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人教版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.2.1用平方差公式分解因式第十七章因式分解人教版八年级上册17.2.1用平方差公式分解因式同步练习题知识点核心：平方差公式因式分解、公式逆向运用、因式分解判定、分解彻底性、先提公因式再套公式的综合步骤。核心公式：a －b ＝(a＋b)(a－b)。适用条件：多项式为两项式、两项符号相反、两项均为完全平方形式。解题原则：先提公因式，再用公式，分解必须彻底。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（）A. x ＋4 B. x －4 C. x －2x D. x ＋2x2.分解因式x －25的结果是（）A. (x－5) B. (x＋5)(x－5) C. (x＋5) D. x(x－25)3.下列因式分解正确的是（）A. 4x －1＝(4x＋1)(4x－1) B. 9－x ＝(3－x)(3＋x) C. x －4y ＝(x－2y) D. x －64＝(x－8) 4.分解因式－16＋a 的结果是（）A. (a＋4)(a－4) B. (a－4) C. (4＋a)(4－a) D.－(a＋4)(a－4)5.多项式2x －8分解因式的最终结果是（）A. 2(x －4) B. 2(x＋2)(x－2) C. 2(x－2) D. (2x＋4)(x－2)二、填空题（每题4分，共20分）1.平方差公式因式分解：a －b ＝________。2.分解因式：m －36＝________。3.分解因式：4x －9y ＝________。4.分解因式：1－a ＝________。5.分解因式：3a －27＝________。三、解答题（共60分）1.（15分）直接利用平方差公式分解因式：（1）x －16（2）25a －4b （3）9x －12.（15分）先提公因式再用公式分解：（1）2x －32（2）4a －9a3.（15分）复杂变形因式分解：（1）(x＋1) －9（2）(2a－b) －(a＋2b) 4.（15分）利用因式分解简便计算：100.5 －99.5 参考答案与解析一、选择题：1.B 2.B 3.B 4.A 5.B解析：平方差公式三要素：两项、异号、皆平方；做题优先检查是否有公因式，必须分解到不能再分解为止，切忌半途而废。二、填空题：1.(a＋b)(a－b) 2.(m＋6)(m－6) 3.(2x＋3y)(2x－3y) 4.(1＋a)(1－a) 5.3(a＋3)(a－3)解析：系数平方也要整体代入公式，整体换元思想适用于带括号的平方差题型，是考试常考难点。三、解答题：1.解：（1）原式＝(x＋4)(x－4)；（2）原式＝(5a＋2b)(5a－2b)；（3）原式＝(3x＋1)(3x－1)。2.解：（1）原式＝2(x －16)＝2(x＋4)(x－4)；（2）原式＝a(4a －9)＝a(2a＋3)(2a－3)。3.解：（1）原式＝(x＋1＋3)(x＋1－3)＝(x＋4)(x－2)；（2）原式＝[(2a－b)＋(a＋2b)][(2a－b)－(a＋2b)]＝(3a＋b)(a－3b)。4.解：原式＝(100.5＋99.5)(100.5－99.5)＝200×1＝200。复习回顾
FU XI HUI GU
填空：
（1）(x+5)(x-5)= ；
（2）(3x+y)(3x-y)= ；
（3）(3m+2n)(3m–2n)= ．
x2 –25
9x2 –y2
9m2 –4n2
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
x2-25=___________;
9x2-y2=___________;
9m2-4n2=_____________
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
(3m+2n)(3m–2n)
它们的结果有什么共同特征？
(a+b)(a-b)=a2-b2
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
平方差公式：
整式乘法
因式分解
☆2-○2＝(☆+○)(☆-○)
□2-△2＝(□+△)(□-△)
形象地表示为：
两数的和与差的积
两个数的平方差；只有两项
① 左边
② 右边
归纳总结
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
×
×
√
√
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
(y+x)(y-x)
（4）-x2+y2
（5）x2-36y2
(x+6y)(x-6y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，减号在中央．
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
把下列各式分解因式：
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)原式＝(3x-2)(3x+2)
(3)原式＝(m+n)2-(2n)2
=(m+n+2n)(m+n-2n)
=(m+3n)(m-n)
(2)原式=
(4)原式＝4x(1-4x2)
=4x[12-(2x2)]
=4x(1+2x)(1-2x)
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
因式分解一定要分彻底．
把下列各式分解因式：
(5) (6)
解：(5)原式＝(9x2)2-(4y2)2
=(9x2+4y2)(9x2-4y2)
=(9x2+4y2)[(3x)2-(2y)2]
=(9x2+4y2)(3x+2y)(3x-2y)
(6)原式＝[(x+y)+(x-y+1)]·[(x+y)-(x-y+1)]
=(2x+1)(2y-1)
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
下面是小明同学的错题本，请你帮他订正.
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2)
= -4a(x+2y)(x-2y)
把-4ax2+16ay2因式分解
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2)
因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
下面是小明同学的错题本，请你帮他订正.
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
解：x3y2-x5
= x3(y2-x2)
= x3(y+x)(y-x)
因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
把x3y2-x5 因式分解.
解：x3y2-x5
= x3(y2-x2)
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
下面是小明同学的错题本，请你帮他订正.
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
解：x4-y4
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
＝(x2)2-(y2)2
分解因式：x4-y4
因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
解：x4-y4
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2)2-(y2)2
当堂练习
QING JING YIN RU
多项式因式分解
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法; (2)看是否能用公式法 ;
(3)务必检查是否分解到底了;
多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：
1.多项式是二项式或可以看成二项式；
2.两项符号相反；
3.每项都可以写成某数或某式的平方的形式.
(4)答案要写成最简形式.
1. 母题教材P128例1 分解因式： ( )
A
A. B.
C. D.
2. 将“ ？”因式分解得到
，则“？”是( )
B
A. B.
C. D.
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3. 课堂上老师在黑板上布置了以下题目：
用平方差公式分解因式：
（1）； （2） ；
（3）； （4） .
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A. （1） B. （2）
C. （3） D. （4）
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典例精析
DIAN LI JING XI
例3
有公因式的先提公因式
计算：50×1252-50×252
解：原式 = 50×(1252-252)
=50×(125+25)×(125-25)
=50×150×100
=750000
归纳总结
较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
反过来将其化简，对比系数即可
若将 ( 2x )n - 81 分解成 (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)，求 n 的值
解：
∵(4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)
=(4x2 + 9)(4x2 - 9)
=16x4 - 81
∴ ( 2x )n=2n ·xn =16x4
∴n=4且2n =16，
∴n=4
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
先将原式化简，再观察求值.
先化简，再求值： x(5x-8y)- x (x -y)2,其中，x,y满足x+2y=0.
解： x(5x-8y)- x (x -y)2
=5x2-8xy-4 (x2-2xy+y2)
=5x2-8xy-4x2+8xy-4y2
=x2-4y2
= (x -2y) (x+2y)，
∵x+2y=0，
∴原式=0.
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
利用平方差公式，将其因式分解
317-3可以被20和25之间的整数整除，求这个数．
解：因为 317-3=3×(316-1)
=3×(38+1)×(38-1)
=3×(38+1)×(34+1)×(34-1)
=3×(38+1)×(34+1)×(32+1)×(32-1),
因为3×(32-1)=3×8=24,
所以24是的因数，且是20和25之间的整数，
所以这个数是24.
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
观察等式，寻找规律
观察以下等式：
第1个等式：(2×1+3)-32=8×2;
第2个等式：(2×2+3)-52=8×3;
第3个等式：(2×3+3)-72=8×4;
第4个等式：(2×4+3)-92=8×5;
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式）
(2×5+3)-112=8×6
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
(2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式）
解：猜想：(2n+3)2-(2n+1)2=8(n+1),
证明：左边=[(2n+3)+(2n+1)][(2n+3)-(2n+1)]
=2(4n+4)
=8(n+1)
=右边
故该等式成立.
先配方，再利用平方差公式分解因式．
典例精析
DIAN LI JING XI
例8
我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
a2+6a+8=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2).
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
(1)x2-6x-27; (2)x2-2xy-3y2.
解：(1)x2-6x-27=x2-6x+9-9-27
=x2-6x+9-36=(x-3)2-62=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9).
先配方，再利用平方差公式分解因式．
典例精析
DIAN LI JING XI
例8
我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
a2+6a+8=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2).
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
(1)x2-6x-27; (2)x2-2xy-3y2.
解：(2)x2-2xy-3y2=x2-2xy+y2-y2-3y2
=x2-2xy+y2-4y2=(x-y)2-(2y)2=(x-y+2y)(x-y-2y)=(x+y)(x-3y).
4. 下列分解因式错误的是( )
D
A.
B.
C.
D.
5.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形
的长为_______.
6.若，，则 的值为___.
4
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7.母题教材P129练习 分解因式：
（1） ;
【解】 .
（2） .
.
（3） .
.
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8. 有四个式子：，， ，
，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行
因式分解，并写出因式分解的结果.
（1）利用提公因式法；
【解】选取与 ，
.
（2）利用平方差公式法.
（答案不唯一）选取与 ，
.
返回
9. 若，，是三角形的三边长，则式子 的值
( )
B
A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 不能确定
10. 某同学粗心大意，分解因式时，把式子
中的一部分弄污了，那么式子中
所对应的代数式是( )
A
A. B. C. D.
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11. 若，则 的值为( )
C
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【点拨】 ，
.
返回
12. ［2025威海期中］对于任意整数， 都
( )
C
A. 能被2整除，不能被4整除
B. 能被4整除，不能被8整除
C. 能被8整除
D. 能被5整除
课堂小结
QING JING YIN RU
依据
运用平方差公式因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
a2-b2=(a+b)(a-b)
应用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止.

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