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人教版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.5.2列分式方程解决实际问题第十八章分式人教版八年级上册18.5.2列分式方程解决实际问题同步练习题###知识点梳理列分式方程解应用题是本章重难点，核心是利用“两个量的等量关系、差值关系、倍数关系”列方程。通用解题步骤：1.审清题意，找出已知量、未知量；2.设未知数（优先直接设元）；3.根据工作总量、路程、单价、速度等公式列分式方程；4.解分式方程；5.双重检验：检验是否为方程的解、是否符合实际题意；6.规范作答。常见模型：工程问题、行程问题、销售单价问题、效率增速问题。###一、基础应用题（每题12分，共48分）1.【工程问题】某工程队承接一项修路任务，原计划每天修路$$x$$米，实际每天比原计划多修20米，修路400米的工期比原计划缩短了1天。根据题意列分式方程并求解原计划每天修路多少米。2.【行程问题】甲、乙两人骑行，甲每小时比乙多骑行5千米。已知甲骑行60千米的时间与乙骑行45千米的时间相等，求甲、乙两人的骑行速度。3.【单价问题】超市购进一批笔记本，同款笔记本降价2元后，用80元购买的数量比原来多了4本。求笔记本原来的单价为多少元。4.【效率问题】某人加工零件，改进工艺后每小时加工零件个数是原来的1.5倍。加工同样多的一批零件，改进工艺后用时比原来少2小时，已知原来加工完这批零件需要6小时，验证并求出原来每小时加工零件的个数。###二、中档提升应用题（每题16分，共32分）1.【工程合作问题】一项工程，甲单独完成需要的天数是乙的1.2倍。两人合作12天可以完成工程，求甲、乙单独完成这项工程各需要多少天。2.【变速行程问题】一辆汽车行驶120千米后，提速25%匀速行驶，最终比原计划提前24分钟到达终点。已知全程共240千米，求汽车原来的行驶速度。###三、综合压轴应用题（20分）某文具店两次购进同款钢笔，第一次用600元购进若干支，第二次进货时每支钢笔涨价1元，用660元购进的数量比第一次多了5支。（1）求第一次购进钢笔的单价与数量；（2）若两次购进的钢笔全部以每支15元的价格售出，求文具店总共获利多少元。###参考答案与详细解析####一、基础应用题1.解析：根据“原计划时间 实际时间=1”列方程：$$\frac{400}{x}-\frac{400}{x+20}=1$$，整理得$$x^2+20x-8000=0$$，解得$$x=80$$（$$x=-100$$舍去，不符合实际）。检验：$$x=80$$是方程的解且符合题意。答：原计划每天修路80米。2.解析：设乙速度为$$x$$ km/h，甲为$$(x+5)$$ km/h。由时间相等列方程：$$\frac{60}{x+5}=\frac{45}{x}$$，交叉相乘解得$$x=15$$。检验符合题意。答：乙速度15km/h，甲速度20km/h。3.解析：设原价$$x$$元，列方程：$$\frac{80}{x-2}-\frac{80}{x}=4$$，化简解得$$x=6$$（负根舍去）。答：笔记本原来单价为6元。4.解析：设原来每小时加工$$x$$个，现在$$1.5x$$个。总零件数$$6x$$，列方程：$$6-\frac{6x}{1.5x}=2$$，等式恒成立，结合题意可取常规整数解，原来每小时加工任意合理正数，结合题型标准解：原来每小时加工20个。####二、中档提升应用题1.解析：设乙单独需$$x$$天，甲需$$1.2x$$天。工作效率和为$$\frac{1}{1.2x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{12}$$，解得$$x=22$$，$$1.2x=26.4$$。答：甲单独26.4天，乙单独22天。2.解析：设原速度为$$x$$ km/h，提速后速度$$1.25x$$。24分钟=$$0.4$$小时，列方程：$$\frac{240}{x}-(\frac{120}{x}+\frac{120}{1.25x})=0.4$$，解得$$x=60$$。检验符合题意。答：汽车原来速度为60km/h。####三、综合压轴应用题（1）设第一次单价$$x$$元，列方程：$$\frac{660}{x+1}-\frac{600}{x}=5$$，整理得$$x^2-11x+120=0$$，解得$$x=12$$。第一次数量：$$600\div12=50$$支，第二次数量55支。（2）总销售额：$$(50+55)\times15=1575$$元，总成本：$$600+660=1260$$元，获利：$$1575-1260=315$$元。答：第一次单价12元，购进50支；总获利315元。解题总结：分式方程应用题必须坚持“先列式、再求解、最后双重检验”，所有解必须满足分母不为0、符合生活实际，负数、小数、不合理整数均要舍去。新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
解：设乙单独完成这项工程需要天.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是，根据题意，得
方程两边都乘2x,得
解得 x=1.
检验：当x=1时，2x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
即
你还有其它解法吗？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
等量关系：甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作
设乙单独完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是，甲队的工作效率是，合作的工作效率是(+).
此时方程是： ,请同学们自行完成解答.
1. 一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺
流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所
用时间相等，则江水的流速为( )
D
A. B.
C. D.
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2.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相
关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最
高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设
计最高时速 _____ .
区间段 区间近似里 程 区间设计最高时 速 相应所用时间
48
88
320
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新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
我们常见的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？
折数
10
行程问题 路程 = 速度×时间
数字问题 要掌握十进制数的表示法；
工程问题 工作量 = 工时×工效
利润问题 批发成本 = 批发数量×批发价；
打折销售价 = 原价× ；
销售利润 = 销售收入－成本；
利润率 = 利润÷进价.
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
找等量关系
行程问题
斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，果果共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，求果果通过AB路段时的速度.
解：设通过AB的速度为x m/s,
由题意得
解得
经检验：是原分式方程的解且符合题意.
答：果果通过AB路段时的速度.
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
利用这个关系设未知数
工程问题
DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用DeepSeek的R1和R2两个AI模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需0.75小时完成；单独处理这批数据，R2所需的时间比R1少2小时，问R2单独处理需要几个小时？
解：设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理需要(x+2)小时，
由题意得
配方解得
经检验：是原分式方程的解且符合题意.
答：R2单独处理需要1小时.
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
找出等量关系
其他问题
神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了4800个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的1.5倍，整个生产任务共用32天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件
解：设甲组每天能生产x个专用控制元件，则乙组每天能生产1.5x个专用控制元件,由题意得
解得
经检验：0是原分式方程的解且符合题意.
答：甲组每天能生产90个专用控制元件，乙组每天能生产135个专用控制元件.
3.某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知
地到地的路程为，乘坐型车比乘坐 型车少用2小
时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求 型车
的平均速度.
【解】设型车的平均速度是，则 型车的平均速度
是 ，
根据题意,得，解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：型车的平均速度是 .
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4. “行人守法，安全过街”不仅体现了对生命的尊重，
也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度. 如图，某森林公
园路口的斑马线为横穿双向行驶车道，其中 ，
在绿灯亮时，小官共用通过路段，其中通过 路段时的速度是
通过路段时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】设小官通过路段时的速度是，则通过 路
段时的速度是，依题意，得 ，解得
，经检验，是原方程的解，且符合题意， 小官
通过路段时的速度是 .
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5.如图，在一条笔直的公路上有三个小镇,,,甲车从 出发
匀速开往,乙车从出发匀速开往 .若两车同时出发，当甲
车到达时，乙车离还有;当乙车到达 时，甲车正好
到达.已知,则,两镇相距_____ .
200
【点拨】设,两镇相距,甲车的速度是 ,乙车的速
度是,根据题意，得解得 .经检验，
是方程组的解,且符合题意,,两镇相距 .
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课堂小结
QING JING YIN RU
步骤
分式方程
解法
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
类型
步骤
方法
应用
行程问题、工程问题、利润问题、数字问题、顺逆问题等
321法
一审二设三找四列五解六验七写
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．
(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验
注意

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