.［2025厦门校级期中］先化简，再求值：
，其中， .
【解】
，
当， 时，原式
.
9. 三个连续偶数，中间一个数为 ，则这三个数的积为
( )
A
A. B.
C. D.
10. 已知,则 的值是( )
A
A. B. C. 9 D. 27
【点拨】 .
返回
11. 如果，那么 的值
为( )
D
A. B. C. 2 D.
12.［2025福州校级期中］若，满足 则式子
的值为____.
返回
13. 在一个艺术工作室中，
设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用
了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图，
12
其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起
时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么
阴影部分的面积是____.
课堂小结
QING JING YIN RU
内容
分类
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差

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