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人教版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.2.3综合运用提公因式法和公式法第十七章因式分解人教版八年级上册17.2.3综合运用提公因式法和公式法同步练习题知识点核心：因式分解通用解题顺序（一提、二套、三检查）、综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式、多层分解、分解彻底性。核心步骤：第一步提取公因式，第二步判断套用平方差或完全平方公式，第三步检查是否分解彻底、无法再分解。易错点：不提公因式直接套公式、分解不彻底、符号出错、混淆两个公式。一、选择题（每题4分，共20分）1.因式分解的正确解题顺序是（）A.先套公式再提公因式B.先提公因式再套公式C.直接展开化简D.随意分解即可2.分解因式3x －48的最终结果是（）A. 3(x －16) B. 3(x＋4)(x－4) C. (3x＋12)(x－4) D. 3(x－4) 3.分解因式2a －8a＋8正确的是（）A. 2(a －4a＋4) B. 2(a－2) C. (2a－4) D. 2(a＋2) 4.下列分解因式彻底、正确的是（）A. x －x＝x(x －1) B. 4x －16＝4(x －4) C. x y－4y＝y(x＋2)(x－2) D. x ＋4x＝x(x＋4)5.多项式a －2a ＋a分解因式的结果是（）A. a(a －2a＋1) B. a(a－1) C. a(a＋1) D. a(a－1)(a＋1)二、填空题（每题4分，共20分）1.因式分解的基本原则：先________，再________，分解必须彻底。2.分解因式：2x －2＝________。3.分解因式：4a －16a ＋16a＝________。4.分解因式：－x ＋4xy－4y ＝________。5.分解因式：3m －12n ＝________。三、解答题（共60分）1.（15分）综合分解下列因式（一提一套）：（1）5x －20（2）2a －12a＋18（3）x －9x2.（15分）含负号、复杂整式分解：（1）－3x ＋6xy－3y （2）16x －4x3.（15分）多层综合因式分解：（1）a －16（2）x (x－y)＋4(y－x)4.（15分）先因式分解再求值：已知x＝4，求2x －8x ＋8x的值。参考答案与解析一、选择题：1.B 2.B 3.B 4.C 5.B解析：所有因式分解题目必须先提公因式，再套用公式；绝对不能停留在第一步，必须分解到每一个因式不能再分解为止，这是考试核心扣分点。二、填空题：1.提公因式、套公式2.2(x＋1)(x－1) 3.4a(a－2) 4.－(x－2y) 5.3(m＋2n)(m－2n)解析：首项为负优先提取负公因式，使括号内首项为正；平方差用于两项式，完全平方用于三项式，精准区分公式适用题型。三、解答题：1.解：（1）原式＝5(x －4)＝5(x＋2)(x－2)；（2）原式＝2(a －6a＋9)＝2(a－3) ；（3）原式＝x(x －9)＝x(x＋3)(x－3)。2.解：（1）原式＝－3(x －2xy＋y )＝－3(x－y) ；（2）原式＝4x(4x －1)＝4x(2x＋1)(2x－1)。3.解：（1）原式＝(a ＋4)(a －4)＝(a ＋4)(a＋2)(a－2)；（2）原式＝(x－y)(x －4)＝(x－y)(x＋2)(x－2)。4.解：原式＝2x(x －4x＋4)＝2x(x－2) ，代入x＝4，原式＝2×4×(4－2) ＝8×4＝32。复习回顾
FU XI HUI GU
我们学过哪些分解因式的方法
提公因式法:
平方差公式：
a2－b2
(a+b)(a－b)
整式乘法
因式分解
ma+mb
m(a+b)
整式乘法
因式分解
思考
当m=a－b时， ma+mb=m(a+b) 会变成什么呢？
注意
公式法
平方差公式：
a2+2ab+b2
(a+b)2
整式乘法
因式分解
注意
当m=a+b时， ma+mb=m(a+b) 会变成什么呢？
结果正确吗？
典例精析
DIAN LI JING XI
把下列各式因式分解:
(1) ；
还可以继续分解
(2)
例1
解:(1)
(2)
归纳总结
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(1) ；
(2)
例1
等号两边是否相等？
是否转化为几个因式成绩的形式？
是否将因式分解进行到底？
去括号法则用对了吗？
积/幂的乘方用对了吗？
是否还能提取公因式？
是否还能用两个重要公式？
因式分解的步骤
典例精析
DIAN LI JING XI
是否还能分解
输出结果
提公因式
公式法
3
4
1
2
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式，有时还需要综合运用提公因式和公式法.
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
先提公因式，再用公式进一步分解因式.
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
把下列各式因式分解:
(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)ax2+2a2xa3
解：(1)原式=a(x22aa2x+a2)
=a(xa)2
归纳总结
提公因式法
平方差公式
a +2ab+b
(a+b)
整式乘法
因式分解
a2－b2
(a+b)(a－b)
整式乘法
因式分解
ma+mb
m(a+b)
整式乘法
因式分解
令m=a-b
令a-b=m
令m=a+b
令a+b=m

完全平方公式
典例精析
DIAN LI JING XI
平方差公式
完全平方公式
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
你会把x2+4x+3分解因式吗？
方法一：
解： x2+4x+3= x2+4x+44+3
=1
=(x+2+1)(x+21)
=(x+3)(x+1)
归纳总结
添项法：
1.凑完全平方公式
2.运用平方差公式
提公因式
拆项
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
你会把x2+4x+3分解因式吗？
归纳总结
拆项法：
1.拆中间项
2.因式分解
方法二：
解： x2+4x+3= x2+3x+x+3
=(x2+3x)+(x+3)
=x(x+3)+(x+3)
=(x+3)(x+1)
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
你会把x2+4x+3分解因式吗？
方法三：
解： x2+4x+3= x2+(1+3)x+1×3
=(x+3)(x+1)
归纳总结
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
等式的性质
x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？
1. 把多项式 分解因式，结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 因式分解整式 ，结果正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符
号代表的内容.
分解因式： .
解：
*
☆.
其中运用到的方法是 和 .
. .
. .
下列回答错误的是( )
D
A. *代表
B. ☆代表
C. 可能代表提公因式法
D. 可能代表完全平方公式法
返回
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，这个规律可以用多项式的乘法法则推导出来：
(x+p)(x+q)
=x2+px+qx+pq
=x2+(p+q)x+pq
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得，
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
我们利用以上式子可以将某些二项式系数为1的二次三项式分解因式.例如，x2+4x+3=(x+3)(x+1) .
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
上述分解因式x2+4x+3的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二项式系数，分解下载十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如下图：
这样我们也可以得到：x2+4x+3=(x+3)(x+1) .
1
1
1
3
1×3+1×1=4
十字相乘
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
x
x
1
3
x×3+x×1=4x
x2+4x+3=(x+3)(x+1)
十字相乘法步骤
顺口溜：竖分首尾交叉验，横写因式不能乱.
竖分二次项与常数项；
交叉相乘，和相加；
检验确定，横写因式.
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
利用十字相乘法因式分解：(1) x +3x+2
x
x
1
2
x×2+x×1=3x
x +3x+2=(x+2)(x+1)
积的二次项系数1与两个因式的一次项系数有着怎样的关系？
积的二次项系数等于两个因式中一次项系数之积
如何得到积的常数项3？
积的常数项等于两个因式中常数项之积
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
利用十字相乘法因式分解：(1) x +3x+2
x
x
1
2
x×2+x×1=3x
x +3x+2=(x+2)(x+1)
积的一次项系数3x是如何得到的？
先交叉相乘，再相加
二次项系数与常数项的分解必须满足什么条件
在ax2 ＋ bx ＋c (a≠0)中，
若a=,c=,则b=
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
利用十字相乘法因式分解：(1) x +3x+2
x
x
1
2
x×2+x×1=3x
x +3x+2=(x+2)(x+1)
利用十字相乘法分解因式，你有哪些心得体会？
需要多尝试几次，有时不能一次成功
x2 － 9 与 x2 － 4x ＋4 能利用十字相乘法分解吗？
十字相乘法仍然适用于平方差式
和完全平方式
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
利用十字相乘法因式分解：(2) x 2x3； (3)x x6.
x
x
1
3
x×(3)+x×1=2x
x 2x3=(x+1)(x3)
x
x
2
3
x×(3)+x×2=x
x
6=(x+2)(x3)
典例精析
DIAN LI JING XI
利用十字相乘法因式分解：
x
x
2
3
x×(3)+x×(2)=5x
x 5x+6=(x2)(x3)
x
x
2
3
x×3+x×2=5x
x 6=(x+2)(x3)
练习
典例精析
DIAN LI JING XI
利用十字相乘法因式分解：
x
x
1
6
x×(6)+x×1=5x
x 5x6=(x+1)(x6)
x
x
1
x×(1)+x×5=x
x 6=(x+6)(x1)
练习
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
当二次项系数不为1时,如何利用十字相乘进行因式分解？
x×1+2x×(2)=3x
x×2+2x×(1)=0
x×(2)+2x×1=0
x×(1)+2x×2=3x
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
利用十字相乘法因式分解：(1) 2x x1； (2)3x x+2.
2x
x
1
1
2x×(1)+x×1=x
2x
1=(2x)(x1)
3x
x
1
2
3x×2+(x)×1=x
3x x+2=(3x+1)(x+2)
提示：含有两个字母把其中一个字母看做数字
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
利用十字相乘法因式分解：6x xy5y .
2x
3x
y
y
2x×y+3x×(y)=xy
6x xy5y =(2x)(3xy)
提示：
含有两个字母把(x+y)看做整体
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
利用十字相乘法因式分解：(x+y)2(x+y)5.
(x+y)
(x+y)
5
1
(x+y)×1+(x+y)×(5)=4(x+y)
(x+y)2(x+y)5=(x+y+1)(x+y5)
利用十字相乘法，把(a2+b2)看做整体
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
已知(a2+b2)(a2+b2+2)=24，求a2+b2的值.
归纳总结
换元法要注意，被替换的部分是否符合实际(注意取值范围).
把第一、二项作为一组，
可以用平方差公式;
把第三、四项作为另一组，
用提公因式法.
典例精析
DIAN LI JING XI
例8
因式分解：(1) x2y2+ax+ay; (2)a2+2ab+b2c2.
解： (1) x2y2+ax+ay
= x2y2 +(ax+ay)
=(x+y)(xy)+a(x+y)
=(x+y)(xy+a).
先将(a2+2ab+b2看作一个整体，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式.
典例精析
DIAN LI JING XI
例8
因式分解：(1) x2y2+ax+ay; (2)a2+2ab+b2c2.
解： a2+2ab+b2c2
=(a2+2ab+b2c2
=(a)2c2
=(a)(a+c).
归纳总结
分组分解法：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间利用提取公因式或运用公式进行分解.
4. ［2025南阳期中］如果， ，那么
的值为( )
D
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
5. 有一个因式分解的等式 ，
则式子中的， 对应的一组数字是( )
B
A. 16，2 B. 16，
C. ， D. ，2
返回
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
7. ［2025淄博模拟］下列因式分解：
；
；
；
.
其中结果正确的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
返回
8. ［2025重庆万州区期中］已知，，分别是 的三
边长，若,，则 的长是
( )
C
A. 20 B. 16 C. 8 D. 4
【点拨】 ，
①，
，得
，解得 .
返回
9. 利用因式分解计算 的结
果为( )
A
A. 58 B. 57 C. 56 D. 55
【点拨】原式 .
返回
10.［2025上海徐汇区期中］在括号内填入适当的单项式，使
多项式 （ ）能因式分解，共有___种填法.
5
【点拨】当填入 时，原式
；当填入 时，
原式 ；
当填入 时，原式
；当填入 时，原式
；当填入 时，原式
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课堂小结
QING JING YIN RU
提公因式法
因式分解
公式法
分组分解法
添项法
拆项法
十字相乘法
竖分首尾交叉验，横写因式不能乱.
x
x
1
3
x×3+x×1=4x
x2+4x+3=(x+3)(x+1)

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